高考必考高中數(shù)學函數(shù)的凹凸性(已修改)
2025-08-17 18:10 本頁面
【正文】 高考必考函數(shù)的凹凸性在高考中的應用 目的: ①了解函數(shù)的凹凸性，掌握增量法解決凹凸曲線問題。 ②培養(yǎng)學生探索創(chuàng)新能力，鼓勵學生進行研究型學習。教學重點：掌握增量法解決凹凸曲線問題教學難點：函數(shù)的凹凸性定義及圖像特征教學過程：一、 課題導入 1. 2013屆高三第一次月考試題12得分統(tǒng)計表班級考試人數(shù)答對人數(shù)答錯人數(shù)正確率高三（1）班（理）541935%高三（11）班（文）611249%，以引出課題———題目： 一高為Ｈ、滿缸水量為Ｖ的魚缸的截面如圖1所示，其底部碰了一個小洞，滿缸水從洞中流出．若魚缸水深為ｈ時水的體積為Ｖ，則函數(shù)Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致圖象可能是圖2中的（ ）．（選自《中學數(shù)學教學參考》2001年第1～2合期）的《試題集綿》． 圖1 圖2函數(shù)凹凸性問題是近幾年高考與平時訓練中的一種新題型．這種題情景新穎、背景公平，能考查學生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學素質，體現(xiàn)“高考命題范圍遵循教學大綱，又不拘泥于教學大綱”的改革精神．但由于函數(shù)曲線的凹凸性在中學教材中既沒有明確的定義，又沒有作專門的研究，因此，就多數(shù)學生而言，對這類凹凸性曲線問題往往束手無策；而教師的“導數(shù)”理解又不能被學生所接受．所以，對這類非常規(guī)性問題作一探索，并引導學生去得到一般性的解法，無疑對學生數(shù)學素質的提高和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)以及在迅速準確解答高考中出現(xiàn)此類的試題都是十分重要的。二、 新課講授凹凸函數(shù)定義及幾何特征⑴引出凹凸函數(shù)的定義：如圖3根據(jù)單調函數(shù)的圖像特征可知：函數(shù)與都是增函數(shù)。但是與遞增方式不同。不同在哪兒？把形如的增長方式的函數(shù)稱為凹函數(shù)，而形如的增長方式的函數(shù)稱為凸函數(shù)。⑵凹凸函數(shù)定義（根據(jù)同濟大學數(shù)學教研室主編《高等數(shù)學》第201頁）：設函數(shù)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對（a，b）上任意兩點、恒有：（1），則稱為（a，b）上的凹函數(shù)；（2），則稱為（a，b）上的凸函數(shù)。⑶凹凸函數(shù)的幾何特征：幾何特征1（形狀特征）圖4（凹函數(shù)） 圖5（凸函數(shù)） 如圖，設是凹函數(shù)y=曲線上兩點，它們對應的橫坐標，則，過點作軸的垂線交函數(shù)于A，交于B， 凹函數(shù)的
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