20xx專轉(zhuǎn)本高數(shù)核心知識(shí)點(diǎn)積分變換第5講拉普拉斯變換(已修改)
2025-08-05 05:11 本頁(yè)面
【正文】 積分變換 第 5講 1 拉普拉斯變換 2 對(duì)于一個(gè)函數(shù) j(t), 有可能因?yàn)椴粷M足傅氏變換的條件 , 因而不存在傅氏變換 .但是對(duì)之進(jìn)行某些處理后，便可進(jìn)行傅氏變換了。 ① 因此 , 首先將 j(t)乘上 u(t), 這樣 t小于零的部分的函數(shù)值就都等于 0了； ② 而大家知道在各種函數(shù)中 , 指數(shù)函數(shù) ebt(b0)的上升速度是最快的了 , 因而 ebt下降的速度也是最快的 . 因此 , 幾乎所有的實(shí)用函數(shù) j(t)乘上 u(t)再乘上ebt后得到的 j(t)u(t)ebt傅氏變換都存在。 3 t f(t) O t f(t)u(t)ebt O 4 對(duì)函數(shù) j(t)u(t)ebt(b0)取傅氏變換 , 可得 ????????????????????? ???????000)j(jde)()(j)()()()(,jde)(de)(dee)()()(ttfsFsGsFtuttfsttfttfttutGststttt則得若再設(shè)其中bj?bj?b?b?bb5 定義 設(shè)函數(shù) f(t)當(dāng) t?0時(shí)有定義 , 而且積分 )(de)(0是一個(gè)復(fù)參量sttf st? ?? )(de)()(0??? ? ttfsF st在 s的某一域內(nèi)收斂 , 則由此積分所確定的函數(shù)可寫為 稱此式為函數(shù) f(t)的 拉普拉斯變換式 (簡(jiǎn)稱拉氏變換式 單邊拉氏變換 ), 記為 F(s)=L [f(t)] F(s)稱為 f(t)的 拉氏變換 (或稱為 象函數(shù) ). 而 f(t)稱為 F(s)的 拉氏逆變換 (或 象原函數(shù) )記為 f(t)=L 1[F(s)] 也可記為 f(t)?F(s). 6 例 1 求單位階躍函數(shù) 的拉氏變換??????0100)(tttu??? ?0de)]([ ttu stL根據(jù)拉氏變換的定義 , 有 這個(gè)積分在 Re(s)0時(shí)收斂 , 而且有 ).0)( R e (1)]([10e1de0?????????sstusstststL所以7 例 2 求指數(shù)函數(shù) f(t)=ekt的拉氏變換 (k為實(shí)數(shù) ). 根據(jù) ()式 , 有 ?? ?? ?? ?? 0 )(0 dedee)]([ tttf tksstktL).)( R e (1][e1e1de0)(0)(kskskskstkttkstks?????????L所以這個(gè)積分在 Re(s)k時(shí)收斂 , 而且有 其實(shí) k為復(fù)數(shù)時(shí)上式也成立 , 只是收斂區(qū)間 為 Re(s)Re(k) 8 拉氏變換的存在定理 若函數(shù) f(t)滿足 : 1, 在 t?0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù) 2, 當(dāng) t???時(shí) , f(t)的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù) , 即存在常數(shù) M0及 c?0, 使得 |f(t)|?Mect, 0?t?? 則 f(t)的拉氏變換 ? ?? ? 0 de)()( ttfsF st在半平面 Re(s)c上一定存在 , 右端的積分在 Re(s)?c1c上絕對(duì)收斂而且一致收斂 , 并且在Re(s)c的半平面內(nèi) , F(s)為解析函數(shù) . 9 M Mect f(t) t O 10 證 由條件 2可知 , 對(duì)于任何 t值 (0?t??), 有
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