【正文】 第二部分 多目標優(yōu)化方法 MultiObjective Optimization 第一節(jié) 概述 第三節(jié) 多目標優(yōu)化的第一類方法 第二節(jié) 多目標優(yōu)化設(shè)計理論 第四節(jié) 多目標優(yōu)化的第二類方法 第五節(jié) 多目標優(yōu)化的第三類方法 國際上通常認為多目標最優(yōu)化問題最早是在 1886年由法國經(jīng)濟學家 Pareto從政治經(jīng)濟學的角度提出的 。 多目標規(guī)劃的真正發(fā)達時期 ， 并正式作為一個數(shù)學分支進行系統(tǒng)的研究 ， 是上世紀七十年代以后的事 。 現(xiàn)在 ， 對多目標規(guī)劃方面的研究集中在以下幾個方面 : 一 、 關(guān)于解的概念及其性質(zhì)的研究 ， 二 、 關(guān)于多目標規(guī)劃的解法研究 ， 三 、 對偶問題的研究 ， 四 、 不可微多目標規(guī)劃的研究 ， 五 、 多目標規(guī)劃的應(yīng)用研究 。 到現(xiàn)在為止 ， 多目標優(yōu)化不僅在理論上取得許多重要成果 ，而且在應(yīng)用上其范圍也越來越廣泛 ， 多目標決策作為一個工具在解決工程技術(shù) 、 經(jīng)濟 、 管理 、 軍事和系統(tǒng)工程等眾多方面的問題也越來越顯示出它強大的生命力 。 第一節(jié) 概述 1. 多目標優(yōu)化設(shè)計示例 1 1 221 m a x ( ) 4 5 m a x ( )f X x xf X x???目標函數(shù)示例 1：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品 A和 B,每件產(chǎn)品 A需制造工時和裝配工時分別為 1時和 ，每件產(chǎn)品 B需制造工時和裝配工時分別為 1時和 ，每月制造車間和裝配車間能夠提供的最多工時為 200時，另外，每月市場對產(chǎn)品 A需求量很大，而對產(chǎn)品 B的最大需求量為 150件，產(chǎn)品 A和產(chǎn)品 B的售價分別為 4元和 5元，問如何安排每月的生產(chǎn)，最大限度的滿足市場需求，并產(chǎn)值最大？ 12AB xx設(shè)計變量：產(chǎn)品 的件數(shù) ，產(chǎn)品 的件數(shù) ??????????0,1 ..**61 max* min21222122121xxxxtsxxxx示例 2. 用直徑為 1(單位長 )的圓木制成截面為矩形的梁 ,為使重量最輕 ,而強度最大 ,問截面的高與寬應(yīng)取何尺寸 ? 解 : 設(shè)矩形截面的高與寬分別 為和 , 這時梁的面積為 ,它決定重量 ,而梁的強度取決于截面形 。 1x2x 21 * xx221 *61 xx因此 ,容易列出 梁的數(shù)學模型 : 示例 3 物資調(diào)運問題 : 某種物資寸放三個倉庫 里 ,存放量分別為 (單位 :t)?，F(xiàn)要將這些物資運往四個銷售點 。其需要量分別為 且 ，已知 到 的距離和單位運價分別為 (km)和 (元 ),現(xiàn)要決定如何調(diào)運多少 ,才能使總的噸 ,公里數(shù)和總運費都盡量少 ? 1 2 3 ,A A A1 2 3,a a a1 2 3 4, , ,B B B B1 3 4, , ,b b b b34ijijab???iAjBijd ijc 解 : 設(shè)變量 表示由 運往 的貨物數(shù) ,于是總噸公里數(shù)為 ,總運費為 ,問題優(yōu)化設(shè)計模型為 ? ?? ?1 1i jijij xd 4,3,2,1。3,2,1, ?? jix ijiAjB??????????????????????? ?? ???? ?? ?4,3,2,1。