新隱函數(shù)2-(已修改)
2025-08-06 09:35 本頁(yè)面
【正文】 第四節(jié) 一、隱函數(shù)求導(dǎo)法 三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 五、相關(guān)變化率 隱函數(shù)的求導(dǎo)法和參數(shù) 方程確定的函數(shù)求導(dǎo)法 第二章 二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 四、由極坐標(biāo)確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 定義 : .)( 形式稱為顯函數(shù)xfy ?若由方程 可確定 y是 x的函數(shù) , 此函數(shù)為由方程 則稱 0),( ?yxF )( xfy ? 隱函數(shù)的顯化 問題 :隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo) ? 例如 , 可確定顯函數(shù) 可確定 y是 x 的函數(shù) , 但此隱函數(shù)不能顯化 . 確定的隱函數(shù) . 隱函數(shù)求導(dǎo)方法 : 兩邊對(duì) x 求導(dǎo) (含導(dǎo)數(shù) 的方程 ) y?例 1 .,00????xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程解 ,求導(dǎo)方程兩邊對(duì) x0???? dxdyeedxdyxy yx解得 ,yxexyedxdy???,0,0 ?? yx由原方程知000??? ????yxyxx exyedxdy .1?例 2 .,)23,23(,333線通過原點(diǎn)在該點(diǎn)的法并證明曲線的切線方程點(diǎn)上求過的方程為設(shè)曲線CCxyyxC ??解 ,求導(dǎo)方程兩邊對(duì) x yxyyyx ????? 3333 22)23,23(22)23,23( xyxyy?????.1??所求切線方程為 )23(23 ???? xy .03 ??? yx即2323 ??? xy法線方程為 ,xy ?即 顯然通過原點(diǎn) . 隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 例 3 .,0,1 044 ????????? xyyyyxyx 以及求設(shè)解 求導(dǎo)得方程兩邊對(duì) x,yyyxyx 044 33 ??????,y,x 10 ?? 得代入。4110????yxy求導(dǎo)得再對(duì) x04)(12212 3222 ??????????? yyyyyxyx39。.yy ??得代入,yxyyyxy3222412212???????? )(則,yxyxy3344????則得4110????yxy ,1,0 ?? yx代入 .16110??????yxy二、 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 觀察函數(shù) .,)4( 1)1( s i n23xx xyexxxy ?????方法 : 先在方程兩邊取對(duì)數(shù) , 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù) . 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 適用范圍 : .xu xv 的情形函數(shù)開方得到的函數(shù)和冪指多個(gè)式子經(jīng)過乘、除、)()(例 4 解 ]142)1(3 111[)4( 1)1( 23??????? ????? xxxex xxy x等式兩邊取對(duì)數(shù)得 xxxxy ??????? )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得上式兩邊對(duì) x142)1(3 111 ???????? xxxyy.,)4( 1)1( 23yex xxy x ?? ??? 求設(shè)例 5 解 .),0(s i n yx
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