【正文】 第一節(jié) 引言 第二節(jié) 均值向量的檢驗 第三節(jié) 協(xié)差陣的檢驗 第一節(jié) 引言 ? 在單一變量的統(tǒng)計分析中，已經(jīng)給出了正態(tài)總體N（ ?， ?2） 的均值 ?和方差 ?2的各種檢驗。對于多變量的正態(tài)總體 Np（ ?， ∑ ） ，各種實際問題同樣要求對 ?和 ∑進行統(tǒng)計推斷。 ? 例如，我們要考察全國各省、自治區(qū)和直轄市的社會經(jīng)濟發(fā)展狀況，與全國平均水平相比較有無顯著性差異等，就涉及到多元正態(tài)總體均值向量的檢驗問題等。 ? 本章類似單一變量統(tǒng)計分析中的各種均值和方差的檢驗，相應地給出多元統(tǒng)計分析中的各種均值向量和協(xié)差陣的檢驗。 ? 其 基本思想和步驟 均可歸納為： 第一，提出待檢驗的假設 H0和 H1； 第二，給出檢驗的統(tǒng)計量及其服從的分布； 第三，給定檢驗水平，查統(tǒng)計量的分布表，確定相應的臨界值，從而得到否定域； 第四，根據(jù)樣本觀測值計算出統(tǒng)計量的值，看是否落入否定 域中，以便對待判假設做出決策（拒絕或接受）。 ? 在檢驗的過程中，關鍵在于對不同的檢驗給出不同的統(tǒng)計量，而有關統(tǒng)計量的給出大多用似然比方法得到。由于多變量問題的復雜性，本章只側(cè)重于解釋選取統(tǒng)計量的合理性，而不給出推導過程，最后給出幾個實例。 ? 為了更好的說明檢驗過程中統(tǒng)計量的分布，本章還要介紹 HotellingT2分布和 Wilks分布的定義。 第二節(jié) 均值向量的檢驗 一 單一變量檢驗的回顧及 HotellingT2分布 二 一個正態(tài)總體 均值向量的檢驗 三 兩個正態(tài)總體均值向量的檢驗 四 多個正態(tài)總體均值向量的檢驗 一、單一變量檢驗的回顧及 HotellingT2分布 ? 為了對多元正態(tài)總體均值向量作檢驗，首先需要給出 HotellingT2分布的定義。 ? ? 在單一變量的檢驗問題中，設12, , , nX X X來自總體2( , )N ??的樣本，我們要檢驗假設 0 0 1 0: 。 :HH ? ? ? ??? 當2?已知時，用統(tǒng)計量 0()Xzn???? （ 3 . 1 ） 其中，11niiXXn ?? ?為樣本均值。當假設成立時，統(tǒng)計量 z 服從正態(tài)分布~ ( 0 , 1 )zN，從而否定域為/2||zz ??，/2z ?為( 0 , 1 )N的上/2?分位點。 當2?未知時，用 2211()1niiS X Xn ????? （ ） 作為2?的估計量，用統(tǒng)計量： 0()XtnS??? （ ） 來做檢驗。當假設成立時，統(tǒng)計量t服從自由度為1n ?的t分布，從而否定域為/2| | ( 1 )t t n???，/2 ( 1 )tn? ?為自由度為1n ?的t分布上的/2?分位點。 這里我們應該注意到，（ ）式可以表示為 22 2 12()( ) ( ) ( )nXt n X S XS??????? ? ? ? （ ） 對于多元變量而言，可以將t分布推廣為下面將要介紹的Hote lling 2T 分布。 定義 設~ ( , )pNX μ Σ，~ ( , )pWnS Σ且 X 與S相互獨立，pn ?，則稱統(tǒng)計量2 1Tn ?? X S X的分 布 為 非 中 心 H ot e l l i n g T2分 布 ， 記 為2 ~ ( , , )T T p n2 μ。當0?μ時，稱 2T 服從（中心）H ot e l l i n g 2T 分布。記為( , )T p n2。 由于這一統(tǒng)計量的分布首先由 H a r ol d H ot e l l i n g 提出來的，故稱為 H ot e l l i n g 2T 分布，值得指出的是，我國著名統(tǒng)計學家許寶祿先生在 1938 年用不同方法也導出 2T 分布的密度函數(shù)，因表達式很復雜，故略去。 