空間解析幾何簡介(已修改)
2025-08-01 06:55 本頁面
【正文】 空間解析幾何簡介 ?向量及其線性運(yùn)算 ?數(shù)量積 向量積 *混合積 ?空間平面及其方程 ?空間直線及其方程 ?二次曲線及其方程 ?二次曲面及其方程 數(shù)量關(guān)系 — 第一部分 向量 第二部分 空間解析幾何 在三維空間中 : 空間形式 — 點(diǎn) , 線 , 面 基本方法 — 坐標(biāo)法 。 向量法 坐標(biāo) , 方程（組） 空間解析幾何 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 第一節(jié) 一、向量的概念 二、向量的線性運(yùn)算 三、空間直角坐標(biāo)系 五、向量的模、方向角、投影 向量及其線性運(yùn)算 表示法 : 向量的模 : 向量的大小 , 一、向量的概念 向量 : (又稱 矢量 ). 1M2M既有 大小 , 又有 方向 的量稱為向量 向徑 (矢徑 ): 自由向量 : 與起點(diǎn)無關(guān)的向量 . 起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量 . 單位向量 : 模為 1 的向量 , 零向量 : 模為 0 的向量 , 有向線段 M1 M2 , 或 a , 規(guī)定 : 零向量與任何向量平行 。 若向量 a 與 b大小相等 , 方向相同 , 則稱 a 與 b 相等 , 記作 a＝ b 。 若向量 a 與 b 方向相同或相反 , 則稱 a 與 b 平行 , a∥ b 。 與 a 的模相同 , 但方向相反的向量稱為 a 的 負(fù)向量 , 記作 因平行向量可平移到同一直線上 , 故兩向量平行又稱 兩向量 共線 . 若 k (≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 則稱此 k 個(gè)向量 共面 . 記作－ a 。 二、向量的線性運(yùn)算 1. 向量的加法 三角形法則 : 平行四邊形法則 : 運(yùn)算規(guī)律 : 交換律 結(jié)合律 三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加 . bbabba ???cba ?? )( )( cba ??? cba ??aaba?ba?s3a4a 5a2a1a54321 aaaaas ?????2. 向量的減法 三角不等式 abaa ?? ?? ?3. 向量與數(shù)的乘法 ? 是一個(gè)數(shù) , .a??規(guī)定 : 。1 aa ?? ?可見 。1 aa ?? ???? 與 a 的乘積是一個(gè)新向量 , 記作 總之 : 運(yùn)算律 : 結(jié)合律 )( a??? )( a???? a????分配律 )( ba ?? ?? ba ?? ?? ?????a則有單位向量 .1 aa ?? 因此 ???? aaa ?Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ xyzⅤ Ⅷ Ⅳ 三、空間直角坐標(biāo)系 由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則 組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系 . ? 坐標(biāo)原點(diǎn) ? 坐標(biāo)軸 x軸 (橫軸 ) y軸 (縱軸 ) z 軸 (豎軸 ) 過空間一定點(diǎn) o , o? 坐標(biāo)面 ? 卦限 (八個(gè) ) xoy面yoz面1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念 Ⅰ xyzo向徑 在直角坐標(biāo)系下 ?? ?? ?? 11坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R 。 坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , C 點(diǎn) M 特殊點(diǎn)的坐標(biāo) : 有序數(shù)組 ),( zyx ?? ?? ?? 11)0,0,( xP)0,0( yQ),0,0( zR)0,( yxA),0( zyB),( zoxC(稱為點(diǎn) M 的 坐標(biāo) ) 原點(diǎn) O(0,0,0) 。 rr M坐標(biāo)軸 : 坐標(biāo)面 : xyzo2. 向量的坐標(biāo)表示 在空間直角坐標(biāo)系下 , ,),( zyxM 則 沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的 分向量 . 1 2 3r x e y e z e? ? ?),( zyx?xo yzMNBC1e3eA1 2 3( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 ,1 , 0 ) , ( 0 , 0 ,1 ) , , ,e e e x y z? ? ?以 分 別 表 示 軸 上 的 單 位 向 量設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)為 此式稱為向量 r 的 坐標(biāo)分解式 , r?任意向量 r 可用向徑 OM 表示 . NMONOM ?? OCOBOA ??2e四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 設(shè) ),( zyx aaaa ?? ,),( zyx bbbb ?? 則 ?? ba ?? ),( zzyyxx bababa ????a?? ),( zyx aaa ???,0 時(shí)當(dāng) ?? ?a xx ab ??yy ab ??zz ab ???xxab ?yyabzzab平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例 : ，為實(shí)數(shù)?五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式 222 zyx ???),( zyxr ??設(shè) 則有 OMr ??xo yzMNQRP由勾股定理得 因 得兩點(diǎn)間的距離公式 : 212212212 )()()( zzyyxx ??????對(duì)兩點(diǎn) 與 ,rOM ??作OMr ?? OROQOP ???o yzx2. 方向角與方向余弦 設(shè)有兩非零向量 任取空間一點(diǎn) O , 稱 ? =∠ AOB (0≤ ?≤ ? ) 為向量 ba ??, 的夾角 . 類似可定義向量與軸 , 軸與軸的夾角 . 與三坐標(biāo)軸的夾角 ? , ? , ? r?? ??為其 方向角 . ?cos rx?? 222 zyxx???方向角的余弦稱為其 方向余弦 . 記作 o yzxr?? ???cos rx?? 222 zyxx????cos ry??222 zyxy????cos rz?? 222 zyxz???方向余弦的性質(zhì) : *三、 向量的混合積 第二節(jié) 一、 兩向量的內(nèi)積 二、 兩向量的向量積 數(shù)量積 向量積 *混合積 1M一、兩向量的內(nèi)積 沿與力夾角為 的直線移動(dòng) , ??W1. 定義 設(shè)向量 的夾角為 ? , 稱 記作 內(nèi)積 (點(diǎn)積，數(shù)量積 ) . 引例 . 設(shè)一物體在常力 F 作用下 , 位移為 s , 則力 F 所做的功為 ?c o ssF ?sFW ???2Mba?的與為 baba, s?上的投影為在 ab ??記作 故 ,0, 時(shí)當(dāng)同理 ?? ?b2. 性質(zhì) 為兩個(gè)非零向量 , 則有 ba?jrPb??ba ba a?jrP?? aa)1(ba ,)2(0??ba ? 0?? ba則0,0 ?? ba3. 運(yùn)算律 (1) 交換律 (2) 結(jié)合律 )( ba ??)()( ba ?? ? ? ?)( ba ?? ??)( ba ?? ??(3) 分配律 事實(shí)上 , 當(dāng) 0?c 時(shí) , 顯然成立 。 時(shí)當(dāng) 0?cc)( ba ?babc?jrPac?jrP? ? cba ?? ? ?bac ?? jrPc ? c ? ?ba cc ?? jrPjrP ?ac?jrP? c bc?jrP?c a?? c??)(jrP bac ??4.
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