【正文】 第七章 抽樣推斷 任課教師：湯來(lái)香 美國(guó)總統(tǒng)選舉民意調(diào)查 1984年 11月 里 根 與 孟代 爾競(jìng)選總統(tǒng) ，美 國(guó) 著名的蓋 洛普、哈里斯、 國(guó) 家 廣 播公司三家民意 調(diào) 查社在 選舉 前三 個(gè) 星期所做 調(diào) 查的 統(tǒng)計(jì) 分析， 里 根分別 約 可 獲得 58%、 55%及 60%選 票，正式 選舉 的 結(jié) 果： 里 根 約獲 得 59%選 票，而孟代 爾約 41%選 票。此次美 國(guó) 所有的民意 調(diào) 查社的 預(yù)測(cè)數(shù) 字 與選舉結(jié) 果最多只有 4%誤 差，但被 調(diào) 查的 選 民不超 過(guò) 3000人，可 見(jiàn)統(tǒng)計(jì) 的技巧是多么 有用。在以往的十七次美 國(guó)總統(tǒng)選舉預(yù)測(cè) 中，只有兩 次失 敗 ，第一次是 1936年的 藍(lán)頓對(duì)羅 斯福的 選舉 ，樣本數(shù) 一千 萬(wàn) 但是 誤 差 20%，第二次是 1948年杜威 對(duì)杜 魯門(mén) ， 樣本數(shù) 二百 萬(wàn)誤 差 5%， 50年 來(lái) 美 國(guó) 21次全 國(guó)選舉預(yù)測(cè) 之平均 誤 差只有 %。 學(xué)習(xí)目的與要求： 抽樣估計(jì)是抽樣調(diào)查的繼續(xù)，它提供了一套利用抽樣資料來(lái)估計(jì)總體數(shù)量特征的方法。通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，要理解和掌握抽樣估計(jì)的概念、特點(diǎn)，抽樣誤差的含義、計(jì)算方法，抽樣估計(jì)的置信度，推斷總體參數(shù)的方法，能結(jié)合實(shí)際資料進(jìn)行抽樣估計(jì)。 主要內(nèi)容： 167。 1 抽樣推斷概述 167。 2 抽樣平均誤差的計(jì)算 167。 3 抽樣估計(jì) 167。 4 抽樣的組織形式 167。 5 必要抽樣數(shù)目的確定 第一節(jié) 抽樣推斷概述 一、抽樣推斷的概念 抽樣推斷 ：是按隨機(jī)原則從總體中抽取一部分單位構(gòu)成一個(gè)樣本進(jìn)行觀察，并根據(jù)樣本的實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)總體的數(shù)量特征作出具有一定可靠程度的估計(jì)和判斷的一種統(tǒng)計(jì)方法。 隨機(jī)原則： 隨機(jī)原則 ——即是在抽取樣本時(shí)，排除人們主觀意圖的作用，使得總體中的每個(gè)單位或每個(gè)樣本有相等的入選機(jī)會(huì)。隨機(jī)原則又稱(chēng)為等可能性原則。 統(tǒng)計(jì)推斷的過(guò)程： 樣本 總體 樣本指標(biāo) 二、抽樣推斷的特點(diǎn) ① 按隨機(jī)原則抽取樣本單位； ② 用部分推斷總體，即用樣本指標(biāo)去推斷或估計(jì)總體指標(biāo)。 ③ 抽樣推斷必然產(chǎn)生抽樣誤差，且誤差可以事先計(jì)算并加以控制。 ④ 運(yùn)用概率估計(jì)方法。 三、抽樣調(diào)查的作用 ① 適用于無(wú)限總體或者很難進(jìn)行全面調(diào)查的總體的研究； ② 對(duì)某些可以但事實(shí)上不必或不可能進(jìn)行全面調(diào)查的現(xiàn)象總體的研究。 ③ 適應(yīng)于破壞性產(chǎn)品的質(zhì)量檢驗(yàn)； ④ 可以用于生產(chǎn)過(guò)程中的質(zhì)量控制； ⑤ 用于訂正全面調(diào)查的數(shù)據(jù)； ⑥ 可用于假設(shè)檢驗(yàn)。 四、抽樣推斷的基本概念 (一 ) 總體與樣本 總體 (全及總體、母體 )： 是指統(tǒng)計(jì)所要研究的全體，由具有某種特定性質(zhì)的許多個(gè)別事物組成的集合體。 N：總體單位數(shù)。 