【正文】 第二章 誤差分析和數(shù)據(jù)處理方法測(cè)量物理實(shí)驗(yàn)不僅要定性觀察各種物理現(xiàn)象，更重要的是找出有關(guān)物理量之間的定量關(guān)系。為此就需要進(jìn)行測(cè)量。測(cè)量指的是將待測(cè)的物理量與一個(gè)選來作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量進(jìn)行比較的過程。通過比較得出它們的倍數(shù)關(guān)系，進(jìn)而認(rèn)識(shí)待測(cè)量的一些未知屬性?？梢哉J(rèn)為測(cè)量就是一種研究方法。選作標(biāo)準(zhǔn)的同類量稱為單位。倍數(shù)稱為測(cè)量數(shù)值。由此可見，一個(gè)物理量的測(cè)量值等于測(cè)量值與單位的乘積。一個(gè)物理量的大小是客觀存在的，選擇不同的單位，相應(yīng)的測(cè)量數(shù)值就有所不同。單位越大，測(cè)量數(shù)值愈小，反之亦然。測(cè)量可分為兩類。一類是直接測(cè)量。如用尺量長(zhǎng)度，以表計(jì)時(shí)間，天平稱質(zhì)量，溫度計(jì)量溫度等；另一類是間接測(cè)量，是根據(jù)直接測(cè)量所得的數(shù)據(jù)，根據(jù)一定的公式，通過運(yùn)算，得出所需要的結(jié)果，例如直接測(cè)出單擺的長(zhǎng)度ι和周期，應(yīng)用公式g=4π2ι/T2,求出重力加速度g。在物理的測(cè)量中，絕大部分是間接測(cè)量，但直接測(cè)量是一切間接測(cè)量的基礎(chǔ)。不論直接測(cè)量或間接測(cè)量，都需要滿足一定的實(shí)驗(yàn)條件，按照嚴(yán)格的方法及正確地使用儀器，才能得出應(yīng)有的結(jié)果。因此，在實(shí)驗(yàn)過程中，一定要明白實(shí)驗(yàn)的目的，正確地使用儀器，細(xì)心地進(jìn)行操作、讀數(shù)和記錄，以達(dá)到鞏固理論知識(shí)和加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)技能訓(xùn)練的目的。物理量在客觀上有著確定的數(shù)值，稱為真值。然而在實(shí)際測(cè)量時(shí)，由于實(shí)驗(yàn)條件、實(shí)驗(yàn)方法和儀器精度等的限制或者不夠完善，以及實(shí)驗(yàn)人員技術(shù)水平和經(jīng)驗(yàn)等原因，使得測(cè)量值與客觀存在的真值之間有一定的差異。測(cè)量值x與真值Tx的差值稱為測(cè)量誤差δ，簡(jiǎn)稱誤差。即 δ= x Tx 任何測(cè)量都不可避免地存在誤差，所以，一個(gè)完整的測(cè)量結(jié)果應(yīng)該包括測(cè)量值和誤差兩個(gè)部分。既然測(cè)量不能得到真值，那么怎樣才能最大限度地減小測(cè)量誤差并估算出這誤差的范圍呢？要回答這些問題，首先要了解誤差產(chǎn)生的原因及其性質(zhì)。測(cè)量誤差按其產(chǎn)生原因與性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和過失誤差三大類。（1）系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是有規(guī)律的，測(cè)量結(jié)果都大于真值，或小于真值?；蛟跍y(cè)量條件改變時(shí)，誤差也按一定規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生有以下幾個(gè)方面：1）由于測(cè)量?jī)x器的不完善、儀器不夠精密或安裝調(diào)整不妥，如刻度不準(zhǔn)、零點(diǎn)不對(duì)、砝碼未經(jīng)校準(zhǔn)、天平臂不等長(zhǎng)、應(yīng)該水平放置的儀器未放水平等。2）由于實(shí)驗(yàn)理論和實(shí)驗(yàn)方法的不完善，所引用的理論與實(shí)驗(yàn)條件不符，如在空氣中稱質(zhì)量而沒有考慮空氣浮力的影響，測(cè)微小長(zhǎng)度時(shí)沒有考慮溫度變化使尺長(zhǎng)的改變，量熱時(shí)沒有考慮熱量的散失，測(cè)量電壓時(shí)未考慮電壓表內(nèi)阻對(duì)電壓的影響，標(biāo)準(zhǔn)電池的電動(dòng)勢(shì)未作溫度校正等。3）由于實(shí)驗(yàn)者生理或心理特點(diǎn)、缺乏經(jīng)驗(yàn)等而產(chǎn)生誤差。例如有些人習(xí)慣于側(cè)坐斜視讀數(shù)，眼睛辨色能力較差等，使測(cè)量值偏大或偏小。減小系統(tǒng)誤差是實(shí)驗(yàn)技能問題，應(yīng)盡可能采取各種措施將它減小到最低程度。例如將儀器進(jìn)行校正，改變實(shí)驗(yàn)方法或者在計(jì)算公式中列入一些修正項(xiàng)以消除某些因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，糾正不良習(xí)慣等。