雙勾函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(已修改)
2025-07-05 14:20 本頁面
【正文】 “雙勾函數(shù)”的性質(zhì)及應(yīng)用問題引入：求函數(shù)的最小值．問題分析：將問題采用分離常數(shù)法處理得，此時(shí)如果利用均值不等式，即，等式成立的條件為，而顯然無實(shí)數(shù)解，所以“”不成立，因而最小值不是，遇到這種問題應(yīng)如何處理呢？這種形式的函數(shù)又具有何特征呢？是否與我們所熟知的函數(shù)具有相似的性質(zhì)呢?帶著種種疑問，我們來探究一下這種特殊類型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)．一、利用“二次函數(shù)”的性質(zhì)研究“雙勾函數(shù)”的性質(zhì)1．“雙勾函數(shù)”的定義我們把形如（為常數(shù)，）的函數(shù)稱為“雙勾函數(shù)”．因?yàn)楹瘮?shù)（為常數(shù)，）在第一象限的圖像如“√”，而該函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，故此而得名．2．類比“二次函數(shù)”與“雙勾函數(shù)”的圖像二次函數(shù)圖像“雙勾函數(shù)”圖像3．類比“二次函數(shù)”的性質(zhì)探究“雙勾函數(shù)”的性質(zhì)（1）“二次函數(shù)”的性質(zhì)①當(dāng)時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，隨著的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，隨著的增大而增大；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值 ．②當(dāng)時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，隨著的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，隨著的增大而減?。?dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值． （2）“雙勾函數(shù)”性質(zhì)的探究①當(dāng)時(shí)，在左側(cè)，隨著的增大而減??；在的右側(cè)，隨著的增大而增大；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值 ．②當(dāng)時(shí)，在的左側(cè)，隨著的增大而增大；在的右側(cè)，隨著的增大而減?。?dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值． 綜上知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．下面對“雙勾函數(shù)”的性質(zhì)作一證明．證明：定義法．設(shè)R，且，則．以下我們怎樣找到增減區(qū)間的分界點(diǎn)呢？首先，∴就是一個(gè)分界點(diǎn)，另外我們用“相等分界法”，令，可得到，因此又找到兩個(gè)分界點(diǎn)
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