總體可分為有限總體與無(wú)限總體。 樣本 (抽樣總體、樣本總體或子樣 ) 樣本 ：是指按照隨機(jī)原則，從全及總體中抽取出來(lái)，代表全及總體的那部分單位的集合體。 樣本容量 (n) ： 樣本中所包含的總體單位數(shù)。 n?30是大樣本。 ? 總體是唯一的， 樣本是隨機(jī)多個(gè)的。 (二 )、總體指標(biāo)與樣本指標(biāo) 總體指標(biāo) （母體參數(shù)、總體參數(shù)、全及指標(biāo)）： 它是根據(jù)總體各單位的標(biāo)志值或標(biāo)志特征計(jì)算的，反映總體某種屬性的綜合指標(biāo)。 ? 全及指標(biāo)是唯一確定的， 一個(gè)總體常常有多個(gè)總體參數(shù)。 常用的總體指標(biāo)有： 或 或 NXX ??FXFX ???N)XX( 2? ??FF)XX( 2 ??? ??NNP 1? P1NNQ 0 ???PQP ?? 。 、X2P2 ??還有樣本指標(biāo) (樣本統(tǒng)計(jì)量 )： 樣本指標(biāo) ： 也稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)量或抽樣指標(biāo)，它是根據(jù)抽樣各單位的標(biāo)志值或標(biāo)志特征值計(jì)算的、用以估計(jì)和推斷相應(yīng)總體指標(biāo)的綜合指標(biāo)。 ? 一個(gè)樣本常常有多個(gè)樣本指標(biāo)，依據(jù)樣本的數(shù)據(jù)計(jì)算的樣本指標(biāo)不是唯一確定的。 常用的樣本統(tǒng)計(jì)量有： 或 或 nx x ??fxfx ???n)xx(s 2?? ?ff)xx(s 2 ?? ??nnp 1? p1nnq 0 ???pqs P ? 。、 2P2 ss X還有說(shuō)明： ① 按照無(wú)偏估計(jì)的要求， ② 才是總體方差的無(wú)偏公式，但在某些統(tǒng)計(jì)中， n通常較大， n與 (n1)相差甚微，為簡(jiǎn)便，就用 n代替 (n1)。 ② 總體指標(biāo)是唯一確定的值，樣本指標(biāo)是隨機(jī)變量 。 1n)xx(s 22??? ?總體指標(biāo)與樣本指標(biāo)的區(qū)別： ① 樣本指標(biāo)是一個(gè)隨機(jī)變量，它的不同取值取決于不同的樣本；而總體指標(biāo)是一個(gè)確定的量值，它與樣本指標(biāo)的取值無(wú)關(guān)。 ② 總體指標(biāo)是未知的，樣本指標(biāo)通過(guò)抽樣調(diào)查卻是可知的。 總體指標(biāo)與樣本指標(biāo)的聯(lián)系： ① 運(yùn)用抽樣調(diào)查對(duì)全及總體指標(biāo)的推斷必須通過(guò)樣本指標(biāo)； ② 對(duì)全部樣本而言，所有可能樣本指標(biāo)的平均數(shù)等于相應(yīng)的總體指標(biāo)； ③ 對(duì)一個(gè)樣本而言，當(dāng)樣本單位數(shù)逐漸增大時(shí)，樣本指標(biāo)會(huì)逐漸接近總體指標(biāo)。 （三）抽樣方法與樣本個(gè)數(shù) 樣本個(gè)數(shù) (m)——指從總體中可能抽取的全部樣本數(shù)目，又稱(chēng) 樣本可能數(shù)目 。這與抽樣方法和樣本容量有關(guān)系。 抽樣方法 重復(fù) (置 )抽樣 不重復(fù) (置 )抽樣 考慮順序 不考慮順序 考慮順序 不考慮順序 重復(fù)抽樣的特點(diǎn)： ① n個(gè)單位的樣本是由 n次連續(xù)試驗(yàn)構(gòu)成的。 ② 每次試驗(yàn)相互獨(dú)立，各單位中選與不中選相互不影響。 ③ 每次試驗(yàn)都是在相同的條件下進(jìn)行，即都是從 N個(gè)總體單位中隨機(jī)抽取一個(gè)，因此，每個(gè)單位在每次中選的機(jī)會(huì)都相等，它們每次都有 1/N的中選機(jī)會(huì)。 