【正文】 60=0解得，x1=10(舍)，x2=6． ∴ DE＝6cm，BE＝9cm．例7 如圖430，已知：在△ABC中，AD和BE相交于G，BD∶DC＝3∶1，AG＝GD． 求BG∶GE．圖430 點悟：按照例4的分析，過點G作GM∥AC，根據(jù)平行線截得比例線段定理，得BG∶GE＝BM∶MC，于是只要求出BM∶MC的值即可． 解：作GM∥AC交BC于M，則 BG∶GE＝BM∶MC． ∵ AG＝GD，DM=MC=12DC∴ ．BD∵ DCBD1=31，=61BD即2DC，MC=6+11=61．=71BD+MCMCBM，即MC，∴ BG∶GE＝7∶1．點撥：以上四例中，我們復習了線段成比例和平行線分線段成比例的有關知識．【易錯例題分析】例1 已知：在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點． 求證：△ADQ∽△QCP． 證明：在正方形ABCD中，∵ Q是CD的中點，AD=2∴ QCBP，=3BC=4DQ∵ PC，∴ PC．又∵ BC＝2DQ，∴ PC=DQPC，∠C＝∠D＝90176。EF．圖426 點悟：如果我們把條件和結論涉及的線段AD，CE，AB，DF，BC，EF在圖中都描成紅線，可以發(fā)現(xiàn)一個完全由紅線構成的三角形，即△DBE，還有一條線AC，是△DBE的截線，分別截△DBE的三邊DB，BE，DE(或它們的延長線)于A，C，F(xiàn)．這類問題添輔助線的方法至少有三種，即過紅線三角形任一頂點作對邊的平行線，并與該三角形的截線或其延長線相交(如圖427)，在每一種圖形中，雖然只有一對平行線，但與這對平行線有關的基本圖形都能找到兩對，根據(jù)每一個基本圖形都可以寫出包含輔助線段在內的一個比例式．圖427AD=DFBHEF=CEBC以(2)為例，可以寫出ABBH=ABDFAD，又可以寫出BH．前兩式均有BH，于是=BC可得，及BH=BCEF，所以，有ABDFEF．又因為ADCEADCE＝CE，于是有AB第一篇：相似三角形教案相似三角形【基礎知識精講】1．理解相似三角形的意義，會利用定理判定兩個三角形相似，并能掌握相似三角形與全等三角形的關系．2．進一步體會數(shù)學內容之間的內在聯(lián)系，初步認識特殊與一般之間的辯證關系，提高學習數(shù)學的興趣和自信心．【重點難點解析】相似三角形的概念及相似三角形的基本定理．【典型熱點考題】例1 如圖421，□ABCD中，M是AD延長線上一點，BM交AC于點F，交DC于G，則下列結論中錯誤的是（）圖421 A．△ABM∽△DGM B．△CGB∽△DGM C．△ABM∽△CGB D．△AMF∽△BAF點悟：用本節(jié)概念和定理直接判斷． 解：應選D．例2 如圖422，已知MN∥BC，且與△ABC的邊CA、BA的延長線分別交于點M、N，點P、Q分別在邊AB、AC上，且AP∶PB＝AQ∶QC．圖422 求證：△APQ∽△ANM． 證明：∵ AP∶PB＝AQ∶QC，∴ PQ∥BC，又MN∥BC，∴ MN∥PQ ∴ △APQ∽△ANM．例3 寫出下列各組相似三角形的對應邊的比例式．(1)如圖423(1)，已知：△ADE∽△ABC，且AD與AB是對應邊．(2)如圖423(2)，已知：△ABC∽△AED，∠B＝∠AED．圖423 點悟：要寫出兩個相似三角形的對應邊的比例式，首先要確定兩個相似三角形的對應邊．因為相似三角形是全等三角形的推廣，所以要確定兩個相似三角形的各組的對應邊，可以參照確定全等三角形對應邊的方法，從確定這兩個相似三角形對應的頂點出發(fā)．解：(1)已知△ADE∽△ABC，且AD和AB是對應邊，它們所對的頂點E和C為對應頂點，而A是兩三角形的公共頂點，∠BAC為公共角，所以兩三角形另兩組對AD=DEBC=EACA應邊為DE和BC，EA和CA，得AB．(2)已知△ABC∽△AED，且∠ABC＝∠AED，A為公共頂點，另一對應頂點為D和C，三組對應邊分別是AD和AC，AE和AB，DE和CB．AD=AEAB=DECB得AC．本題兩類相似三角形的圖形是相似三角形的基本圖形． 第一類為平行線型．平行線型是由兩條平行線和其他直線配合構成的兩個相似三角形，它的對應元素比較明顯，對應邊，對應角，對應頂點有同樣的順序性，對應邊平行或重合．基本圖形有兩種(圖424)：圖424 第二類是相交線型．這一類型的對應元素不十分明顯，對應順序也不一致，對應邊相交．它的基本圖形，也有兩種，一種是有一個公共角，另一種是一組對頂角(圖425)．圖425 其他類型的相似形多可以分解成這兩種基本類型或轉化為這兩種基本類型． 例4 如圖426，已知：△ABC的邊AB上有一點D，邊BC的延長線上有一點E，且AD＝CE，DE交AC于F．求證：ABDF＝BCDF＝BC=2．AD在△ADQ和△QCP中，QC∴ △ADQ∽△QCP． 警示：證此類題應避免沒有目標而亂推理的情況．例2 ，要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學的加工方法分別如圖431(1)、(2)所示，請你用學過的知識說明哪位同學的加工方法符合要求(加工損耗忽略不計，計算結果中的分數(shù)可保留)．解：由AB＝，SΔABC=，得BC＝2米．設甲加工的桌面邊長為x米，∵DE∥AB，Rt△CDE∽Rt△CBA，CD=DEAB672x=∴ CB，即2．解得 x=，過點B作Rt△ABC斜邊AC上的高BH，交DE于P，交AC于H．由AB＝，BC＝2米，SΔABC=＝，BH＝． 設乙加工的桌面邊長為y米，∵ DE∥AC，∴ Rt△BDE∽Rt△BAC．BP==∴ BHy=，3037303722即x＞y，xy，解得，6因為7所以甲同學的加工方法符合要求． 警示：解此類要避免看不出相似直角三角形而無法解的情況，更要避免看不出對應線段造成的比值寫錯而形成的計算錯誤．例3 如圖432，AD是直角△ABC斜邊上的高，DE⊥DF，且DE和DF分別交AB、AF=BEBDAC于E、F．求證：AD．圖432(2002年，安徽)正解：∵ BA⊥AC，AD⊥BC，∴ ∠B＋∠BAD＝