【正文】 第五章 圓 167。 圓的性質(zhì)及與圓有關(guān)的位置關(guān)系 中考數(shù)學(xué) (湖南專(zhuān)用 ) A組 2022— 2022年湖南中考題組 五年中考 考點(diǎn)一 圓的有關(guān)概念與性質(zhì) 1.(2022湖南邵陽(yáng) ,6,3分 )如圖所示 ,四邊形 ABCD為☉ O的內(nèi)接四邊形 ,∠ BCD=120176。,則 ∠ BOD的 大小是 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 解題關(guān)鍵 本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理 ,掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) 是解題的關(guān)鍵 . 思路分析 根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出 ∠ A,再根據(jù)圓周角定理解答 . 答案 B ∵ 四邊形 ABCD為☉ O的內(nèi)接四邊形 , ∴∠ BAD=180176?！?BCD=60176。, 由圓周角定理得 ,∠ BOD=2∠ A=120176。,故選 B. 2.(2022湖南張家界 ,6,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,弦 CD⊥ AB于點(diǎn) E,OC=5 cm,CD=8 cm,則 AE= ? ( ) ? cm cm cm cm 答案 A 因?yàn)?AB是☉ O的直徑 ,弦 CD⊥ AB于點(diǎn) E,所以根據(jù)垂徑定理可得 EC=ED=? CD=4 cm,所以在 Rt△ OEC中 ,根據(jù)勾股定理可得 OE=? =3 cm,所以 AE=AO+OE=8 cm. 1222OC EC?3.(2022湖南張家界 ,3,3分 )如圖 ,在☉ O中 ,AB是直徑 ,AC是弦 ,連接 OC,若 ∠ ACO=30176。,則 ∠ BOC 的度數(shù)是 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 D ∵ OA=OC,∴∠ A=∠ ACO=30176。, ∴∠ BOC=2∠ A=230176。=60176。. 思路分析 先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出 ∠ A的度數(shù) ,再根據(jù)圓周角定理求出 ∠ BOC的度數(shù) . 4.(2022湖南張家界 ,6,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,BC是☉ O的弦 ,若 ∠ OBC=60176。,則 ∠ BAC的度數(shù) 是 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 D ∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ ACB=90176。, 又 ∵∠ OBC=60176。, ∴∠ BAC=180176?！?ACB∠ ABC=180176。90176。60176。=30176。.故選 D. 思路分析 根據(jù) AB是☉ O的直徑可得出 ∠ ACB=90176。,再根據(jù)三角形內(nèi)角和為 180176。以及 ∠ OBC= 60176。,即可求出 ∠ BAC的度數(shù) . 解題關(guān)鍵 本題考查了圓周角定理以及角的計(jì)算 ,解題的關(guān)鍵是得出 ∠ ACB=90176。,即直徑所對(duì) 的圓周角為 90176。. 5.(2022湖南株洲 ,6,3分 )如圖 ,圓 O是△ ABC的外接圓 ,∠ A=68176。,則 ∠ OBC的大小是 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 A 由題可知 ∠ BOC=2∠ A=136176。, ∵ BO=OC, ∴∠ OBC=∠ OCB=? =22176。,故選 A. 180 1362?? ?思路分析 先根據(jù)圓周角定理即同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半求出 ∠ BOC 的度數(shù) ,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出 ∠ OBC的度數(shù) . 審題技巧 在圓中 ,可通過(guò)圓心角的度數(shù)求同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù) ,也可通過(guò)圓周角的度數(shù) 求同弧所對(duì)的圓心角的度數(shù) . 6.(2022湖南湘潭 ,7,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 ,若 ∠ DAB=60176。,則 ∠ BCD的度 數(shù)是 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 D ∵ 四邊形 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 , ∴∠ DAB+∠ BCD=180176。, ∵∠ DAB=60176。, ∴∠ BCD=180176。60176。=120176。.故選 D. 思路分析 根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求出答案 . 解題關(guān)鍵 本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) ,掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵 . 