【正文】 第四章 理論分布和抽樣分布 第一節(jié) 事件、概率和隨機(jī)變量 第二節(jié) 二項(xiàng)式分布 第三節(jié) 正態(tài)分布 第四節(jié) 抽樣分布 第一節(jié) 事件、概率和隨機(jī)變量 一、事件和事件發(fā)生的概率 二、事件間的關(guān)系 三、計(jì)算事件概率的法則 四、隨機(jī)變量 一、事件和事件發(fā)生的概率 事件 在自然界中一種事物，常存在幾種可能出現(xiàn)的情況，每一種可能出現(xiàn)的情況稱為事件。 隨機(jī)事件 (random event) 某特定事件只是可能發(fā)生的幾種事件中的一種，這種事件稱為隨機(jī)事件。 概率 (probability) 每一個(gè)事件出現(xiàn)的可能性稱為該事件的概率。 必然事件 對于一類事件來說，在同一組條件的實(shí)現(xiàn)之下必然要發(fā)生的，稱為必然事件；其概率為 1。 不可能事件 對于一類事件來說，在同一組條件的實(shí)現(xiàn)之下必然不發(fā)生的，稱為不可能事件，其概率為 0。 事件發(fā)生的可能性 (概率 )是在大量的實(shí)驗(yàn)中觀察得到的， 例如棉田發(fā)生盲蝽象為害的情況，并不是所有的棉株都受害，隨著觀察的次數(shù)增多，我們對棉株受害可能性程度大小的把握越準(zhǔn)確、越穩(wěn)定。這里將一個(gè)調(diào)查結(jié)果列于表 。 表 在相同條件下盲蝽象在某棉田危害程度的調(diào)查結(jié)果 調(diào)查株數(shù)(n) 5 25 50 100 200 500 1000 1500 2022 受害株數(shù)(a) 2 12 15 33 72 177 351 525 704 棉株受害頻率 (a/n) 由表 ：調(diào)查 5株時(shí)，有 2株受害，受害株的頻率為 40%，調(diào)查 25株時(shí)受害頻率為 48%，調(diào)查 100株時(shí)受害頻率為 33%?？梢钥闯鋈握{(diào)查結(jié)果有差異，說明受害頻率有波動(dòng)、不穩(wěn)定。而當(dāng)進(jìn)一步擴(kuò)大調(diào)查的單株數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)頻率比較穩(wěn)定了，調(diào)查 500株到 2022株的結(jié)果是受害棉株穩(wěn)定在 35%左右。 現(xiàn)以 n代表調(diào)查株數(shù)，以 a代表受害株數(shù)，那么可以計(jì)算出受害頻率 p=a/n。從棉株受害情況調(diào)查結(jié)果看，頻率在 n取不同的值時(shí)，盡管調(diào)查田塊是相同的，頻率 p卻不同，只有在 n很大時(shí)頻率才比較穩(wěn)定一致。因而，調(diào)查株數(shù) n較多時(shí)的穩(wěn)定頻率才能較好地代表棉株受害的可能性 。 統(tǒng)計(jì)學(xué)上用 n較大時(shí)穩(wěn)定的 p近似代表概率。通過大量實(shí)驗(yàn)而估計(jì)的概率稱為實(shí)驗(yàn)概率或統(tǒng)計(jì)概率，以表示。此處 P代表概率， P(A)代表事件 A的概率， P(A)變化的范圍為 0～ 1，即0≤P(A)≤1。 小概率原理 若事件 A發(fā)生的概率較小，如小于 ，則認(rèn)為事件 A在一次試驗(yàn)中不太可能發(fā)生，這稱為小概率事件實(shí)際不可能性原理，簡稱小概率原理。這里的 或 ，農(nóng)業(yè)試驗(yàn)研究中通常使用這兩個(gè)小概率標(biāo)準(zhǔn)。 二、事件間的關(guān)系 (一 ) 和事件 (二 ) 積事件 (三 ) 互斥事件 (四 ) 對立事件 (五 ) 完全事件系 (六 ) 事件的獨(dú)立性 (一 ) 和事件 事件 A和 B至少有一個(gè)發(fā)生而構(gòu)成的新事件稱為事件 A和B的 和事件 ，記為 A+B，讀作“或 A發(fā)生，或 B發(fā)生”。 例如，有一批種子，包含有能發(fā)芽的和不能發(fā)芽的。