【正文】 其 ?－ 約束問題為 對于多目標(biāo)優(yōu)化問題 ? ?12m in ( ) ( ) , ( ) , , ( ) . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , ,TmuvF X f X f X f Xg X u ph X v q?????m in ( ) . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 1 , 2 , , , kuvllfXg X u ph X v qf X l m l k?????? ? ? ?－ 約束問題的 K－ T條件 可以證明，約束目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的 Lagrange乘子 pqmk j j u u v vj j k u vj j j ju u uf X w f X g X h Xw f X w j m j k g X u p* * * *1,**1 ( ) ( ) ( ) ( ) 02 ( ) 0 0 1 , 2, , ,3 ( ) 0 0 1 , 2, ,??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?（）（）（） kjjfw j m j kf1 , 2, , ,?? ? ? ? ? ? ??即約束目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的 Lagrange乘子 wj是目標(biāo) fk對目標(biāo) fj的交換率。 改進(jìn)：閱讀 Matlab Optimization Toolbox User‘ s Guide中 Algorithm Improvements for Goal Attainment Method一節(jié)內(nèi)容。即在最壞的情況下，尋求最好的結(jié)果。 1x2x 21 * xx221 *61 xx因此 ,容易列出 梁的數(shù)學(xué)模型 : 例 物資調(diào)運(yùn)問題 : 某種物資寸放三個倉庫 里 ,存放量分別為 (單位 :t)。3,2,1,04,3,2,1,3,2,1, .. * min* min314131413141jixjbxiaxtsxcxdijijijiiiji jijiji jijij? ?? ?1 1i jijij xc 示例 4： 如圖所示，設(shè)計一苦空心階梯懸臂梁，根據(jù)結(jié)構(gòu)要求，已確定梁的總長為 1000mm，第一段外徑為 80mm，第二段外經(jīng)為 100mm，梁的端部受有集中力 F＝ 12023N，梁的內(nèi)徑不得小于 40mm， 梁的許用彎曲應(yīng)力為 180MPa，確定梁的內(nèi)徑和各段長度，使梁的體積和靜撓度最小。現(xiàn)要將這些物資運(yùn)往四個銷售點(diǎn) 。 0 m in ( ) njjf f X X D R? ? ?其中 在多目標(biāo)優(yōu)化問題中，由于各個目標(biāo)間往往是矛盾的，所以一般不存在使各目標(biāo)皆達(dá)到各自最優(yōu)值的理想解 。, :p n PE E f D E E? ??12ZZ? 12( ) ( )ZZ???()Z?Z?( ) ( )?ZZ 定理 1 . 設(shè)： : ,又設(shè) ，是問題min 的極小點(diǎn) ,那么 : 若 為 Z的嚴(yán)格單增函數(shù) ,則 是 min 有效解 . 若 為 Z的單增函數(shù) ,則 是 min 的弱有效解 . ?pE?39。 優(yōu)點(diǎn)：不漏解，目標(biāo)明確，計算量小。 （ 2）求第 k次迭代點(diǎn) ? ?()1 , ,()() m in m a x ( ) ( ) , 1 , 2 , ,kj j jX jmkkjw f X m X DXf X j m??? ?????求解得每個單目標(biāo)的極小點(diǎn) 和相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值1/ , 1 , 2 , ,mj j llw j m????? ?這里12211221,0,0mjjjl jljjmjjjl jljMmcMMmMcMm??????? ??? ???????? ?? ???? ???? ? ????當(dāng)其中 當(dāng) （ 3）與決策者對話 將目標(biāo)函數(shù)值提供給決策者，若決策者對所有目標(biāo)值皆滿意，則獲得優(yōu)惠解，停止計算；若決策者對所有目標(biāo)值皆不滿意，則計算失敗，停止計算；若決策者對部分目標(biāo)值滿意，對部分目標(biāo)值不滿意，則繼續(xù)計算。 代替價值函數(shù) Skj賦值規(guī)律 Skj取值范圍是－ 10到＋ 10之間的整數(shù)，其取值含義為： 代替價值交換法的計算步驟 （ 1）求各目標(biāo)的極大值和極小值 () m in ( ) m a x ( ) , 1 , 2 , ,kjjjjfXf X X D f X X Dm M j m???選一個 作為主目標(biāo)函數(shù)，分別求解 和得每個單目標(biāo)的極小值 和極大值 （ 2）求非劣解 得最優(yōu)解和 約束目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的乘子。 m in ( ) ( ) . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , , mllluvF X w f Xg X u ph X v q?????? 2. ?－ 約束法 轉(zhuǎn)化為 從多目標(biāo)中依據(jù)重要程度選擇一個目標(biāo)作為主目標(biāo)，而將其它目標(biāo)轉(zhuǎn)化為約束，即將多目標(biāo)優(yōu)化問題 ? ?12m in ( ) ( ) , ( ) , , ( ) . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , ,TmuvF X f X f X f Xg X u ph X v q?????m in ( ) . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 1 , 2 , , , kuvllfXg X u ph X v qf X l m l k?????? ? ? 可以證明，對于一組 ?值， 若 X*為 ?－ 約束問題的唯一最優(yōu)解，則其一定為多目標(biāo)問題的一個非劣解。 3. 極小極大法 轉(zhuǎn)化為 極小極大法就是求取多目標(biāo)函數(shù)中的最大值，然后使最大值函數(shù)在可行域內(nèi)極小化，即將多目標(biāo)優(yōu)化問題 ? ?12m in ( ) ( ) , ( ) , , ( ) . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , ,TmuvF X f X f X f Xg X u ph X v q?????? ?1m in m a x ( ) . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , , llmuvfXg X u ph X v q?????? (2)極小極大法也可以引入一個變量 ?和 m個約束，即 極小極大法的有關(guān)說明： （ 1) 考慮到各目標(biāo)的重要程度差別，可以對各目標(biāo)乘以權(quán)系數(shù)，然后再求最大值函數(shù)，即 ? ?1m in m a x ( ) . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , , lllmuvw f Xg X u ph X v q??????m in . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 1 , 2 , ,uvllg X u ph X v qw f X j m???????? 4. 理想點(diǎn)法 轉(zhuǎn)化為 理想點(diǎn)法就是將距理想點(diǎn)最近的點(diǎn)作為多目標(biāo)問題的優(yōu)惠解，即將多目標(biāo)優(yōu)化問題 ? ?12m in ( ) ( ) , ( ) , , ( ) . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , ,TmuvF X f X f X f X