【正文】 第三章 分布與抽樣分布 第二節(jié) 抽樣分布 第一節(jié) 概率與概率分布 第三節(jié) 統(tǒng)計推斷 第一節(jié) 概率與概率分布 Certain Impossible 0 1 一 概率 （一）概率的統(tǒng)計定義 ? 研究隨機試驗，僅知道可能發(fā)生哪些隨機事件是不夠的，還需了解各種隨機事件發(fā)生的可能性大小，以揭示這些事件的內(nèi)在的統(tǒng)計規(guī)律性，從而指導(dǎo)實踐。這就要求有一個能夠 刻劃事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo) ，這指標(biāo)應(yīng)該是事件本身所固有的，且不隨人的主觀意志而改變，人們 稱之為概率 （probability）。 事件 A的概率記為 P（ A）。 ? 概率的統(tǒng)計定義 在相同條件下進(jìn)行 n次重復(fù)試驗，如果隨機事件 A發(fā)生的次數(shù)為 m， 那么 m/n稱為隨機事件 A的 頻率 （ frequency）； 當(dāng)試驗重復(fù)數(shù) n逐漸增大時，隨機事件 A的頻率越來越穩(wěn)定地接近某一數(shù)值 p ， 那么 就 把 p稱為隨機事件 A的 概率 。 ? 這 樣 定 義 的 概 率 稱 為 統(tǒng) 計 概 率（ statistics probability）， 或者稱后驗概率（ posterior probability） 表 31 拋擲一枚硬幣發(fā)生正面朝上的試驗記錄 從表 31可看出，隨著實驗次數(shù)的增多，正面朝上這個事件發(fā)生的頻率越來越穩(wěn)定地接近 ，我們就把 。 在一般情況下，隨機事件的概率 p是不可能準(zhǔn)確得到的。通常以試驗次數(shù) n充分大時隨機事件 A的頻率作為該隨機事件概率的近似值。 即 P（ A） =p≈m/n （ n充分大） （二 ） 概率的性質(zhì) 對于任何事件 A， 有 0≤P（ A） ≤1； 必然事件的概率為 1，即 P（ Ω） =1； 不可能事件的概率為 0，即 P（ ф） =0。 一個總體是由一個隨機變量的所有可能取值來構(gòu)成的，而樣本只是這些所有可能取值的一部分 隨機變量中某一個值出現(xiàn)的概率，只是隨機變量一個側(cè)面的反映，若要全面了解隨機變量則必須知道 隨機變量的全部值 和 各個值出現(xiàn)的概率 ，即隨機變量的概率分布 ■ 概率和概率分布是生命科學(xué)研究中由樣本推斷總體的理論基礎(chǔ) 隨機變量的種類很多，每一種隨機變量都有其特定的概率分布。 ? 連續(xù)型隨機變量 ? 離散型隨機變量 在一定范圍內(nèi)可連續(xù)取值的變量。 在一定范圍內(nèi)只取有限種可能的值的變量。 正態(tài)分布 二項分布、泊松分布 二 概率分布 1. 正態(tài)分布 正態(tài)分布（ normal distribution） 的概念是由德國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家 Moivre于1733年首次提出的，由德國數(shù)學(xué)家 Gauss率先將其應(yīng)用于天文學(xué)研究，故正態(tài)分布又稱為 Gauss分布（ Gaussian distribution）。 許多生物學(xué)領(lǐng)域（ 如身高、體重、脈搏、血紅蛋白、血清總膽固醇等 ）的隨機變量都服從或者近似服從正態(tài)分布或通過某種轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布，許多其他類型分布基本上都與正態(tài)分布有關(guān)，它們的極限就是正態(tài)分布。 正態(tài)分布的定義 在日常工作中所遇到的變量大多是連續(xù)型隨機變量，當(dāng)這一類隨機變量呈線性時，往往服從正態(tài)分布 連續(xù)型隨機變量的概率分布 頻數(shù)分布表： 某地 13 歲女孩 1 18 人的身高 ( c m ) 資料頻數(shù)分布 身高組段 頻數(shù) 組中值 （ 1 ） （ 2 ） (3) 129 ～ 2 132 ～ 2 135 ～ 8 138 ～ 20 141 ～ 26 144 ～ 25 147 ～ 20 150 ～ 9 153 ～ 3 156 ～ 2 159 ～ 162 1 合計 118 — 下面我們以某地 13歲女孩 118人的身高 (cm)資料，來說明身高變量服從正態(tài)分布。 頻數(shù)分布圖 （ 又稱直方圖） 身高 ( c m)1 6 0 . 51 5 7 . 51 5 4 . 51 5 1 . 51 4 8 . 51 4 5 . 51 4 2 . 51 3 9 . 51 3 6 . 51 3 3 . 51 3 0 . 5 某地 13 歲女孩 118 人身高 ( c m ) 頻數(shù)分布圖頻數(shù)3020100從頻數(shù)表及頻數(shù)分布圖上可得知： 該數(shù)值變量資料頻數(shù)分布呈現(xiàn)中間頻數(shù)多，左右兩側(cè)基本對稱的分布。