矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算(已修改)
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【正文】 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算PROPERTIES AND CALCULATION OF MATRIX EXPONENTIAL FUNCTION 指導(dǎo)教師姓名： 申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：學(xué)士 論文提交日期：2014年6月 8日 摘 要矩陣函數(shù)是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分，而矩陣函數(shù)中的一個(gè)最重要的函數(shù)就是矩陣指數(shù)函數(shù)，它廣泛地應(yīng)用于自控理論和微分方程。本文深入淺出地介紹了矩陣指數(shù)函數(shù)，并進(jìn)一步探討如何借助矩陣指數(shù)函數(shù)分析相關(guān)問(wèn)題。文章以齊次線性微分方程組求解基解矩陣為出發(fā)點(diǎn)引出矩陣指數(shù)函數(shù)的概念，證明求解矩陣指數(shù)函數(shù)就是求解齊次線性微分方程組的基解矩陣，然后得到矩陣指數(shù)函數(shù)的一些基本性質(zhì)。本文的重點(diǎn)是討論矩陣指數(shù)函數(shù)的五種計(jì)算方法。其中，前三種方法廣泛適用于各種矩陣，雖然計(jì)算過(guò)程復(fù)雜程度不同，但都需要計(jì)算矩陣特征值，如遇高階矩陣或復(fù)特征值，則特征值的計(jì)算會(huì)變得異常麻煩。后兩種方法較特殊，雖然缺乏普適性，只能計(jì)算特殊矩陣的指數(shù)函數(shù)，但卻避過(guò)了特征值計(jì)算，簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程。最后，本文具體闡述矩陣指數(shù)函數(shù)在微分方程求解中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：矩陣指數(shù)函數(shù)； Jordon 標(biāo)準(zhǔn)形； 微分方程組ABSTRACTMatrix function is an important part of the matrix theory. And among the matrix function, there is a special and important function that is matrix exponential function. It has been widely used in automatic control theory and differential equations. This paper introduces profound theories on matrix exponential function in simple language, furthermore, it explores how to use matrix exponential function analysis related issues. Through the basic solution matrix of homogeneous linear differential equations, this paper draws out the concept of matrix exponential function. In this part, the author proves that solving matrix exponential function is to solve the basic solution matrix of the homogeneous linear differential equations. Then, some basic properties of matrix exponential function can be derived. The focus of this paper is on the discussion of five kinds of calculation on matrix exponential function. The first three methods can be applied to general cases. Although each method is different, in plexity, all of them need to pute the matrix eigenvalues. The calculation on highorder matrix or plex eigenvalues will be in trouble frequently. The latter two methods is more special for they can only calculate special matrix exponential function. These methods simplify the operation process instead of calculating eigenvalues, but their shortings are obvious. At the final part of this paper, the article expounds the application of matrix exponential function in different equations when solving the function in reality.Key words: Matrix exponential function。 Jordon normal form。 Differential equations目 錄1 前言 1 矩陣（Matrix）的發(fā)展與歷史 1 本文的主要內(nèi)容 22 預(yù)備知識(shí) 33 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 7 矩陣指數(shù) 7 關(guān)于級(jí)數(shù)的收斂性 7 矩陣指數(shù)的性質(zhì) 8 常系數(shù)線性微分方程基解矩陣 10 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 10 矩陣函數(shù) 10 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 114 矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算方法 17 矩陣指數(shù)函數(shù)的一般計(jì)算方法 17 Hamilton‐Cayley求解法 17 微分方程系數(shù)求解法 21 Jordon塊求解法 23 矩陣指數(shù)函數(shù)的特殊計(jì)算方法 26 矩陣指數(shù)函數(shù)展開(kāi)法 27 Laplace變換法 27 矩陣指數(shù)函數(shù)方法比較 285 矩陣指數(shù)函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用 306 總結(jié) 33參考文獻(xiàn) 34致謝 35天津科技大學(xué)2014屆本科生畢業(yè)論文1 前言 矩陣（Matrix）的發(fā)展與歷史在數(shù)學(xué)中，矩陣（Matrix）是很常用的工具，雖然Matrix亦有“子宮，或者控制中心的母體，孕育生命的地方”此類(lèi)含義，然而矩陣卻與生物沒(méi)有太大的關(guān)聯(lián)，矩陣（Matrix）是指在二維空間里的數(shù)據(jù)縱橫分布形成的表格，最先起源于方程組的各項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)所組成的方陣。矩陣的系統(tǒng)概念首先被英國(guó)的著名數(shù)學(xué)家凱利提出。實(shí)際上，雖然矩陣（Matrix）這個(gè)概念誕生于19世紀(jì)，矩陣本身卻有著非常古老的歷史，早在很久以前就已發(fā)現(xiàn)幻方以及古老的拉丁方陣等關(guān)于矩陣方面相關(guān)研究記錄。在我們平時(shí)遇到的相關(guān)問(wèn)題中，在解決線性方程方面問(wèn)題的時(shí)候都會(huì)用到矩陣，在古代中國(guó)，也有很多類(lèi)似于矩陣方面研究載，在魏晉的劉徽所編著的數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中，就已經(jīng)提到了怎樣求解線性方程組增廣矩陣。書(shū)理用類(lèi)似分離系數(shù)法的方法來(lái)表示線性方程組，在其一行乘以一個(gè)非零實(shí)數(shù)、把其中一行中和另一行相減等運(yùn)算技巧，類(lèi)似現(xiàn)在矩陣變換里面的初等變換。然而由于當(dāng)時(shí)世界各地并沒(méi)有系統(tǒng)的矩陣研究，也沒(méi)有相關(guān)概念，所以僅僅以線性方程內(nèi)的表示方法為標(biāo)準(zhǔn)和相關(guān)的處理方式記錄在書(shū)中。在正常的邏輯中，矩陣系統(tǒng)這
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