7.(2022湖南永州 ,6,3分 )如圖 ,P是☉ O外一點(diǎn) ,PA、 PB分別交☉ O于 C、 D兩點(diǎn) ,已知 ? 和 ? 所 對(duì)的圓心角分別為 90176。和 50176。,則 ∠ P=? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 AB︵ CD︵答案 D ∵ ? 和 ? 所對(duì)的圓心角分別為 90176。和 50176。, ∴∠ A=25176。,∠ ADB=45176。,∵∠ P+∠ A=∠ ADB, ∴∠ P=∠ ADB∠ A=45176。25176。=20176。.故選 D. AB︵ CD︵思路分析 根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半可得 ∠ ADB和 ∠ CAD的度數(shù) ,再由三角形 外角的性質(zhì)求解 . 易錯(cuò)警示 ①不會(huì)合理運(yùn)用圓周角定理 。② 不理解三角形外角的性質(zhì) . 8.(2022湖南長(zhǎng)沙 ,15,3分 )如圖 ,AB為☉ O的直徑 ,弦 CD⊥ AB于點(diǎn) E,已知 CD=6,EB=1,則☉ O的半 徑為 . ? 答案 5 解析 連接 OC,設(shè)圓 O的半徑為 r,則 OE=r1,根據(jù)垂徑定理可得 CE=3,在 Rt△ OCE中 ,由勾股定 理可得 ,CE2+OE2=OC2,即 32+(r1)2=r2,解得 r=☉ O的半徑為 5. ? 方法總結(jié) 在已知直徑與弦垂直的問(wèn)題中 ,通常連接半徑構(gòu)造直角三角形 ,其中斜邊為圓的半 徑 ,兩直角邊是弦長(zhǎng)的一半和圓心到弦的距離 ,從而運(yùn)用勾股定理來(lái)計(jì)算 . 9.(2022湖南湘潭 ,13,3分 )如圖 ,在☉ O中 ,已知 ∠ AOB=120176。,則 ∠ ACB= . ? 答案 60176。 解析 ∵∠ AOB=120176。,點(diǎn) C在☉ O上 , ∴∠ ACB=? ∠ AOB=60176。. 1210.(2022湖南株洲 ,25,10分 )已知 AB是半徑為 1的圓 O直徑 ,C是圓上一點(diǎn) ,D是 BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn) , 過(guò)點(diǎn) D的直線交 AC于 E點(diǎn) ,且△ AEF為等邊三角形 . (1)求證 :△ DFB是等腰三角形 。 (2)若 DA=? AF,求證 :CF⊥ AB. ? 7證明 (1)∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。, ∵ △ AEF為等邊三角形 , ∴∠ CAB=∠ EFA=60176。,∴∠ B=30176。, ∵∠ EFA=∠ B+∠ FDB,∴∠ B=∠ FDB=30176。, ∴ △ DFB是等腰三角形 . (2)過(guò)點(diǎn) A作 AM⊥ DF于點(diǎn) M,設(shè) AF=2a(a0),∵ △ AEF是等邊三角形 ,∴ FM=EM=a,AM=? a,在 Rt △ DAM中 ,AD=? AF=2? a,AM=? a,∴ DM=5a,∴ DF=BF=6a,∴ AB=AF+BF=8a,在 Rt△ ABC 中 ,∠ B=30176。,∠ ACB=90176。,∴ AC=4a,∵ AE=EF=AF=CE=2a,∴∠ ECF=∠ EFC,∵∠ AEF=∠ ECF+ ∠ EFC=60176。,∴∠ CFE=30176。,∴∠ AFC=∠ AFE+∠ EFC=60176。+30176。=90176。,∴ CF⊥ AB. ? 37 7 3思路分析 (1)由 AB是☉ O的直徑 ,得到 ∠ ACB=90176。,由△ AEF為等邊三角形 ,得到 ∠ CAB=∠ E FA =60176。,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論 。 (2)過(guò)點(diǎn) A作 AM⊥ DF于點(diǎn) M,設(shè) AF=2a(a0),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到 FM=EM=a,AM=? a,再 根據(jù)已知條件得到 AB=AF+BF=8a,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到 AE=EF=AF=CE=2a,推出 ∠ ECF=∠ EFC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論 . 311.(2022湖南衡陽(yáng) ,26,8分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,點(diǎn) C、 D為半圓 O的三等分點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) C作 CE⊥ AD,交 AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E. (1)求證 :CE為☉ O的切線 。 (2)判斷四邊形 AOCD是否為菱形 ,并說(shuō)明理由 . ? 解析 (1)證明 :連接 OD,∵ 點(diǎn) C、 D為半圓 O的三等分點(diǎn) , ∴∠ BOC=? ∠ BOD, 又 ∠ BAD=? ∠ BOD, ∴∠ BOC=∠ BAD,∴ AE∥ OC, ∵ AD⊥ EC,∴ OC⊥ EC, ∵ OC為☉ O的半徑 , ∴ CE為☉ O的切線 . (2)四邊形 AOCD是菱形 .