【正文】 教材習題解答第一章 集合及其運算習題3. 寫出方程的根所構(gòu)成的集合。解：的根為，故所求集合為，哪些為假a)對每個集A，；b)對每個集A，；c)對每個集A，；d)對每個集A，；e)對每個集A，；f)對每個集A，；g)對每個集A，；h)對每個集A，；i)對每個集A，；j)對每個集A，；k)對每個集A，；l)對每個集A，；m)對每個集A，；n)；o)中沒有任何元素；p)若，則q)對任何集A，；r)對任何集A，；s)對任何集A，；t)對任何集A，；答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真，試證：證明：由，可得且，故。同理可得：因此，試求？解：，證明有個元素。證明：（1）當n＝0時，命題成立。（2）假設(shè)當時命題成立，即（時）。那么對于（），中的元素可分為兩類，一類為不包含中某一元素的集合，另一類為包含的集合。顯然，這兩類元素個數(shù)均為。因而，亦即命題在時也成立。由（1）、（2），可證得命題在時均成立。習題、B是集合，證明:證：當時，顯然，得證。假設(shè)，則必存在，使得但，故與題設(shè)矛盾。所以假設(shè)不成立，故。、B是集合，試證證：顯然。反證法：假設(shè)，則，若，則左，但右，矛盾。若，則左，但右，矛盾。故假設(shè)不成立，即。3. 設(shè)A，B，C是集合，證明：證：由上式可以看出此展開式與A、B、C的運算順序無關(guān)，因此，B，C為集合，證明證：因為= = 。，B，C為集合，證明：證：＝。，B，C為集合，證明：證明： =，B，C都是集合，若且，試證B=C。證：證1： ，則若，則。由于，故，即；若，則，由于，故。又，只能有。因此，總有，故。同理可證。因此。證2： ，B，C為集合，試證：證：證Ⅰ，有，因此。故，即。反之，有。因此。故，即。所以 ＝。證Ⅱ： ，證明證：證1：，有且或。則若且，則，于是。若且，則，從而。反之，則或。若，則由有，故，因此。若，則但，故，因此。從而。由集合相等的定義。證2：，因為，所以。？(1)；(2)；(3)。解：（1），（2），（3）都不成立。反例如下：（1）任意，則。（2），則。（3），則。11．下列命題哪個為真？a)對任何集合A,B,C，若，則A=C。b)設(shè)A,B,C為任何集合，若，則B=C。c)對任何集合A,B。d)對任何集合A,B。e)對任何集合A,B。f)對任何集合A,B。答案：d是真命題。12．設(shè)R,S,T是任何三個集合，試證：（1）；（2）；（3）；（4）證：（1），則若，則。因而且，故；若，則，同理可得。故。反之，因為，故＝。 ，有。若，則，故；若，則，故。因此。所以 ＝。（2）證：，有且。則若，則且，故。若，則且。故，因此。于是。（3）證：，有且。則若，則，故，因此；若，則，故。于是反之，則若，則，故，因而。即；若，則，故或。因此或，從而。綜上可得：。于是證：，則若，則，因而。故，于是；若，則，與上同理可得。綜上可得：。14．設(shè)A為任一集，為任一集族（），證明：證：，則若，則，因而；若，則，因而，故。于是。反之，設(shè)，則。若，顯然；若，則，因而，即。所以。綜上可得，＝。15．填空：設(shè)A,B是兩個集合。(a)__________________； (b)__________________； (c)___________________；(d)___________________； 解：(a) 且； (b) 或 (c) 或； (d) （且）或（且）16．設(shè)A，B，C為三個集合，下列集合表達式哪一個等于？（a）；（b）（c）；（d）（e）答案：c。習題1．設(shè)A,B,C為集合，并且，則下列斷言哪個成立？(1)；(2)；(3)；(4)。答案：d。在兩邊同時并上A即得。2．設(shè)A,B,C為任意集合，化簡證：證1：原式＝證2：令原式＝T，全集為S，則且，故 。3．證明：（1）；（2）； （3）證：（1） （2）證： 〔根據(jù)（1）〕（3）證： 〔根據(jù)（2）〕4．設(shè)和是集合S的子集的兩個序列，對，有。令。試證：。證： 當n＝1時，故當n≥2時，設(shè)有或。則，則但，因此有。于是（1）若且，有；（2）若且，由，有且，于是。，則但。于是。綜上可得：5．設(shè)X是一個非空集合，試證：，有。證明：由于，故。因為，故，顯然有。對于，假設(shè)存在，使得，必可找到其中最小的值，使得，故；假如不存在p，則，故。綜上可得：。所以＝。6．設(shè)V是任一集合，證明：有當且僅且且。證：因為，故。先證。設(shè)，則若，則，故且，矛盾。所以，即。其次，證明。設(shè)，則有兩種情況：若。則，故。若。由，知。總之，有，故。7．設(shè)為一集序列，記為這樣的元素的全體形成的集合：當且僅當在序列中有無窮多項含有。集合稱為集序列的上極限，記為，即。又記為這樣的元素全體形成的集合；序列中只有有限項不含有這樣的元素。稱為序列的下極限，并記。證明；（1）；（2）。證： （1），在序列中只有有限項不含x，在不含x的項中必可找到下標最大的一項（若各項均含x，則令p＝0），有，故，即。反之，必使得，即時。而集合中即使都不含有x，但也僅有有限項不含x，故。因此。綜上可得：＝。（2），因