【正文】 第二章 誤差分析和數(shù)據(jù)處理方法測量物理實驗不僅要定性觀察各種物理現(xiàn)象，更重要的是找出有關(guān)物理量之間的定量關(guān)系。為此就需要進行測量。測量指的是將待測的物理量與一個選來作為標準的同類量進行比較的過程。通過比較得出它們的倍數(shù)關(guān)系，進而認識待測量的一些未知屬性。可以認為測量就是一種研究方法。選作標準的同類量稱為單位。倍數(shù)稱為測量數(shù)值。由此可見，一個物理量的測量值等于測量值與單位的乘積。一個物理量的大小是客觀存在的，選擇不同的單位，相應(yīng)的測量數(shù)值就有所不同。單位越大，測量數(shù)值愈小，反之亦然。測量可分為兩類。一類是直接測量。如用尺量長度，以表計時間，天平稱質(zhì)量，溫度計量溫度等；另一類是間接測量，是根據(jù)直接測量所得的數(shù)據(jù)，根據(jù)一定的公式，通過運算，得出所需要的結(jié)果，例如直接測出單擺的長度ι和周期，應(yīng)用公式g=4π2ι/T2,求出重力加速度g。在物理的測量中，絕大部分是間接測量，但直接測量是一切間接測量的基礎(chǔ)。不論直接測量或間接測量，都需要滿足一定的實驗條件，按照嚴格的方法及正確地使用儀器，才能得出應(yīng)有的結(jié)果。因此，在實驗過程中，一定要明白實驗的目的，正確地使用儀器，細心地進行操作、讀數(shù)和記錄，以達到鞏固理論知識和加強實驗技能訓(xùn)練的目的。物理量在客觀上有著確定的數(shù)值，稱為真值。然而在實際測量時，由于實驗條件、實驗方法和儀器精度等的限制或者不夠完善，以及實驗人員技術(shù)水平和經(jīng)驗等原因，使得測量值與客觀存在的真值之間有一定的差異。測量值x與真值Tx的差值稱為測量誤差δ，簡稱誤差。即 δ= x Tx 任何測量都不可避免地存在誤差，所以，一個完整的測量結(jié)果應(yīng)該包括測量值和誤差兩個部分。既然測量不能得到真值，那么怎樣才能最大限度地減小測量誤差并估算出這誤差的范圍呢？要回答這些問題，首先要了解誤差產(chǎn)生的原因及其性質(zhì)。測量誤差按其產(chǎn)生原因與性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和過失誤差三大類。（1）系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的特點是有規(guī)律的，測量結(jié)果都大于真值，或小于真值?；蛟跍y量條件改變時，誤差也按一定規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生有以下幾個方面：1）由于測量儀器的不完善、儀器不夠精密或安裝調(diào)整不妥，如刻度不準、零點不對、砝碼未經(jīng)校準、天平臂不等長、應(yīng)該水平放置的儀器未放水平等。2）由于實驗理論和實驗方法的不完善，所引用的理論與實驗條件不符，如在空氣中稱質(zhì)量而沒有考慮空氣浮力的影響，測微小長度時沒有考慮溫度變化使尺長的改變，量熱時沒有考慮熱量的散失，測量電壓時未考慮電壓表內(nèi)阻對電壓的影響，標準電池的電動勢未作溫度校正等。3）由于實驗者生理或心理特點、缺乏經(jīng)驗等而產(chǎn)生誤差。例如有些人習(xí)慣于側(cè)坐斜視讀數(shù)，眼睛辨色能力較差等，使測量值偏大或偏小。減小系統(tǒng)誤差是實驗技能問題，應(yīng)盡可能采取各種措施將它減小到最低程度。