【正文】 陜西理工學院大學生數(shù)學建模競賽房價問題的模型設計及相關問題討論摘要: 本文選取了全國幾類代表性城市，并收集了影響房價的因素，選取了影響房價的主要因素，發(fā)現(xiàn)了房價和其主要因素之間近似成線性關系，進而建立表示房價的數(shù)學模型——多元線性回歸模型（Y =*ΔA +*ΔB +*ΔC +*ΔD+ pjY）。對模型進行了全方面的論述，得出求解其中各個參數(shù)的方法，并最終求出房價。然后運用所求解的模型對北京未來四年房價進行預測，分析了對未來經濟發(fā)展的影響。第一，用信息增益法找出影響房價的主要因素，再用概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法確定各因素與房價之間呈近似線性關系，確定模型；第二，用最小二乘法求解模型中的參數(shù)，用回歸分析確定模型精度及檢驗，從而得出一個完整的數(shù)學模型；第三，利用往年數(shù)據(jù)建立擬合曲線，預測了未來四年影響北京市房價的主要因素及房價走勢；第四，根據(jù)分析結果，進一步探討使得房價合理的具體措施，以及可能對經濟發(fā)展產生的影響，并進行定量分析；第五，根據(jù)模型及建議進行合理的預測，最后分析模型的優(yōu)缺點并提出了改進方向。關鍵詞： 房價問題 回歸模型 擬合曲線 預測 經濟發(fā)展一 問題的提出房價問題事關國計民生，對國家經濟發(fā)展和社會穩(wěn)定有重大影響，一直是各國政府大力關注的問題。我國自從取消福利分房制度以來，隨著房價的不斷飆升，房價問題已經成為全民關注的焦點議題之一，從國家領導人、地方政府官員，到開發(fā)商、專家學者、普通百姓通過各種媒體表達各種觀點，但對于房價是否合理、未來房價的走勢等關鍵問題，至今尚未形成統(tǒng)一的認識。請根據(jù)中國國情，收集建筑成本、居民收入等與房價密切相關的數(shù)據(jù)，選取我國具有代表性的幾類城市對房價的合理性及房價的未來走勢等問題進行定量分析；根據(jù)分析結果，進一步探討使得房價合理的具體措施，以及，可能對經濟發(fā)展產生的影響并進行定量根據(jù)本題，收集建筑成本、居民收入等與房價密切相關的數(shù)據(jù)，提出以下幾個問題：問題一：通過分析找出影響房價的主要因素，并建立房價問題的數(shù)學模型，對房價與主要因素進行定量分析。問題二：選擇某一地區(qū)，調查近些年來房價變化情況，并根據(jù)調查數(shù)據(jù)預測未來幾年該地區(qū)房價的走勢。問題三：對房價的合理性和形成進行分析。問題四：分析可能對經濟發(fā)展產生的影響，進一步探討給出合理的建議。二、問題分析 問題一分析本問題是要建立房價問題的數(shù)學模型。房價問題關系國計民生，既是經濟問題，更是影響社會穩(wěn)定的重要民生問題。房價的關鍵是影響房價問題的因素，但影響房價問題的因素有很多，要逐一分析每一種因素是不可能辦到的，只要抓住主要因素去著重分析即可。我們經網絡、書籍等相關資源，大致得出以下幾條對房價的影響產生主導作用的因素竣工面積、工薪收入、城鄉(xiāng)人均儲蓄余額、房屋成本等。通過分析主要因素與房價之間的變化關系，確定變量，分析比較，最終可以確定房價問題的模型—多元線性回歸模型。 問題二分析本問題的對某地區(qū)未來幾年的房價走勢進行預測，較為準確地預測房價，對社會發(fā)展極為重要，可以為經濟決策提供參考，故其研究意義相當重大。我們需要確定的是具體研究哪一座城市的房價數(shù)據(jù)，然后再考慮房價走勢的預測問題。針對本問，可以收集該城市歷年房價的真實數(shù)據(jù)，通過Matble軟件對相關數(shù)據(jù)進行擬合，分別建立相關關系，用模型擬算出未來幾年城市房價走勢。 問題三分析通過問題二的研究成果，可以知道房價及影響房價主要因素的趨勢，結合其所得結果與現(xiàn)實情況加以分析。判斷房價是否合理，若不合理，則分析相關的成因，看如何達到抑制房價的目的。 