不重復(fù)抽樣的特點(diǎn)： ① n個(gè)單位的樣本是由 n次連續(xù)試驗(yàn)構(gòu)成的，但由于每次抽出不放回，所以實(shí)質(zhì)上等同于同時(shí)從總體中抽 n個(gè)樣本單位。 ② 每次試驗(yàn)不相互獨(dú)立，上次中選情況影響下次中選結(jié)果。 ③ 每抽一次總體的單位數(shù)便少一個(gè)，因此每個(gè)單位在各次中選的機(jī)會(huì)是不相等的，第 i次抽取每個(gè)單位有 1/(Ni+1)的中選機(jī)會(huì)。 考慮順序的樣本個(gè)數(shù)： 1）不重復(fù)排列數(shù) n)!(NN! 1)n(N2)1)(NN(NPmnN???????????2） 重復(fù)排列數(shù) nNm ?不考慮順序的樣本個(gè)數(shù)： 3) 不重復(fù)組合數(shù) n)!(Nn!N!n!1)n(N2)1)(NN(NCmnN??????????? 4) 重復(fù)組合數(shù) n1nNnN CD ???【 例 】 從 09 的 10個(gè)數(shù)中隨機(jī)重復(fù)抽選 6個(gè)數(shù)字組成電話號(hào)碼，共能組成多少個(gè)電話號(hào)碼？ （重復(fù)排列數(shù)） 100萬(wàn)10Nm6n ???【 例 】 從班級(jí) 10位學(xué)生中抽選三人擔(dān)任不同的職務(wù)，問(wèn)共有幾種抽法？ （不重復(fù)的排列數(shù)） 種 72089101)n(N2)1)(NN(NPm nN?????????????【 例 】 從小組 10位學(xué)生中不重復(fù)隨機(jī)抽選 3個(gè)組成樣本，考查其平均成績(jī)，可能的樣本數(shù)目為： 31010 * 9 * 8 720 1203 * 2 *1 6C ? ? ? 種（重復(fù)組合數(shù)） 120種1238910n)!(Nn!N!CmnN?????????從 A、 B、 C、 D四個(gè)單位中，抽出兩個(gè)單位構(gòu)成一個(gè)樣本，問(wèn)樣本個(gè)數(shù)是多少？ 重復(fù)抽樣排列數(shù) : Nn ＝ 42 ＝ 16(個(gè)樣本 ) AA AC AD BA BB BC BD AB CA CB CC CD DA DB DC DD 不重復(fù)抽樣排列數(shù) : N(N1)(N2)…… ＝ 4 3＝ 12(個(gè)樣本 ) 【 例 】 (四 ) 抽樣推斷的理論依據(jù) 1． 大數(shù)法則（大數(shù)定律） 基本思想： 大量的隨機(jī)現(xiàn)象具有一定的穩(wěn)定性。 ? 我們知道，總體由許多總體單位組成，每個(gè)總體單位的表現(xiàn)各不一樣。這些不同的表現(xiàn)共同決定著總體的表現(xiàn)或特征。 ? 如果我們將這些大量的總體單位加以綜合平均，那么它們對(duì)總體的個(gè)別影響會(huì)將相互抵消，最后呈現(xiàn)出它們共同作用的結(jié)果，使總體具有穩(wěn)定的性質(zhì)。 實(shí)際推斷原理 :當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，可以用樣本指標(biāo)代替總體指標(biāo)。 在概率論中，大數(shù)法則是這樣表述的： 對(duì)于任意正數(shù) ?， 有： ? ? 1εXxP inlim ?????或 1εpnnP An???????????這樣，以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式，表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性。 中心極限定理： 中心極限定理，其著眼點(diǎn)是“ 變量和的分布 ”。一個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布的現(xiàn)象并不多見(jiàn)，但多個(gè)變量和的分布服從正態(tài)分布則是普遍存在的。在現(xiàn)實(shí)生活中，變量和的分布是普遍存在的。 