在單一變量統(tǒng)計分析中，若統(tǒng)計量)1(~ ?ntt分布，則)1,1(~2 ?nFt分布，即把t分布的統(tǒng)計量轉(zhuǎn)化為 F 統(tǒng)計量來處理，在多元統(tǒng)計分析中 2T 統(tǒng)計量也具有類似的性質(zhì)。 定理 若~ ( , )pN 0X Σ，~ ( , )pWnS Σ且 X 與S相互獨立，令 21Tn ??? X S X ，則 21~ ( , 1 )npT F p n pnp???? （ ） 在我們后面所介紹的檢驗問題中，經(jīng)常會用到這一性質(zhì)。 二、一個正態(tài)總體 均值向量的檢驗 ? 在經(jīng)濟生產(chǎn)、管理決策中的很多實際問題，通常要選取多個指標進行考察，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，將項指標的歷史平均水平記作，考慮新的項指標平均值是否與歷史數(shù)據(jù)記載的平均值有明顯差異？若有差異，進一步分析差異主要在哪些指標上，先看下面的實例： ? 例 20名健康女性排汗量 x鈉含量 x2 、鉀含量 x3得表 。問健康女性 x1 、 x2 、 x3的均值是不是 50、 10？ 排汗量 x1 鈉含量 x2 鉀含量 x3 排汗量 x1 鈉含量 x2 鉀含量 x3 ? 例 ： 服從 要根據(jù) 20個樣品做復合檢驗： )39。,( 321 xxxx ?),( ??N??????????????????????????????????10504:,10504:32113210??????HH? 一般的，我們考慮 p維正態(tài)分布均值等于常數(shù)的檢驗問題： 為取自維正態(tài)總體 的一個樣本，要檢驗： nXXX , 21 ?),(1 ??pN0100 :。: ???? ?? HH? 其中 μ0為已知 p維向量。 設( 1 ) ( 2 ) ( ), , , nX X X是來自p維正態(tài)總體( , )pN μ Σ的樣本，且()11nn?? ?? ?XX，( ) ( )1( ) ( )naaa ??? ? ??S X X X X。 （一） 協(xié)差陣 Σ 已知時均值向量的檢驗 00H ?： μ μ（0μ為已知向量）10H ?： μ μ 假設0H成立，檢驗統(tǒng)計量為 2 1 20 0 0( ) ( ) ~ ( )T n p???? ? ?X μ Σ X μ （ ） 給定檢驗水平?，查2?分布表使? ?220PT ?????，可確定出臨界值2??，再用樣本值計算出20T，若220T ???，則否定0H，否則接受0H。 ? 這里要對統(tǒng)計量的選取做一些解釋，為什么該統(tǒng)計量服從)(2 p?分布。根據(jù)二次型分布定理知道，若~ ( , )pN 0X Σ，則12 ~ ( )p???X Σ X。顯然， 210 0 01100( ) ( )( ) ( )Tnnn????? ? ???? ? ? ?X μ Σ X μX μ Σ X μ Y Σ Y 其中，0( ) ~ ( , )pnN?? 0YX μ ?，因此， 210 0 0( ) ( )Tn??? ? ?X Σ X μ? 2~ ( )p?。 （二）協(xié)差陣Σ未知時均值向量的檢驗 00H ?μ μ：（0μ為已知向量）10H ?μ μ： 假設0H成立，檢驗統(tǒng)計量為 2( 1 ) 1~ ( , )( 1 )npT F p n pnp????? （ 3 . 7 ） 其中，2100( 1 ) [ ( ) ( ) ]T n n n??? ? ? ?X μ SX μ 給定檢驗水平?，查F分布表，使2( 1 )npP T Fnp???? ????????，可確定出臨界值?F，再用樣本值計算出 2T ，若2( 1 )npTFnp????，則否定0H，否則接受0H。 ? 這里需要解釋的是，當Σ未知時，自然想到要用樣本協(xié)差陣11n ?S取代替Σ，因1( 1 )n ?? S是 1?Σ的無偏估計量，而樣本離差陣 ( ) ( )1( ) ( ) ~ ( 1 , )na a paWn??? ? ? ??S X X X X Σ