例如將儀器進行校正，改變實驗方法或者在計算公式中列入一些修正項以消除某些因素對實驗結(jié)果的影響，糾正不良習(xí)慣等。能否識別或降低系統(tǒng)誤差與實驗者的經(jīng)驗和實際知識有密切的關(guān)系。學(xué)生在實驗過程中要逐步積累這方面的感性知識，結(jié)合實驗的具體情況對系統(tǒng)誤差進行分析和討論。因在設(shè)計實驗儀器和實驗原理時，系統(tǒng)誤差已被減小到最小程度，所以大學(xué)物理實驗課中不要求學(xué)生對實驗系統(tǒng)進行修正。（2）隨機誤差（又稱偶然誤差）在相同條件下，對同一物理量進行重復(fù)多次測量，即使系統(tǒng)誤差減小到最小程度之后，測量值仍然出現(xiàn)一些難以預(yù)料和無法控制的起伏，而且測量值誤差的絕對值和符號在隨機地變化著。這種誤差稱為隨機誤差。隨機誤差主要來源于人們視覺、聽覺和觸角等感覺能力的限制以及實驗環(huán)境偶然因素的干擾。例如溫度、濕度、電源電壓的起伏、氣流波動以及振動等因素的影響。從個別測量值來看，它的數(shù)值帶有隨機性，似乎雜亂無章。但是，如果測量次數(shù)足夠多的話，就會發(fā)現(xiàn)隨機誤差遵循一定的統(tǒng)計規(guī)律，可以用概率理論估算它。（3）過失誤差在測量中還可能出現(xiàn)錯誤，如讀數(shù)錯誤、記錄錯誤、估算錯誤、操作錯誤等因素引起的誤差，稱為過失誤差。過失誤差已不屬于正常的測量工作范疇，應(yīng)當(dāng)盡量避免?？朔e誤的方法，除端正工作態(tài)度，嚴格工作方法外，可用與另一次測量結(jié)果相比較的辦法發(fā)現(xiàn)糾正，或者運用異常數(shù)據(jù)剔除準則來判別因過失而引入的異常數(shù)據(jù)，并加以剔除。正確度、精密度和準確度正確度、精密度和準確度是評價測量結(jié)果優(yōu)劣的三個述語。測量結(jié)果的正確度是指測量值與真值的接近程度。正確度高，說明測量值接近真值程度好，即系統(tǒng)誤差小?？梢姡_度是反映測量結(jié)果系統(tǒng)誤差大小的述語。測量結(jié)果的精密度是指重復(fù)測量所得結(jié)果相互接近的程度。精密度高，說明重復(fù)性好，各個測量誤差的分布密集，即隨機誤差小。可見，精密度是反映測量結(jié)果隨機誤差大小的術(shù)語。測量結(jié)果的準確度是指綜合評定測量結(jié)果重復(fù)性與接近真值的程度。準確度高，說明精密度和正確度都高。可見，準確度反映隨機誤差和系統(tǒng)誤差的綜合效果。在實驗中系統(tǒng)誤差已被減小到最小程度，所以，誤差計算主要是估算隨機誤差，因此往往不再嚴格區(qū)分精密度和準確度，而泛稱精度。絕對誤差、相對誤差和百分差誤差的表示形式，有絕對誤差和相對誤差之分。絕對誤差177。Δx表示測量結(jié)果x與真值之間的差值以一定的可能性（概率）出現(xiàn)的范圍，即真值以一定可能性（概率）出現(xiàn)在至區(qū)間內(nèi)。僅僅根據(jù)絕對誤差的大小還難以評價一個測量結(jié)果的可靠程度，還需要看測量值本身的大小，為此引入相對誤差的概念。相對誤差 表示絕對誤差在整個物理量中所占的比重，一般用百分比表示。例如，一長度測量值是1000米，而絕對誤差為1米。另一長度測量值為100厘米，而絕對誤差為1厘米。后者的相對誤差為1%，%，所以，前者較后者更可靠。