能否識(shí)別或降低系統(tǒng)誤差與實(shí)驗(yàn)者的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際知識(shí)有密切的關(guān)系。學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中要逐步積累這方面的感性知識(shí)，結(jié)合實(shí)驗(yàn)的具體情況對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行分析和討論。因在設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)儀器和實(shí)驗(yàn)原理時(shí)，系統(tǒng)誤差已被減小到最小程度，所以大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課中不要求學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行修正。（2）隨機(jī)誤差（又稱偶然誤差）在相同條件下，對(duì)同一物理量進(jìn)行重復(fù)多次測(cè)量，即使系統(tǒng)誤差減小到最小程度之后，測(cè)量值仍然出現(xiàn)一些難以預(yù)料和無法控制的起伏，而且測(cè)量值誤差的絕對(duì)值和符號(hào)在隨機(jī)地變化著。這種誤差稱為隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差主要來源于人們視覺、聽覺和觸角等感覺能力的限制以及實(shí)驗(yàn)環(huán)境偶然因素的干擾。例如溫度、濕度、電源電壓的起伏、氣流波動(dòng)以及振動(dòng)等因素的影響。從個(gè)別測(cè)量值來看，它的數(shù)值帶有隨機(jī)性，似乎雜亂無章。但是，如果測(cè)量次數(shù)足夠多的話，就會(huì)發(fā)現(xiàn)隨機(jī)誤差遵循一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，可以用概率理論估算它。（3）過失誤差在測(cè)量中還可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，如讀數(shù)錯(cuò)誤、記錄錯(cuò)誤、估算錯(cuò)誤、操作錯(cuò)誤等因素引起的誤差，稱為過失誤差。過失誤差已不屬于正常的測(cè)量工作范疇，應(yīng)當(dāng)盡量避免?？朔e(cuò)誤的方法，除端正工作態(tài)度，嚴(yán)格工作方法外，可用與另一次測(cè)量結(jié)果相比較的辦法發(fā)現(xiàn)糾正，或者運(yùn)用異常數(shù)據(jù)剔除準(zhǔn)則來判別因過失而引入的異常數(shù)據(jù)，并加以剔除。正確度、精密度和準(zhǔn)確度正確度、精密度和準(zhǔn)確度是評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果優(yōu)劣的三個(gè)述語。測(cè)量結(jié)果的正確度是指測(cè)量值與真值的接近程度。正確度高，說明測(cè)量值接近真值程度好，即系統(tǒng)誤差小?？梢?，正確度是反映測(cè)量結(jié)果系統(tǒng)誤差大小的述語。測(cè)量結(jié)果的精密度是指重復(fù)測(cè)量所得結(jié)果相互接近的程度。精密度高，說明重復(fù)性好，各個(gè)測(cè)量誤差的分布密集，即隨機(jī)誤差小?？梢姡芏仁欠从硿y(cè)量結(jié)果隨機(jī)誤差大小的術(shù)語。測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度是指綜合評(píng)定測(cè)量結(jié)果重復(fù)性與接近真值的程度。準(zhǔn)確度高，說明精密度和正確度都高?？梢?，準(zhǔn)確度反映隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的綜合效果。在實(shí)驗(yàn)中系統(tǒng)誤差已被減小到最小程度，所以，誤差計(jì)算主要是估算隨機(jī)誤差，因此往往不再嚴(yán)格區(qū)分精密度和準(zhǔn)確度，而泛稱精度。絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和百分差誤差的表示形式，有絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差之分。絕對(duì)誤差177。Δx表示測(cè)量結(jié)果x與真值之間的差值以一定的可能性（概率）出現(xiàn)的范圍，即真值以一定可能性（概率）出現(xiàn)在至區(qū)間內(nèi)。僅僅根據(jù)絕對(duì)誤差的大小還難以評(píng)價(jià)一個(gè)測(cè)量結(jié)果的可靠程度，還需要看測(cè)量值本身的大小，為此引入相對(duì)誤差的概念。相對(duì)誤差 表示絕對(duì)誤差在整個(gè)物理量中所占的比重，一般用百分比表示。