大綱版高二數(shù)學(xué)下16762算術(shù)平均數(shù)幾何平均(修改稿12頁-22頁)(已修改)
2025-08-03 18:08 本頁面
【正文】 《魔法數(shù)學(xué)》大綱版高二數(shù)學(xué)下不等式 第22頁（共11頁）* 167。 *磨法石——核心知識歸納算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間到底有怎樣的大小關(guān)系呢？1．基本形式的不等式：（1）如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時取等號。（2）如果a、b∈R+，那么a+b≥2，當且僅當a=b時取等號。2．變形形式的不等式：（1）如果a、b∈R+，那么ab≤或(a+b) 2≤2a2+2b2或≤（2）如果a、b∈R+，那么ab≤3．運用均值不等式求最值原理：（1）若ab∈R+，且ab為定值，則有ab≥2=定值，當且僅當a=b時，a+b取最小值。 （2）若ab∈R+，且a+b為定值，則有ab≤=定值，當且僅當a=b時，ab取最大值。找捷徑——難點疑點突破： 1．均值不等式：a+b≥2一定要注意是正數(shù)；a+b≥2ab， a、b∈R例1：求最大值（1）2sinθcosθ≤sin2θcos2θ=1或sin2θ≤1；（2）0＜a＜1＜b，則y=+解：（1）∵2sinθcosθ≤sin2θ+cos2θ=1或2sinθcosθ= sin2θ≤1 ∴ymax=1（2）∵y=[+()]≤2 ∴ymax=2點評：∵＜0 ∴＞0，這是將負數(shù)化正數(shù)的一般方法。2．連續(xù)幾次使用不等式時應(yīng)注意取等號條件的一致性。例2：已知a、b∈R+，且a+2b=1，求+最小值。錯解一：∵a+2b=1 ∴+=(+)( a+2b)≥22=4錯因：a=2b與a=b不能同時成立。錯解二：++ a+2b= a+++2b≥2+2錯因：由a=，=2b a=1，b=，但a+2b≠1正解：∵a+2b=1 ∴+=(+)( a+2b)=3++≥3+2∴當且僅當=，即a=b時，等號成立，代入a+2b=1，得a=1，b=1，故+的最小值是3+2。3．正確理解和為定值，積有最大值；積為定值，和有最小值。上例錯解三：+=+≥2，當b=12b時b=時取等號，∴(+)min=2=6錯因：應(yīng)該先分析出現(xiàn)和、積定值，再考慮等號成立條件，而不是先考慮等號成立條件，再代入出現(xiàn)定值。錯解四：∵a+2b=1 ∴a=12b＞0，得0＜b＜ ∴+=+= ∴b(12b)= 2b(12b)≤()2=當且僅當2b=12b時b=時等號成立∴b=時，+==6錯因：雖然b=時，b(12b)取最大，但此時分子1b并非取最小值，故和或積為定值不能只考慮部分，而需要考慮整體表達式。金鑰匙——解題方法技巧：例1：下列命題正確的是（1）已知xy∈R+，x+2y=1，則xy≥；（2）和式+3x的最小值是12；（3）因為≥+，所以≥2；
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