矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算-預(yù)覽頁
【正文】 9世紀(jì)，矩陣本身卻有著非常古老的歷史，早在很久以前就已發(fā)現(xiàn)幻方以及古老的拉丁方陣等關(guān)于矩陣方面相關(guān)研究記錄。在正常的邏輯中，矩陣系統(tǒng)這個(gè)概念應(yīng)該在行列式之前被提出，但是在實(shí)際的數(shù)學(xué)歷史中卻正好相反。萊布尼茨（1693年）（微積分理論的提出者之一）在大致相同的時(shí)地獨(dú)自建立了行列式理論。隨后，由于研究的需要，行數(shù)等于列數(shù)的行列式在解決重要的數(shù)學(xué)問題是有很大的局限性，無法滿足實(shí)際需要。在這一領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家中，1850年，英國的詹姆斯（James Joseph Sylvester）最開始使用矩陣這個(gè)名字將數(shù)字構(gòu)成的矩形陣列和最開始的行列式分離。除此之外，凱萊（Cayley）亦在報(bào)告里寫下了方陣的特征方程以及特征根還有矩陣的少許基本結(jié)論。1892年，梅茨勒（Metzler）使用并發(fā)展了矩陣函數(shù)及其相關(guān)概念并用它們整理出矩陣冪級(jí)數(shù)的形式。本論文的題目是矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算，所以主要論述便是性質(zhì)和計(jì)算。矩陣的譜 矩陣通過數(shù)學(xué)運(yùn)算計(jì)算出來的特征值的集合就是一個(gè)矩陣的譜，通過數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來也就是：表示的譜，即；矩陣的譜半徑 設(shè)是階數(shù)為的矩陣，其中矩陣的特征值是，若寫作數(shù)學(xué)表達(dá)式也就是：為A的譜半徑。依據(jù)高等代數(shù)的基本定理，在復(fù)數(shù)域的范圍里可以有如下證明： 設(shè) ,是中的個(gè)特征值，他們互不相同，為矩陣A的最小多項(xiàng)式同時(shí),其中 如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值擁有足夠多階，同時(shí)一下個(gè)值(稱在影譜上的值) 有意義，則可以說函數(shù)在矩陣的譜影上有定義。如果矩陣級(jí)數(shù)不收斂，則可稱作發(fā)散的。在雙線性代數(shù)的領(lǐng)域中，正定矩陣似復(fù)數(shù)中的正實(shí)數(shù)的性質(zhì)。例如：一個(gè)階的矩陣，表示一個(gè)單位矩陣，指正實(shí)數(shù)。Hermitian矩陣是階復(fù)方陣，在這里如果的對(duì)稱單元互為共軛，也就是說的共軛轉(zhuǎn)置矩陣就是它自己，則方陣是埃爾米特矩陣(Hermitian Matrix)。范德蒙矩陣范德蒙矩陣是法國數(shù)學(xué)家范德蒙(Vandermonde,AlexandreTheophile, 1735～1796) 提出的一種各列為幾何級(jí)數(shù)的矩陣。在本章中，將從齊次線性微分方程組基解矩陣的求解開始，對(duì)矩陣指數(shù)的概念進(jìn)行研究，然后再對(duì)矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行詳細(xì)討論，本文將會(huì)一步一步將矩陣指數(shù)函數(shù)和齊次線性微分方程組聯(lián)系起來，并證明矩陣就是齊次線性微分方程組的基解矩陣。為了求解（）的基解矩陣，需要定義矩陣指數(shù)。特別的，對(duì)所有的元都為的零矩陣，有。進(jìn)一步指出，級(jí)數(shù) （）在所有有限區(qū)間上是一致收斂的。在之前的兩個(gè)小節(jié)中，本文已經(jīng)證明了（）的收斂性同時(shí)也介紹了矩陣指數(shù)相關(guān)性質(zhì)。又有。由此，求解（）基解矩陣的問題便可以轉(zhuǎn)化為對(duì)矩陣指數(shù)函數(shù)的求解。證明 (1) 知若命，則但由于，于是有反之亦然．（2） 知（3）在滿足的情況下，二項(xiàng)式公式成立，因此在證明(1)過程中的式子可以整理為或故。證明 必要性．設(shè)存在 ，有．記的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是式中：是Jordan塊的階數(shù)，由引理可知，從而有 ，即存在，有充分性．設(shè)對(duì)任何，方程有解存在．令的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是于是存在可逆矩陣，使,于是作式中：從而有故知 ()若令，則式()中. 設(shè)，式(7)成立的充要條件是：存在酉矩陣，使得 ()式中：是可以對(duì)角化的矩陣．證明 必要性．設(shè)式(7)成立， 是正規(guī)矩陣，存在酉矩陣，使得 （）式中： 是單位陣。本文在本節(jié)會(huì)提到的三種方法，此三種方法并沒確定矩陣，因此對(duì)矩陣并沒有特殊的要求，即矩陣并不是特殊矩陣。