理由如下 : ∵ 點(diǎn) C、 D為半圓 O的三等分點(diǎn) , 1212∴∠ AOD=∠ COD=60176。, ∵ OA=OD=OC,∴ △ AOD和△ COD都是等邊三角形 , ∴ OA=AD=DC=OC=OD, ∴ 四邊形 AOCD是菱形 . 考點(diǎn)二 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 1.(2022湖南邵陽(yáng) ,9,3分 )如圖所示 ,AB是☉ O的直徑 ,點(diǎn) C為☉ O外一點(diǎn) ,CA,CD是☉ O的切線 ,A,D 為切點(diǎn) ,連接 BD, ∠ ACD=30176。,則 ∠ DBA的大小是 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 D ∵ CA,CD是☉ O的切線 ,A,D為切點(diǎn) , ∴∠ CAB=90176。,CA=CD, 故△ CAD是等腰三角形 . ∵∠ C=30176。,∴∠ CAD=∠ CDA=75176。,∴∠ BAD=15176。, ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ BDA=90176。.∴∠ DBA=75176。,故選 D. 2.(2022湖南湘西 ,18,4分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,BC=3 cm,AC=4 cm,以點(diǎn) C為圓心 , cm長(zhǎng)為 半徑畫(huà)圓 ,則☉ C與直線 AB的位置關(guān)系是 ? ( ) 答案 A 過(guò) C作 CD⊥ AB于 D,如圖所示 . 在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,AC=4 cm,BC=3 cm, ∴ AB=? =5 cm. ∵ △ ABC的面積 =? ACBC=? ABCD, ∴ 34=5CD,∴ CD= cm cm, ∴ ☉ C與直線 AB的位置關(guān)系是相交 .故選 A. 22AC BC?12 12思路分析 要判斷直線與圓的位置關(guān)系 ,應(yīng)求出點(diǎn) C到直線 AB的距離 ,于是過(guò) C作 CD⊥ AB于 D, 根據(jù)勾股定理求出 AB,再根據(jù)三角形的面積公式求出 CD,比較 CD長(zhǎng)和半徑的大小 ,根據(jù)直線和 圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論 . 解題關(guān)鍵 本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系 ,解答本題的關(guān)鍵是求出點(diǎn) C到 AB的距離 . 3.(2022湖南湘潭 ,13,3分 )如圖 ,AB是☉ O的切線 ,點(diǎn) B為切點(diǎn) ,若 ∠ A=30176。,則 ∠ AOB= . ? 答案 60176。 解析 ∵ AB是☉ O的切線 , ∴∠ OBA=90176。, ∴∠ AOB=90176?！?A=60176。, 故答案為 60176。. 思路分析 根據(jù)切線的性質(zhì)得到 ∠ OBA=90176。,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可 . 解題關(guān)鍵 本題考查的是切線的性質(zhì) ,掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵 . 4.(2022湖南長(zhǎng)沙 ,18,3分 )如圖 ,點(diǎn) A,B,D在☉ O上 ,∠ A=20176。,BC是☉ O的切線 ,B為切點(diǎn) ,OD的延長(zhǎng) 線交 BC于點(diǎn) C,則 ∠ OCB= 度 . ? 答案 50 解析 由題意知 ∠ BOC=2∠ A=40176。, ∵ 直線 BC與☉ O相切 ,∴∠ OBC=90176。, ∴ 在△ OBC中 ,∠ OCB=180176。90176。40176。=50176。. 5.(2022湖南岳陽(yáng) ,16,4分 )如圖 ,☉ O為等腰△ ABC的外接圓 ,直徑 AB=12,P為 ? 上任意一點(diǎn) (不 與 B,C重合 ),直線 CP交 AB延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q,☉ O在點(diǎn) P處的切線 PD交 BQ于點(diǎn) D,下列結(jié)論正確的是 .(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào) ) ① 若 ∠ PAB=30176。,則 ? 的長(zhǎng)為 π。② 若 PD∥ BC,則 AP平分 ∠ CAB。③ 若 PB=BD,則 PD=6? 。④ 無(wú) 論點(diǎn) P在 ? 上的位置如何變化 ,CPCQ恒為定值 . ? BC︵BP︵ 3BC︵答案 ②③④ 解析 如圖 ,連接 OP,PB. ? ∵ AO=OP,∠ PAB=30176。, ∴∠ POB=60176。, ∵ AB=12, ∴ OB=6, ∴ ? 的長(zhǎng)為 ? =2π,故①錯(cuò)誤 。 ∵ PD是☉ O的切線 , ∴ OP⊥ PD, BP︵ 60 6180???∵ PD∥ BC, ∴ OP⊥ BC, ∴ ?= ? , ∴∠ PAC=∠ PAB, ∴ AP平分 ∠ CAB,故②正確 。 ∵ PB=BD,∴∠ BPD=∠ BDP, ∵ OP⊥ PD, ∴∠ BPD+∠ BPO=∠ BDP+∠ BOP, ∴∠ BOP=∠ BPO, ∴ BP=BO=PO=6,即△ BOP是等邊三角形 , ∴ PD=? OP=6? ,故③正確 。 ∵ AC=BC, ∴∠