空間解析幾何簡介-文庫吧
2025-07-05 06:55 本頁面
【正文】 數(shù)量積的坐標表示 設(shè) 則 0?zzyyxx bababa ???當(dāng) 為非零向量時 , ??c o s zzyyxx bababa ??222 zyx aaa ?? 22 zyx bbb ??由于 ?c o sba1 2 3 ,x y za a e a e a e? ? ? 1 2 3 ,x y zb b e b e b e? ? ?1 2 3()x y za e a e a e? ? ?1 2 3()x y zb e b e b e??ba?ba兩向量的夾角公式 , 得 )(?MB ,)(?MA ?BM例 2. 已知三點 ,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1( BAM? AMB . A解 : ,1 ,1 0 ,1 ,0 1則 ?? A M Bc o s?1 ?0 02 2?? A M B求 MBMA ?MA MB故 為 ? ) . 求單位時間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量 P (流體密度 例 3. 設(shè)均勻流速為 的流體流過一個面積為 A 的平 面域 , 與該平面域的單位垂直向量 ? A解 : 單位時間內(nèi)流過的體積 ?PA??的夾角為 且 vvnv?為單位向量 二、兩向量的向量積 引例 . 設(shè) O 為杠桿 L 的支點 , 有一個與杠桿夾角為 ?OQOLP??Q符合右手規(guī)則 OQ? F ? F ?sinOP?sinOPMFOP ??OPM ?M矩是一個向量 M : 的力 F 作用在杠桿的 P點上 , 則力 F 作用在杠桿上的力 Fo PFMFM ?1. 定義 定義 向量 方向 : (叉積 ) 記作 且符合右手規(guī)則 模 : 向量積 , ，的夾角為設(shè) ?ba ,c ,ac? bc? ?c ?s i na bbac稱 c 的與為向量 babac ??ba??引例中的力矩 思考 : 右圖三角形面積 ?abS＝ 2. 性質(zhì) 為非零向量 , 則 ，0sin ?? ?? 或即 0?aa ?)1( 0?ba ,)2( 0?? ba ba∥ ,0,0 時當(dāng) ?? baba∥ 0?? ba ?s i na b 0?3. 運算律 (2) 分配律 (3) 結(jié)合律 ab ???cba ?? )( cbca ????ba ?)( ? )( ba ??? )( ba ?? ?ba ?)1(證明 : 4. 向量積的行列式計算法 1()y z z ya b a b e? 2()z x x za b a b e??3()x y y xa b a b e??1 2 3e e exa ya zaxb yb zb2zxzxaaebb?1 2 3 ,x y za a e a e a e? ? ?1 2 3 ,x y zb b e b e b e? ? ??例 4. 已知三點 ,)7,4,2(),5,4,3(,)3,2,1( CBA角形 ABC 的面積 解 : 如圖所示 , ?? CBASABC?21? 1 2 3e e e2 2 21 2 4)(21? ,4 ,6? 2222 2)6(421 ???? 14??s i n21AB AC21? ACAB ?求三 一點 M 的線速度 例 5. 設(shè)剛體以等角速度 ? 繞 l 軸旋轉(zhuǎn) , 導(dǎo)出剛體上 的表示式 . Ml解 : 在軸 l 上引進一個角速度向量 使 a其 在 l 上任取一點 O, O作 ?它與 則 點 M離開轉(zhuǎn)軸的距離 a?且 符合右手法則 的夾角為 ? , ? ??s i n?? r,?? ?,?rv ??? ?方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則 , 向徑 *三、 向量的混合積 1. 定義 已知三向量 稱數(shù)量 混合積 . 記作 幾何意義 為棱作平行六面體 , 底面積 高 ??h故平行六面體體積為 hAV ? ? ?cba ?? )( ? ?cba, cba的為 cba ,?A ba? ccba ,以 則其 cba ?? )(? ?cbaba?c bazyxzyxbbbaaa?xc yc zc2. 混合積的坐標表示 設(shè) zxzxbbaa?yxyxbbaa?cba ??? )(??ba,),( zyx aaaa ?? ?cba zy zy bbaa?,),( zyx bbbb ? ),( zyx cccc ?xc yc zc2zxzxaaebb?3. 性質(zhì) (1) 三個非零向量 共面的充要條件是 0?(2) 輪換對稱性 : ][(可用三階行列式推出 ) ? ?cbacba ,a b c ][? ab c ][? a bcab c例 6. 已知一四面體的頂點 4 ) , 求該四面體體積 . 1A2A3A4A解 : 已知四面體的體積等于以向量 為棱的平行六面體體積的 故 61? 12 xx ? 12 yy ? 12 zz ?13 xx ? 13 yy ? 13 zz ?14 xx ? 14 yy ? 14 zz ?,21AA ,31AA 41AA][ 413121 AAAAAA?例 7. 證明四點 ,)3,3,2(),6,5,4(,)1,1,1( CBA共面 . 解 : 因 0?)17,15,10(DABCD3 4 51 2 29 14 16故 A , B , C , D 四點共面 . ][ ADACAB內(nèi)容小結(jié) 設(shè) 1. 向量運算 加減 : 數(shù)乘 : 點積 : ),( zzyyxx babababa ?????),( zyx aaaa ???? ?zzyyxx babababa ????),(,),(,),( zyxzyxzyx ccccbbbbaaaa ???叉積 : kjixa ya zaxb yb zb??ba混合積 : 2. 向量關(guān)系 : ?xxab ?yyabzzab0??? zzyyxx bababazyxzyxzyxcccbbbaaa?cba ??? )(? ?cba共面cba , 0?zyxzyxzyxcccbbbaaa0)( ??? cba0?? ba第三節(jié) 一、 平面的方程 二、平面的一般方程 三、兩平面的夾角 平面及其方程 定義： 設(shè) 是 中一個平面， 定義如上，則 中與二維子 空間 正交的非零向量稱為平面 的 法向量 ；平面 的 所有法向量添上零向量組成 的一個一維子空間， 中以平面 的法向量為方向向量的直線稱為平面 的法線 。 3PV3P
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