例如，一長(zhǎng)度測(cè)量值是1000米，而絕對(duì)誤差為1米。另一長(zhǎng)度測(cè)量值為100厘米，而絕對(duì)誤差為1厘米。后者的相對(duì)誤差為1%，%，所以，前者較后者更可靠。如果待測(cè)量有理論值或公認(rèn)值，也可用百分差表示測(cè)量的好壞。即 百分差絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和百分差通常只取1～2位數(shù)字來表示。 隨機(jī)誤差的高斯分布與標(biāo)準(zhǔn)誤差隨機(jī)性是隨機(jī)誤差的特點(diǎn)。也就是說，在相同條件下，對(duì)同一物理量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，每次測(cè)量值的誤差時(shí)大時(shí)小，對(duì)某一次測(cè)量值來說，其誤差的大小與正負(fù)都無法預(yù)先知道，純屬偶然。但是，如果測(cè)量次數(shù)相當(dāng)多的話，隨機(jī)誤差的出現(xiàn)仍服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。根據(jù)實(shí)驗(yàn)情況的不同，隨機(jī)誤差出現(xiàn)的分布規(guī)律有高斯分布（即正態(tài)分布）、t分布、均勻分布以及反正弦分布等等。按大綱要求，僅介紹隨機(jī)誤差的高斯分布。1．高斯分布的特征和數(shù)學(xué)表述遵從高斯分布規(guī)律的隨機(jī)誤差具有下列四大特征：（1）單峰性 絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的可能性（概率）大，大誤差出現(xiàn)的可能性小。（2）對(duì)稱性 大小相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，對(duì)稱分布于真值的兩側(cè)。（3）有界性 非常大的正誤差或負(fù)誤差出現(xiàn)的可能性幾乎為零。（4）抵償性 當(dāng)測(cè)量次數(shù)非常多時(shí)，正誤差和負(fù)誤差相互抵消，于是，誤差的代數(shù)和趨向于零。高斯分布的特征可以用高斯分布曲線形象地表示出來，見圖221（a）。橫坐標(biāo)為誤差δ，縱坐標(biāo)為誤差的概率密度分布函數(shù)。根據(jù)誤差理論可以證明函數(shù)的數(shù)學(xué)表述式為： （221）測(cè)量值的隨機(jī)誤差出現(xiàn)在δ到δ+dδ區(qū)間內(nèi)的可能性(概率)為f(δ)dδ,即圖221(a)中陰影線所包含的面積元。上式中的σ是一個(gè)與實(shí)驗(yàn)條件有關(guān)的常數(shù)，稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差。其量值為 式中，n為測(cè)量次數(shù)，各次測(cè)量值的隨機(jī)誤差為，,2,3,…n?？梢姌?biāo)準(zhǔn)誤差是將各個(gè)誤差的平方取平均值，再開方得到，所以，標(biāo)準(zhǔn)誤差又稱為均方根誤差。2．標(biāo)準(zhǔn)誤差的物理意義由式（221）可知，隨機(jī)誤差正態(tài)分布曲線的形狀取決于σ值的大小，如圖（221）b所示。σ值愈小，分布曲線愈陡峭，峰值愈高，說明絕對(duì)值小的誤差占多數(shù)，且測(cè)量值的重復(fù)性好，分散?。环粗?，σ值愈大，曲線愈平坦峰值愈低，說明測(cè)量值的重復(fù)性差，分散性大。標(biāo)準(zhǔn)誤差反映了測(cè)量值的離散程度。由于f(δ)dδ是測(cè)量值隨機(jī)誤差出現(xiàn)在小區(qū)間（δ，δ+dδ）的可能性（概率），那么，測(cè)量值誤差出現(xiàn)在區(qū)間（σ，σ）內(nèi)的可能性（概率）就是 這說明對(duì)任意一次測(cè)量，其測(cè)量值誤差出現(xiàn)在到σ區(qū)間內(nèi)的可能性（概率）%。也就是說，假如我們對(duì)某一物理量在相同條件下進(jìn)行了1000次測(cè)量，那么，測(cè)量值誤差可能有683次落在到σ區(qū)間內(nèi)。注意標(biāo)準(zhǔn)誤差的統(tǒng)計(jì)意義，它并不表示任一次測(cè)量值的誤差就是177。σ，也不表示誤差不會(huì)超出177。σ的界限。標(biāo)準(zhǔn)誤差只是一個(gè)具有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的特征量，用以表征測(cè)量值離散程度的一個(gè)特征量。3．極限誤差與上述相仿，同樣可以計(jì)算，在相同條件下對(duì)某一物理學(xué)量進(jìn)行多次測(cè)量，其任意一次測(cè)量值的誤差落在3σ到3σ區(qū)域之間的可能性（概率）。其值為 也就是說，在1000次測(cè)量 中，可能有3次測(cè)量值的誤差絕對(duì)值會(huì)超過3σ。在通常的有限次測(cè)量情況下，測(cè)量次數(shù)很少超過幾十次，因此測(cè)量值的誤差超出177。3σ范圍的情況