問題四分析房價飛漲對社會影響的殺傷力很大，房價飛漲不僅影響到房地產市場上供求雙方，還具有很強的轉移社會財富的效應，引起了民眾和政府的高度關注。房價的高低涉及社會生活中多方面的經濟利益，所以房價對經濟發(fā)展的影響也是非常大的。通過對經濟的影響及危害，提出更合理的措施及建議。三、基本假設假設一、 所選的城市物價和其他情況相對比較穩(wěn)定，全局內沒有大起大落的現(xiàn)象；假設二、 未來幾年不會發(fā)生特大自然災害、戰(zhàn)爭動亂以及人為傷害；假設三、 房屋建造成本用竣工房屋造價來代替；假設四、 房屋價格通過商品房平均銷售價（元/平方米）來表示；假設五、 房價購買能力用人均儲蓄存款、人均可支配收入來表示，銀行利率每年保持穩(wěn)定；假設六、 忽略消費成本如交通費用、物業(yè)費用、停車費用等對房價的影響；假設七、 供需平衡指：供應量=需求量。四、定義符號說明A：表示工薪收入（元）；B：表示城鄉(xiāng)人均儲蓄余額（元/人）；C：表示造價（元/平方米）；D：人均全年住房支出（元）；Y：商品房平均銷售價（元/平方米）； ： 為隨機變量；： 序列的方差；pjY,pjA,pjB,pjC,pjD分別表示Y,A,B,C,D序列的均值序列；ΔY,ΔA,ΔB,ΔC,ΔD分別表示YpjY,ApjA,BpjB,CpjC,DpjD序列，即中心化序列；,：模型參數(shù)；S(a)：為殘差的平方和；n ： 統(tǒng)計城市數(shù)（樣本數(shù)）； 181。 ： 中心化序列的協(xié)方差。五、模型的建立模型推導過程：表一為我國13個主要城市商品房平均銷售價及其相關因素的統(tǒng)計表。依照此表可以求得各因素對商品房平均售價的影響程度，計算方法采用信息增益法。表一 13個主要城市商品房平均銷售價及其相關因素的統(tǒng)計表[1]地區(qū) 竣工面積（萬平方米）人口增長率（‰）工薪收入（元）城鄉(xiāng)人均儲蓄余額（元/人） 造價（元/平方米）人均全年住房支出（元）城鎮(zhèn)房地產開發(fā)投資（億元）房價（元/平方米） 北 京 13799 天 津 6886 石家莊 3263 上 海 12840 南 京 4983 杭 州 7826 福 州 5427 武 漢 3532 長 沙 2680 成 都 3509 昆 明 2931 拉 薩 2452 西 安 3223 平 均 信息增益計算法[2] 信息增益基于信息論中熵的概念。熵是對事件的屬性的不確定性的度量。一個屬性的熵越大，它蘊含的不確定信息越大。因此，ID3總是選擇具有最高信息增益的屬性作為當前結點的測試屬性。設S是s個數(shù)據(jù)樣本的集合。假定類標號屬性具有m個不同的值，定義m個不同的類。設是類中的樣本數(shù)。對于一個給定的樣本分類所需要的期望信息由下式給出：，其中是任意樣本屬于的概率，一般可以用來估計。設屬性A有v個不同的值?？梢杂脤傩訟將S劃分為v個自給，其中包含S中這樣一些樣本，他們在A上具有值。設是子集中類的樣本數(shù)。根據(jù)A劃分子集的熵由下式給出：，這里充當?shù)趈個子集的權，并且等于子集（即A值為）中的樣本個數(shù)除以S中的樣本總數(shù)根據(jù)上面給出的期望信息計算公式，對于給定的子集，其期望信息由下式計算： ，其中是中樣本屬于類的概率。由期望信息和熵可以得到對應的信息增益。對于在A上分支將獲得的信息增益可以由下面的公式得到： 。 因子選取：ID3計算每個屬性的信息增益，并選取具有最高增益的屬性作為測試屬性。由上式可以看出，熵值越小時，其信息增益越大，表明相應的信息量越有效。在此我們借用ID3算法計算出每個屬性關于房價的信息增益，而為了測試準確，我們選取半數(shù)以上信息增益較大的屬性作為測試屬性，即為影響A的屬性。 實例應用利用下述公式將原始數(shù)據(jù)(見表一數(shù)據(jù))化為0,1兩數(shù)值（計算結果見表二）（運