所以我們通俗地認(rèn)為該資料服從正態(tài)分布。 身高 ( c m) 某地 13 歲女孩 118 人身高 ( c m ) 頻數(shù)分布圖頻數(shù)20100頻數(shù)分布圖二 頻數(shù)分布圖三 身高 ( c m) 某地 13 歲女孩 118 人身高 ( c m ) 頻數(shù)分布圖頻數(shù)14121086420正態(tài)分布圖四 身高 ( c m) 頻數(shù)分布逐漸接近正態(tài)分布示意圖和正態(tài)分布相對應(yīng)的曲線稱為正態(tài)分布密度曲線，簡稱為正態(tài)曲線。 用來描述正態(tài)曲線的函數(shù)稱為正態(tài)分布密度函數(shù) 222)(21)( ???????xexfμ — 總體平均數(shù) σ2 — 總體方差 π — 圓周率 σ — 總體標(biāo)準(zhǔn)差 ■ 任何一個正態(tài)分布均由參數(shù) μ和 σ所決定 如果一個隨機變量 x服從平均數(shù)為 μ、 方差為 σ2的正態(tài)分布，可記為 x～ N（ μ， σ2）。 e — 自然對數(shù)的底， 正態(tài)分布的特點 （ 1）正態(tài)分布曲線以直線 x =μ為對稱軸，左右完全對稱 （ 3） 正態(tài)分布曲線有兩個拐點，拐點座標(biāo)分別為（ μσ， f（ μσ）） 和（ μ+σ， f（ μ+σ））， 在這兩個拐點處曲線改變方向，即曲線在（ ∞， μσ） 和（ μ+σ， +∞） 區(qū)間上是下凹的，在 [μσ，μ+σ]區(qū)間內(nèi)是上凸的 ??x● ● ● （ 2） 在 x =μ 處， f(x)有最大值 ???21)( ?f（ 4） 正態(tài)分布密度曲線的位置由 μ 決定（ μ 為位置參數(shù)），形狀由 σ 決定（ σ 為形狀參數(shù)） （ 5） 正態(tài)分布曲線向兩邊無限延伸，以 x軸為漸進(jìn)線，分布從 ∞到 +∞ ?μ的大小決定了曲線在 x軸上的位置 ?σ的大小則決定了曲線的胖瘦程度 當(dāng) σ恒定時， μ愈大，則曲線沿 x軸愈向右移動 μ愈小，曲線沿 x軸愈向左移動 σ越大表示數(shù)據(jù)越分散，曲線越胖 σ越小表示數(shù)據(jù)越集中，曲線越瘦 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 正態(tài)分布由 μ 和 σ 所決定，不同的 μ 、 σ 值就決定了不同的正態(tài)分布密度函數(shù)，因此在實際計算中很不方便的。需將一般的 N(μ ，σ 2 )轉(zhuǎn)換為 μ =0, σ 2 =1的正態(tài)分布。我們稱 μ =0, σ 2 =1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 (standard normal distribution) 可見，由正態(tài)分布密度函數(shù) 得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)： 222)(21)( ???????xexf2221)( xexf ??? 正態(tài)分布的概率計算 根據(jù)概率論原理，可知隨機變量 x在區(qū)間（ a， b） 內(nèi)取值的概率是一塊面積： ax? bx?面積由 0?y 曲線 所圍成的曲邊梯形所組成： ???? ba dxxfbxaP )()(隨機變量 x在（ ∞， +∞）間取值的概率為 1 ，即： 1)()( ???????? ? ???? dxxfxP■ 求隨機變量 x在某一區(qū)段內(nèi)取值的概率就轉(zhuǎn)化成了求由該區(qū)段與相應(yīng)曲線所圍成的曲邊梯形的面積。 由于正態(tài)分布的概率密度函數(shù)比較復(fù)雜，積分的計算也比較麻煩，而這些計算在動物科學(xué)研究和生產(chǎn)實踐中又經(jīng)常會用到。 最好的解決辦法：將正態(tài)分布 轉(zhuǎn)化為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（附表 1）直接查出概率值。 （ 1） 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算 附表 1列出了在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機變量 u在區(qū)間 （ ??， uα]內(nèi)取值的概率： ?? ?? ??? ??? ?? ?? uuudueduufuuP 2221)()(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算通式 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表 例 1： 若 u~ N（ 0， 1）， 求： )( ?uP)(