如果待測量有理論值或公認值，也可用百分差表示測量的好壞。即 百分差絕對誤差、相對誤差和百分差通常只取1～2位數(shù)字來表示。 隨機誤差的高斯分布與標準誤差隨機性是隨機誤差的特點。也就是說，在相同條件下，對同一物理量進行多次重復(fù)測量，每次測量值的誤差時大時小，對某一次測量值來說，其誤差的大小與正負都無法預(yù)先知道，純屬偶然。但是，如果測量次數(shù)相當(dāng)多的話，隨機誤差的出現(xiàn)仍服從一定的統(tǒng)計規(guī)律。根據(jù)實驗情況的不同，隨機誤差出現(xiàn)的分布規(guī)律有高斯分布（即正態(tài)分布）、t分布、均勻分布以及反正弦分布等等。按大綱要求，僅介紹隨機誤差的高斯分布。1．高斯分布的特征和數(shù)學(xué)表述遵從高斯分布規(guī)律的隨機誤差具有下列四大特征：（1）單峰性 絕對值小的誤差出現(xiàn)的可能性（概率）大，大誤差出現(xiàn)的可能性小。（2）對稱性 大小相等的正誤差和負誤差出現(xiàn)的機會均等，對稱分布于真值的兩側(cè)。（3）有界性 非常大的正誤差或負誤差出現(xiàn)的可能性幾乎為零。（4）抵償性 當(dāng)測量次數(shù)非常多時，正誤差和負誤差相互抵消，于是，誤差的代數(shù)和趨向于零。高斯分布的特征可以用高斯分布曲線形象地表示出來，見圖221（a）。橫坐標為誤差δ，縱坐標為誤差的概率密度分布函數(shù)。根據(jù)誤差理論可以證明函數(shù)的數(shù)學(xué)表述式為： （221）測量值的隨機誤差出現(xiàn)在δ到δ+dδ區(qū)間內(nèi)的可能性(概率)為f(δ)dδ,即圖221(a)中陰影線所包含的面積元。上式中的σ是一個與實驗條件有關(guān)的常數(shù)，稱為標準誤差。其量值為 式中，n為測量次數(shù)，各次測量值的隨機誤差為，,2,3,…n。可見標準誤差是將各個誤差的平方取平均值，再開方得到，所以，標準誤差又稱為均方根誤差。2．標準誤差的物理意義由式（221）可知，隨機誤差正態(tài)分布曲線的形狀取決于σ值的大小，如圖（221）b所示。σ值愈小，分布曲線愈陡峭，峰值愈高，說明絕對值小的誤差占多數(shù)，且測量值的重復(fù)性好，分散?。环粗?，σ值愈大，曲線愈平坦峰值愈低，說明測量值的重復(fù)性差，分散性大。標準誤差反映了測量值的離散程度。由于f(δ)dδ是測量值隨機誤差出現(xiàn)在小區(qū)間（δ，δ+dδ）的可能性（概率），那么，測量值誤差出現(xiàn)在區(qū)間（σ，σ）內(nèi)的可能性（概率）就是 這說明對任意一次測量，其測量值誤差出現(xiàn)在到σ區(qū)間內(nèi)的可能性（概率）%。也就是說，假如我們對某一物理量在相同條件下進行了1000次測量，那么，測量值誤差可能有683次落在到σ區(qū)間內(nèi)。注意標準誤差的統(tǒng)計意義，它并不表示任一次測量值的誤差就是177。σ，也不表示誤差不會超出177。σ的界限。標準誤差只是一個具有統(tǒng)計性質(zhì)的特征量，用以表征測量值離散程度的一個特征量。3．極限誤差與上述相仿，同樣可以計算，在相同條件下對某一物理學(xué)量進行多次測量，其任意一次測量值的誤差落在3σ到3σ區(qū)域之間的可能性（概率）。其值為 也就是說，在1000次測量 中，可能有3次測量值的誤差絕對值會超過3σ。在通常的有限次測量情況下，測量次數(shù)很少超過幾十次，因此測量值的誤差超出177。3σ范圍的情況