下面證明這唯一解就是矩陣指數(shù)函數(shù)． 階方陣的特征多項(xiàng)式:如果，則，(Hamilton‐Cayley定理)．同時(shí)滿足初值條件()．所以是階矩陣線性微分方程，的唯一解．證畢．在這里本文設(shè)定矩陣存在個(gè)互不相等的特征值．所以微分方程的通解是為階常數(shù)矩陣。證明： 設(shè)階方陣的特征多項(xiàng)式是。同時(shí),所以最后算出 Jordon塊求解法在這一節(jié)中闡述的計(jì)算比之前的計(jì)算方法計(jì)算較為麻煩,原理和過程同樣不一樣，這個(gè)計(jì)算方法用到了矩陣函數(shù)的Jordon 表示式的知識(shí)，此方法利用的Jordon 表示式的計(jì)算間接的求得．已知和變量的多項(xiàng)式，則稱是的矩陣多項(xiàng)式．和同為階方陣若為階Jordon塊矩陣則關(guān)于階矩陣的矩陣多項(xiàng)式由(1)式可引入多項(xiàng)式的各階導(dǎo)數(shù)，然后能夠表達(dá)為若為Jordon 標(biāo)準(zhǔn)型，,則.這里假設(shè)A是一個(gè)階方陣，表示此方陣Jordon標(biāo)準(zhǔn)形，那么會(huì)有一個(gè)滿秩的矩陣P，使得，因此為矩陣多項(xiàng)式的Jordon 表示式。實(shí)際上，由于以上3種方法均需要求計(jì)算矩陣的特征值，當(dāng)矩陣的階數(shù)變高，或者出現(xiàn)復(fù)數(shù)運(yùn)算時(shí)，計(jì)算矩陣的特征值將會(huì)變得困難。例題，設(shè)，計(jì)算直接計(jì)算,是二階的單位矩陣。這里，對(duì)進(jìn)行Laplace變換由此，如果我們想要求，則可以對(duì)進(jìn)行Laplace反變換，即就可以的出結(jié)果了。毋庸置疑，在這三種方法里，最后一種方法的計(jì)算量比前二者要多一些，方法三運(yùn)用到了Jordon表示式的知識(shí)，主要根據(jù)矩陣函數(shù)的Jordon表示式的變化求解，此方法經(jīng)過計(jì)算的Jordon表示式計(jì)算，但是變化Jordon標(biāo)準(zhǔn)形階段有點(diǎn)復(fù)雜，而且整理之后變換矩陣也需要計(jì)算，這里所需計(jì)算相當(dāng)大，并且如果矩陣的階數(shù)較大，這里所需的計(jì)算也會(huì)變復(fù)雜．雖然如此，但是此方法也有優(yōu)點(diǎn)，它的計(jì)算步驟清楚明了，容易理解，除了計(jì)算，在使用時(shí)也很方便．第一種和第二種方法的計(jì)算都用到了微分方程方面的相關(guān)知識(shí)，這兩種方法中都運(yùn)用了到一個(gè)n階的線性微分方程，通過對(duì)這個(gè)方程的求解來計(jì)算, 與方法三比起來，降低了矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算量，計(jì)算的過程也相對(duì)簡單，不過對(duì)于一般人來說，理解并熟練的運(yùn)用還有一定的難度．但是實(shí)際上，由于以上3種方法均需要求矩陣的特征值，如果遇到高階矩陣或者特征值為復(fù)數(shù)，這三種方法的計(jì)算復(fù)雜度都會(huì)變高。用上面所用的方法我們可求出：，其中。實(shí)際上，雖然在齊次線性微分方程組方面引出了，但是這里并不能直接把基解矩陣和劃等號(hào)，還需要相關(guān)性質(zhì)的證明，之后本文又從簡單的介紹了矩陣函數(shù)的性質(zhì)，從另一方面再次引出，并在矩陣函數(shù)的基礎(chǔ)上對(duì)矩陣函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究，一共提出了7條性質(zhì)，并對(duì)其逐一進(jìn)行證明，實(shí)際上，一般的文獻(xiàn)中只提到了只有6條基本性質(zhì)，第七點(diǎn)為矩陣指數(shù)函數(shù)的衍生性質(zhì)，本文通過研究，最終給出了證明。文章的末尾，本文回到了微分方程組，使用例題來對(duì)指數(shù)函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用進(jìn)行了介紹，分別解決了齊次與非齊次兩個(gè)問題。站在人生的又一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)上，心中難免思緒萬千，有興奮，有不舍，有迷茫有期待，此時(shí)一種感恩之情油然而生。沒有你們就不會(huì)有我的今天。喬嵐老師是一名優(yōu)秀的、經(jīng)驗(yàn)豐富的教師，她對(duì)我嚴(yán)格要求，引導(dǎo)我不斷開闊思路，為我答疑解惑，鼓勵(lì)我大膽創(chuàng)新，在論文工作中，我總是遇到了許許多多這樣那樣的問題，喬嵐老師總能耐心的對(duì)我講解、答疑， 值此論文完成之際，謹(jǐn)向喬嵐老師致以最崇高的謝意!最后，衷心地感謝在百忙之中評(píng)閱論文和參加答辯的各位老師！
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