微積分總結(jié)(下冊(cè))(已修改)
2025-07-11 12:49 本頁(yè)面
【正文】 微積分（B II）總結(jié)chapter 8 多元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)的極限先看極限是否存在（一個(gè)方向組(y=kx)或兩個(gè)方向趨近于極限點(diǎn)（給定方向必須當(dāng)x滿足極限過(guò)程時(shí),y也滿足極限過(guò)程））。如果存在，能先求的先求，能用等價(jià)無(wú)窮小替換的就替換，最后考慮夾逼準(zhǔn)則。 偏導(dǎo)數(shù)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義（多用于分段函數(shù)的分界點(diǎn)）例：求,就是求分段函數(shù)的點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不一定存在（如：錐） 全微分函數(shù)可微，則偏導(dǎo)數(shù)必存在（逆否命題可證明函數(shù)不可微,證明時(shí)，把右邊前兩項(xiàng)移到左邊，看它是不是的高階無(wú)窮?。├簩?duì)于某一點(diǎn)處的全微分，也可能要用到點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則要求函數(shù)對(duì)每個(gè)中間變量求偏導(dǎo)，乘以中間變量對(duì)自變量求偏導(dǎo)。而所謂函數(shù)對(duì)第一中間變量求偏導(dǎo)就是說(shuō)另外把兩個(gè)中間變量看做不變。小心：中間變量要帶入，例：（在計(jì)算z對(duì)u的偏導(dǎo)時(shí)，相當(dāng)于把v,t看做不變）這里的u,v要帶入（第三行），并且z是具體的函數(shù)，所以在對(duì)中間變量求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，偏導(dǎo)數(shù)可以求出來(lái)全微分性質(zhì)的不變性例：①用全微分形式的不變性兩邊同時(shí)取全微分，相當(dāng)于（xy）為中間變量，求出全微分后，直接出偏導(dǎo)②想象z=z(x,y)即z是復(fù)合函數(shù)，兩邊對(duì)x,y求導(dǎo)也能的出來(lái)（較慢） 隱函數(shù)求導(dǎo)公式 一個(gè)方程分母上的做函數(shù)，分子上的做一個(gè)自變量，對(duì)分子上的求偏導(dǎo)如：若求偏x，那就把方程看成z=z(x,y)對(duì)z求導(dǎo)。注意，x,yy獨(dú)立，然而z對(duì)x，y求導(dǎo)不是0 方程組觀察方程組，4個(gè)變量，兩個(gè)等式，那么說(shuō)有兩個(gè)自由變量。讓求,就是把方程組看成u=u(x,y),v=v(x,y), 上下對(duì)y求導(dǎo)。（把分母上的變量看做函數(shù)）特殊地，無(wú)論方程如何給出，弄出對(duì)x或?qū)的導(dǎo)數(shù)十分關(guān)鍵。注意，在某點(diǎn)處的切線方程在看方向向量時(shí)要把那個(gè)點(diǎn)帶入,特殊地 方向?qū)?shù)與梯度即梯度與所給方向l的方向向量的點(diǎn)積記住，如果求某一點(diǎn)的方向?qū)?shù)，要求的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)如果用此公式，需要z有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)l的方向與梯度的方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)的值最大，為梯度的摸 多元函數(shù)的極值極值取在駐點(diǎn)處，或者在不可微的點(diǎn)處如果出現(xiàn)（3）的情況，需要回歸
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