因式分解公式大全(已修改)
2025-08-15 10:49 本頁面
【正文】 公式及方法大全待定系數(shù)法(因式分解)待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用．在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來表示待定的系數(shù)．由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法．常用的因式分解公式： 例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析 由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是x+2y+m和x+y+n的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問題得到解決． 解 設(shè) x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比較兩邊對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有 解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 說明 本題也可用雙十字相乘法，請同學(xué)們自己解一下． 例2 分解因式：x42x327x244x+7． 分析 本題所給的是一元整系數(shù)多項(xiàng)式，根據(jù)前面講過的求根法，若原式有有理根，則只可能是177。1，177。7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式．如果原式能分解，只能分解為(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解 設(shè) 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考慮b=1，d=7有 所以 原式=(x27x+1)(x2+5x+7)． 說明 由于因式分解的唯一性，所以對b=1，d=7等可以不加以考慮．本題如果b=1，d=7代入方程組后，無法確定a，c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止． 本題沒有一次因式，因而無法運(yùn)用求根法分解因式．但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式．由此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地．求根法(因式分解)我們把形如anxn+an1xn1+…+a1x+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，并用f(x)，g(x)，…等記號表示，如 f(x)=x23x+2，g(x)=x5+x2+6，…， 當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示．如對上面的多項(xiàng)式f(x) f(1)=123 我們把形如anxn+an1xn1+…+a1x+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，并用f(x)，g(x)，…等記號表示，如 f(x)=x23x+2，g(x)=x5+x2+6，…， 當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示．如對上面的多項(xiàng)式f(x) f(1)=1231+2=0； f(2)=(2)23(2)+2=12． 若f(a)=0，則稱a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根． 定理1(因式定理) 若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式xa． 根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的根．對于任意多項(xiàng)式f(x)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根． 定理2 的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)．特別地，當(dāng)a0=1時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的整
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