【正文】 1 1 課程：管理運(yùn)籌學(xué) 管理運(yùn)籌學(xué) 課后答案 第二章 線性規(guī)劃的圖解法 P23： Q2：（ 1）－（ 6）； Q3： (2) Q2：用圖解法求解下列線性規(guī)劃問(wèn)題，并指出哪個(gè)問(wèn)題具有唯一最優(yōu)解，無(wú)窮多最優(yōu)解，無(wú)界解或無(wú)可行解。 （ 1） Min f＝ 6X1+4X2 約束條件： 2X1+X2=1, 3X1+4X2=3 X1, X2=0 解題如下： 如圖 1 Min f＝ X1=, X2= 本題具有唯一最優(yōu) 解。 圖 1 （ 2） Max z＝ 4X1+8X2 約束條件： 2X1+2X2=10 X1+X2=8 X1,X2=0 解題如下：如圖 2： Max Z 無(wú)可行解。 圖 2 3X1+4X2=3 2X1+X2=1 （ ， ） 2 2 （ 3） Max z＝ X1+X2 約束條件 8X1+6X2=24 4X1+6X2=12 2X2=4 X1,X2=0 解題如下 ： 如圖 3： Max Z=有無(wú)界解。 圖 3 （ 4） Max Z＝ 3X12X2 約束條件： X1+X2=1 2X1+2X2=4 X1,X2=0 解題如下：如圖 4： Max Z 無(wú)可行解。 圖 4 2X1+2X2=10 X1+X2=8 4X1+6X2=12 2X2=4 8X1+6X2=24 3 3 (5) Max Z＝ 3X1+9X2 約束條件： X1+3X2=22 X1+X2=4 X2=6 2X15X2=0 X1,X2=0 解題如下：如圖 5： Max Z =66； X1=4 X2=6 本題有唯一最優(yōu)解。 圖 5 (6) Max Z=3X1+4X2 約束條件： X1+2X2=8 X1+2X2=12 2X1+X2=16 2X15X2=0 X1,X2=0 解題如下： 如圖 6 Max Z = X1= X2= 本題有唯一最優(yōu) 解。 X1+3X2=22 X1+X2=4 2X15X2=0 X2=6 (4,6) 2X1+2X2=4 X1+X2=1 4 4 圖 6 Q3：將線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式 （ 2） min f＝ 4X1+6X2 約束條件： 3X12X2=6 X1+2X2=10 7X16X2=4 X1,X2=0 解題如下： 1）目標(biāo)函數(shù)求最小值化為求最大值：目標(biāo)函數(shù)等式左邊 min 改為 max，等式右邊各項(xiàng)均改變正負(fù)號(hào)。 2）決策變量非負(fù)化：若 Xi≤ 0，令 Xi=－ Xia，（ Xia≥ 0）；若 Xi無(wú)約束，令 Xi=Xia－ Xib，（ Xia≥ 0， Xib≥ 0）；將上述替換變量代入目標(biāo)函數(shù)和約束條件。 3）約束條件不等式化為等式：不等號(hào)為≤的，不等式左邊加松弛變量；不等號(hào)為≥的，不等式左邊減剩余變量。 4）常數(shù)項(xiàng)為非負(fù)。 本題標(biāo)準(zhǔn)化如下： 令： z＝ f， 則： Max z＝ min (f)= 4X16X2+0X3+0X4 所以： Max z＝ 4X16X2+0X3+0X4 約束條件： 3X12X2X3+0X4＝ 6 X1+2X2+0X3X4=10 7X16X2+0X3+0X4=4 X1,X2,X3,X4=0 2X1+X2=16 X1+2X2=12 X1+2X2=8 2X15X2=0 (,) 5 5 第三章 線性規(guī)劃問(wèn)題的計(jì)算機(jī)求解 P37: Q4。 P38:Q5 Q4：考慮下面的線性規(guī)劃問(wèn)題： Max Z＝ 2X1+X2X3+X4 約束條件： X1X2+2X3+X4=2 X13X2+X3X3X4=4 2X2+X3+2X4=3 X1,X2,X3,X4=0 計(jì)算機(jī)結(jié)果輸出如下： **********************最優(yōu)解如下 ************************* 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為 : 變量 最優(yōu)解 相差值 x1 0 x2 0 x3 0 x4 0 4 約束 松弛 /剩余變量 對(duì)偶價(jià)格 1 5 0 2 0 2 3 0 目標(biāo)函數(shù)系數(shù)范圍 : 變量 下限 當(dāng)前值 上限 x1 .2 2 無(wú)上限 x2 3 1 無(wú)上限 x3 無(wú)下限 1 x4 無(wú)下限 1 5 常數(shù)項(xiàng)數(shù)范圍 : 約束 下限 當(dāng)前值 上限 1 無(wú)下限 2 7 2 1 4 無(wú)上限 3 0 3 無(wú)上限 回答下列問(wèn)題： （ 1） 請(qǐng)指出其最優(yōu)解及其最優(yōu)目標(biāo)值 。 （ 2） 那些約束條件起到了約束作用，它們的對(duì)偶價(jià)格各為多 少，請(qǐng)給予說(shuō)明。 （ 3） 如果請(qǐng)你選擇一個(gè)約束條件，將它的常數(shù)項(xiàng)增加一個(gè)單位，你將選擇哪一個(gè)約束條件，這時(shí)候最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值是多少？ （ 4） 請(qǐng)問(wèn)在目標(biāo)函數(shù)中 X3 的系數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，其最優(yōu)解不變，這時(shí)其最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值是否會(huì)發(fā)生變化，為什么？ （ 5） 請(qǐng)問(wèn)在目標(biāo)函數(shù)中 X1 的系數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，其最優(yōu)解不變，這時(shí)其最優(yōu)目 6 6 標(biāo)函數(shù)值是否會(huì)發(fā)生變化，為什么？ 解題如下： 答： （ 1） 其最優(yōu)解是 X1=。X2=。X3=0。X4=0； 最優(yōu)目標(biāo)值是 MaxZ= （ 2） 約束條件 3 起到了約束的作用，它們的對(duì)偶價(jià)格分別為 2 和 。 （ 3）因?yàn)榍竽繕?biāo)函數(shù)值 MaxZ，因選擇約束條件 3 的對(duì)偶價(jià)格為 ，當(dāng)該約束條件改善一個(gè)單位時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最大值改善 。這時(shí)目標(biāo)函數(shù)最大值為 +＝ 22。 （ 4）計(jì)算機(jī)輸出結(jié)果可知，當(dāng) X3的系數(shù)在（－ ?， ）范圍內(nèi)變化時(shí)，其最優(yōu)解不變。 且 這時(shí)其最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值不會(huì)發(fā)生變化 。因?yàn)檩敵鼋Y(jié)果中 X3=0。 （ 5）計(jì)算機(jī)輸出結(jié)果可知，當(dāng) X1 的系數(shù)在（ ， ?）范圍內(nèi)變化時(shí)，其最優(yōu)解不變。 因 X1= 為最優(yōu)解，因此目標(biāo)函數(shù)值會(huì)隨著 X1 的變化而 改變。 Q考慮下面 線性規(guī)劃問(wèn)題： MinZ＝ 16X1+16X2+17X3。 約束條件： X1+X2=30 +6X3=15 3X1+4X2X3=20 X1,X2,X3=0 計(jì)算機(jī)輸出結(jié)果如下 ： **********************最優(yōu)解如下 ************************* 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為 : 變量 最優(yōu)解 相差值 x1 0 x2 0 .703 x3 0 約束 松弛 /剩余變量 對(duì)偶價(jià)格 1 0 2 0 3 0 目標(biāo)函數(shù)系數(shù)范圍 : 變量 下限 當(dāng)前值 上限 x1 16 x2 16 無(wú)上限 x3 17 192 常數(shù)項(xiàng)數(shù)范圍 : 約束 下限 當(dāng)前值 上限 1 30 無(wú)上限 2 15 435 3 20 90 回答如下問(wèn)題： （ 1） 第二個(gè)約束方程的對(duì)偶價(jià)格是一個(gè)負(fù)數(shù)（ ），它的含義是什么？ 7 7 （ 2） X2 的相差值為 ，它的含義是什么。 （ 3） 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中 X1 的系數(shù)從 16 降為 15，