基本思想： 變量和的分布函數(shù)向正態(tài)分布收斂。 也就是說(shuō)： 中心極限定理論證了：如果總體變量存在有限的平均數(shù)和方差，那么，不論這個(gè)總體變量的分布如何，隨著抽樣單位數(shù) n的增加，抽樣平均數(shù)的分布便趨近于正態(tài)分布。 中心極限定理的通俗定義是這樣的： 當(dāng) n無(wú)限增大時(shí)，不管總體分布是什么形狀，樣本平均數(shù)分布趨近于平均數(shù)為 方差為 的正態(tài)分布；且 ， 。 標(biāo)準(zhǔn)化變量 的分布趨近于平均數(shù)為 0，方差為 1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。這樣就可以利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布求得標(biāo)準(zhǔn)變量 t 落入任意區(qū)間的概率了。 X)xE( ?Xn/ σ2 為 有限 值 )(2σ nζμ 22 ?xXt??? x第二節(jié) 抽樣平均誤差 一、統(tǒng)計(jì)誤差的分類(lèi) ????????????抽樣極限誤差抽樣平均誤差抽樣實(shí)際誤差隨機(jī)誤差偏差(系 統(tǒng)誤差)(抽樣誤差 ) 統(tǒng)計(jì)誤差 登記性誤差 代表性誤差 各種統(tǒng)計(jì)誤差： 登記誤差 ：指由于調(diào)查登記或計(jì)算差錯(cuò) 在發(fā)生的誤差 統(tǒng)計(jì)誤差 ：指調(diào)查所得的統(tǒng)計(jì)數(shù)字與調(diào) 查總體實(shí)際數(shù)值之間的差異。 代表性誤差 ：指用樣本指標(biāo)推斷總體指 標(biāo)時(shí)，由于樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)不一致，樣本不能完全代表總體而產(chǎn)生的誤差。 系統(tǒng)誤差 ：由于非隨機(jī)因素引起的樣本代表性不足而產(chǎn)生的誤差，表現(xiàn)為 樣本 估計(jì)量的值系統(tǒng)性偏高或偏低，故也稱(chēng)為 偏差 。 隨機(jī)誤差 ：指遵循隨機(jī)原則抽樣，由于隨機(jī)因素（偶然性因素）引起的代表性誤差。通常所說(shuō)的抽樣誤差指的就是隨機(jī)誤差。 抽樣實(shí)際誤差： 抽樣實(shí)際誤差 ：每一次抽樣，得到的樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)的絕對(duì)離差。如 、 ，這是無(wú)法計(jì)算的。 ? 抽樣實(shí)際誤差是隨機(jī)變量。 Xx ? Pp ?抽樣平均誤差 抽樣平均誤差 ： 指所有可能出現(xiàn)的樣本指標(biāo)（平均數(shù)或抽樣成數(shù)）的標(biāo)準(zhǔn)差。 反映了抽樣指標(biāo)與總體指標(biāo)的平均誤差程度。 從理論上說(shuō)是一個(gè)唯一確定的量。 二、抽樣平均數(shù)的平均誤差 (一 ) 平均數(shù)的抽樣分布 平均數(shù)的抽樣分布 ：由總體中全部樣本平均數(shù)的可能取值和與之相應(yīng)的概率 (頻率 )組成。 即把所有可能樣本平均數(shù)的次數(shù)分布稱(chēng)之為平均數(shù)的抽樣分布。 抽樣分布 ：指樣本指標(biāo)的次數(shù)分布。 1．重復(fù)抽樣分布 【 例 】 設(shè)有某班組 5 個(gè)工人的日分別為 33 4 46 、 50元，則： ）元元2222222X32()/5844(8/N)XΣ(Xσ)42(ΣX/NX?????????現(xiàn)用重復(fù)抽樣方法從中隨機(jī)抽取 2個(gè)構(gòu)成樣本，并求樣本平均工資來(lái)推斷總體的平均工資。 重復(fù)排列數(shù)： 樣本日工資平均數(shù) 樣本變量 34 38 42 46 5034 34 36 38 40 4238 36 38 40 42 4442 38 40 42 44 4646 40 42