3,2,1,04,3,2,1,3,2,1, .. * min* min314131413141jixjbxiaxtsxcxdijijijiiiji jijiji jijij? ?? ?1 1i jijij xc 示例 4： 如圖所示，設(shè)計一苦空心階梯懸臂梁，根據(jù)結(jié)構(gòu)要求，已確定梁的總長為 1000mm，第一段外徑為 80mm，第二段外經(jīng)為 100mm，梁的端部受有集中力 F＝ 12023N，梁的內(nèi)徑不得小于 40mm， 梁的許用彎曲應(yīng)力為 180MPa，確定梁的內(nèi)徑和各段長度，使梁的體積和靜撓度最小。 1 2 D1=100 D2=80 L=1000 x1 x 2 F 多目標優(yōu)化設(shè)計模型 611 742223241 10 . . ( ) 180 0 10( ) 0( ) 40 0( ) 0xs t g Xxg X xg X xg X x?? ? ???? ? ?? ? ??? 12xx設(shè)計變量：第一段梁的長度 ，梁的內(nèi)徑2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )4f X x D x L x D x? ??? ? ? ? ??? 3321 4 4 4 4 4 42 2 1 2 1 264 1 1 ( ) ( )3Lf X xE D x D x D x???? ? ???? ? ???? ?12m in ( ) ( ) , ) ( TF X f X f X? 多目標最優(yōu)化問題的一般形式為 : . 或者記作 :min D= 12m in( ( ) , ( ) , , ( ) )mf x f x f x( ) 0 , 1 , 2. ,( ) 0 , 1 , 2 , ,ijg x i ph x j q???? ???()fx? ?| ( ) 0 , ( ) 0nx E g x h x? ? ?xD? 其中 : =( ) ()fx1 ( ) , ( )mf x f x1( ) ( ( ) ( ) )pg x g x g x? 1( ) ( ( ) ( ) )qh x h x h x?2. 多目標優(yōu)化設(shè)計模型 iGxFy???為 滿 足 所 有 目 標 的參 數(shù) 組 成 的 參 數(shù) 空 間為 根 據(jù) 按 照 目 標 函 數(shù) 映 射 的組 成 的 目 標 函 數(shù) 空 間注意，這里以及之后的所有講述同時 適合于線性和非線性的多目標優(yōu)化 多目標優(yōu)化設(shè)計幾何描述 在單目標優(yōu)化問題中，任何兩個解都可以比較出其優(yōu)劣，這是因為單目標優(yōu)化問題是完全有序的；而在多目標優(yōu)化設(shè)計中，任何兩個解不一定都可以比較出其優(yōu)劣，這是因為多目標優(yōu)化問題是半有序的。 3. 多目標優(yōu)化問題解的特點 T( 1 ) ( 1 ) ( 1( 1 ) ( 1 )() ( 1 )12T( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )12( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 21 ) ( ))2( ) ( ) , ( ) , , ( ) ( ) ( ) , ( ) , , ( ), ( ) ( ) ( 1 , 2 , , )mmllF X f X f X f XF X f X ff X fX f XXXlmX X XXX????????????設(shè) 為多目標優(yōu)化問題的兩個可行解，其對應(yīng)若對于每一個分量，都則顯然， 優(yōu)的目標函數(shù)于 ，記為有為 ( 1 ) ( 2 )( 1 ) ( 2 )( 2 )( 1 ) ( 2 )( 1 ) ( 2 )( ) ( ) ( ) ( ) ()( ) ( ) jjllF X F Xf X f XFXf X f XXX??大多數(shù)情況下， 的某幾個分量小于 的對應(yīng)分量，但另外幾個分量大于 的對應(yīng)分量 則顯然， 與 無法比較優(yōu)劣。1f 2f2 1 3 第一類：轉(zhuǎn)化法。這類多目標最優(yōu)化方法的基本思想是將多目標問題轉(zhuǎn)化為一個或一系列的單目標優(yōu)化問題，通過求解一個或一系列單目標優(yōu)化問題來完成多目標優(yōu)化問題的