若 A為“取到能發(fā)芽種子”， B為“取到不能發(fā)芽種子”，則 A+B為“或者取到能發(fā)芽種子或者取到不能發(fā)芽種子”。 事件間的和事件可以推廣到多個(gè)事件：事件 AA … 、 An至少有一發(fā)生而構(gòu)成的新事件稱為事件 AA … 、 An的和事件，記為 A1+A2+…+ An= ??ni i1A (二 ) 積事件 事件 A和 B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的新事件稱為事件 A和 B的 積事件 ，記作 AB，讀作“ A和 B同時(shí)發(fā)生或相繼發(fā)生”。 事件間的積事件也可以推廣到多個(gè)事件：事件 AA … 、 An同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的新事件稱為這 n個(gè)事件的積事件，記作 A1A2… An= ??ni i1A(三 ) 互斥事件 事件 A和 B不可能同時(shí)發(fā)生，即 AB為不可能事件，記作AB=V，稱事件 A和 B互斥或互不相容 。 例如，有一袋種子，按種皮分黃色和白色。若記 A為“取到黃色”， B為“取到白色”，顯然 A和 B不可能同時(shí)發(fā)生，即一粒種子不可能既為黃色又為白色，說明事件 A和 B互斥。 這一定義也可以推廣到 n個(gè)事件。事件 A A … 、 An不可能同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的新事件稱為這 n個(gè)事件互斥或互不相容，記作 A1A2… An=V 。 (四 ) 對立事件 事件 A和 B不可能同時(shí)發(fā)生，但必發(fā)生其一，即 A+B為必然事件 (記為 A+B=U)， AB為不可能事件 (記為 AB=V），則稱事件 B為事件 A的 對立事件 ，并記 B為 。 例如，上面例子中 A為“取到黃色”， B為“取到白色”， A與 B不可能同時(shí)發(fā)生，但是，任意抽取一粒種子，其皮色不是黃色就是白色，即 A和 B必發(fā)生其一，因此， A和 B互為對立事件。 A積事件AB 和事件 A+B A B A B 互斥事件 對立事件 A B (五 ) 完全事件系 若事件 A A … 、 An兩兩互斥，且每次試驗(yàn)結(jié)果必發(fā)生其一，則稱 A A … 、 An為 完全事件系 。 例如，僅有三類花色：黃色、白色和紅色，則取一朵花，“取到黃色”、“取到白色”和“取到紅色”就構(gòu)成完全事件系。 (六 ) 事件的獨(dú)立性 若事件 A發(fā)生與否不影響事件 B發(fā)生的可能性，則稱事件 A和事件 B相互獨(dú)立 。 例如，事件 A為“花的顏色為黃色”，事件 B為“產(chǎn)量高”，顯然如果花的顏色與產(chǎn)量無關(guān) ,則事件 A與事件 B相互獨(dú)立。 三、計(jì)算事件概率的法則 (一 ) 互斥事件的加法 (二 ) 獨(dú)立事件的乘法 (三 ) 對立事件的概率 (四 ) 完全事件系的概率 (五 ) 非獨(dú)立事件的乘法 (一 ) 互斥事件的加法 假定兩互斥事件 A和 B的概率分別為 P(A)和 P(B)。則事件 A與 B的和事件的概率等于事件 A的概率與事件 B的概率之和，即 P(A+B)=P(A)+P(B)。 加法定理對于多個(gè)兩兩互斥的事件也成立：假定 AA … 、 An n個(gè)事件彼此間均是兩兩互斥的事件，其概率依次為 P(A1)， P(A2)， … ， P(An)，則 A1， A2到 An和事件的概率 P(A1+A2+ … +A n)等于 P(A1)， P(A2)， … ， P(An)之和，即 P(A1+A2+ … +A n)=P(A1)+P(A2)+ … + P(An)。 例如，一捆花中紅、黃、白花的概率分別為 、 ，那么我們隨機(jī)抽取一朵非白色花的概率為(=+)， 這只是由加法定理得到的兩個(gè)事件概率之和。 (二 ) 獨(dú)立事件的乘法 假定 P(A)和 P(B)是兩個(gè)獨(dú)立事件 A與 B各自出現(xiàn)的概率，則事件 A與 B同時(shí)出現(xiàn)的概率等于兩獨(dú)立事件出現(xiàn)概率 P(A)與P(B)的乘積，即 P(AB)=P(A)P(B) 乘法定理對于 n個(gè)相互獨(dú)立的事件也成立。假定 P(A1)，P(A2)， … ， P(An)是 n個(gè)相互獨(dú)立事件各自出現(xiàn)的概率，則該n個(gè)事件同時(shí)出現(xiàn)的概率 P(A1A2…A n)等于各自出現(xiàn)概率之乘積，即 P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2)… P(An)。 現(xiàn)有 4粒種子，其中 3粒為黃色、 1粒為白色，采用復(fù)置抽樣。試求下列兩事件的概率： (A)第一次抽到黃色、第二次抽到白色； (B)兩次都抽到黃色。 由于采用復(fù)置抽樣 (即每一次抽出觀察結(jié)果后又放回再進(jìn)行下一次抽樣 )，所以第一次和第二次的抽樣結(jié)果間是相互獨(dú)立的。 采用概率的古典定義，可以求出抽到黃色種子的概率為 ，抽到白色種子的概率為 。因此，有 P(A)=P(第一次抽到黃色種子 )P(第二次抽到白色種子 ) = =， P(B)=P(第一次黃色種子 )P(第二次黃色種子 ) = =。 (三 ) 對立事件的概率 若事件 A的概率為 P(A)，那么其對立事件的概率為： )(1)( AA PP ?? (四 ) 完全事件系的概率 完全事件系的概率為 1。 例如“從 10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽得任何一個(gè)數(shù)字都可以”這樣一個(gè)事件是完全事件系，其概率為 1。 (五 ) 非獨(dú)立事件的乘法 如果事件 A和 B是非獨(dú)立的，那么事件 A與 B同時(shí)發(fā)生的概率為事件 A的概率 P(A)乘以事件 A發(fā)生的情況下事件 B發(fā)生的概率 P(B|A)， 即： P(AB)=P(A)P(B|A) 四、隨機(jī)變量 隨機(jī)變量是指隨機(jī)變數(shù)所取的某一個(gè)實(shí)數(shù)值。 例 1：拋硬幣試驗(yàn)，硬幣落地后只有兩種可能結(jié)果：幣值面向上和國徽面向上，用數(shù)“ 1”表示“幣值面向上”，用數(shù)“ 0”表示“國徽面向上”。把 0， 1作為變量 y的取值。在討論試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，就可以簡單地把拋硬幣試驗(yàn)用取值為 0， 1的變量來表示。 P(y=1)=， P(y=0)= 例 2：用“ 1”表示“能發(fā)芽種子”，其概率為 p；用“ 0”表示“不能發(fā)芽種子”，其概率為 q。顯然 p+q=1， 則 P(y=1)=p， P(y=0)=q=1－ p。 例 3：用變量 y表示水稻產(chǎn)量，若 y大于 500kg的概率為 ，大于 300kg且等于小于 500kg的概率為 ，等于小于 300kg的概率為 。 則用變量 y的取值范圍來表示的試驗(yàn)結(jié)果為 P(y≤300)=， P(300＜ y≤500)=， P(y＞ 500)=。 離散型隨機(jī)變量 當(dāng)試驗(yàn)只有幾個(gè)確定的結(jié)果，并可一一列出，變量 y的取值可用實(shí)數(shù)表示，且 y取某一值時(shí)，其概率是確定的，這種類型的變量稱為離散型隨機(jī)變量。 將這種變量的所有可能取值及其對應(yīng)概率一一列出所形成的分布稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布： 概率 )(iyyP ?變量 yi y1 y2 y3 … yn P1 P2 P3 … Pn 也可用函數(shù) f(y)表述，稱為概率函數(shù)。 )(iyyP ? 前面例 例 2中的 y就是離散型隨機(jī)變量，將其可能取值與對應(yīng)概率一一列出，即為： 變量 y 0 1 概率 )( iyyP ?變量 y 0 1 概率 q p )( iyyP ? 連續(xù)型隨機(jī)變量 (continuous r