【正文】 東北大學(xué)第九屆東軟杯大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽暨 2020 年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽校內(nèi)選拔賽 參賽隊(duì)編號(hào)：（ 20203481） 選擇題目： √ A B 1 基于公路汽車(chē)側(cè)滑的公路合理性分析和改進(jìn)方案 一 摘 要 本論文通過(guò)上網(wǎng)查找事故發(fā)生地的實(shí)際情況，結(jié)合公路設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)要求，忽略次要因素，對(duì)于問(wèn)題一，建立了基于分析汽車(chē)在彎道內(nèi)側(cè)滑的條件的公路合理性模型，計(jì)算出汽車(chē)在彎道內(nèi)行駛最容易發(fā)生事故的點(diǎn)和進(jìn)入彎道而不發(fā)生事故的最大速度。對(duì)于問(wèn)題二，設(shè)計(jì)緩和曲線(xiàn)，建立了緩和曲線(xiàn)的曲線(xiàn)方程模型，使汽車(chē)通過(guò)緩和曲線(xiàn)能從直道平滑的過(guò)渡到彎道。 對(duì)于問(wèn)題一，首先，通過(guò)在 google 地圖上取點(diǎn)，描繪出事 故多發(fā)地彎道的曲線(xiàn)形狀，將屏幕坐標(biāo)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為實(shí)際道路情況坐標(biāo)點(diǎn)。其次，對(duì)得到的反映實(shí)際路況的一系列坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行 Hermite 插值處理，并將處理后的點(diǎn)擬合成一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)。再次，通過(guò)分析汽車(chē)入彎后行駛時(shí)的情況得出發(fā)生側(cè)滑的條件。最后，考慮汽車(chē)在彎道上每一點(diǎn)行駛的滾動(dòng)摩擦力，結(jié)合已經(jīng)分析得出的側(cè)滑條件，計(jì)算得出在彎道上最容易發(fā)生事故的點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的進(jìn)入彎道的初始速度的值，這個(gè)值就是能順利過(guò)彎而不發(fā)生事故的速度最大值。通過(guò)計(jì)算得出進(jìn)入彎道的最大速度為 在彎道內(nèi)一定會(huì)發(fā)生事故。 對(duì)于問(wèn)題二， 由于不要求成本最低，則假設(shè)不能改變 S 型彎道的形狀，依據(jù)問(wèn)題一的結(jié)論，在不改變彎道形狀的前提下，通過(guò)設(shè)計(jì)緩和曲線(xiàn)使汽車(chē)安全過(guò)彎，緩和曲線(xiàn)作用主要有兩點(diǎn)，一是提示司機(jī)前方有彎，需減速至 60km/h 以下，二是使汽車(chē)車(chē)頭能平滑的轉(zhuǎn)動(dòng)至彎道切線(xiàn)方向，而不因?yàn)檐?chē)頭轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)快使汽車(chē)失去控制。緩和曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)通過(guò)對(duì)緩和曲線(xiàn)的要求推導(dǎo)出霍爾布魯克螺線(xiàn)（回旋線(xiàn)）模型 2j jAR l?， 根據(jù)要求改變道路成本最低，確定處緩和曲線(xiàn)的最小長(zhǎng)度，通 過(guò)最小長(zhǎng)度確定回旋線(xiàn)的參數(shù)。 求解緩和曲線(xiàn)方程式，通過(guò)轉(zhuǎn)化，近似，將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)帶初值的二階微分方程的問(wèn)題，微分方程為： 339。2 2220 39。39。39。 39。 39。39。 39。39。(1 )( ) 1,S s S sYx x k AYY y Y y? ??? ? ??? ??? 此微分方程無(wú)法求得解析解，因此采用計(jì)算出其在 設(shè)置緩和曲線(xiàn)范圍內(nèi)的一系列數(shù)值解，之后通過(guò)最小二乘法對(duì)緩和曲線(xiàn)方程做擬合的方法近似計(jì)算緩和曲線(xiàn)方程。論文中圖七為緩和曲線(xiàn)與彎道連接的示意圖。 關(guān)鍵詞： Hermite 插值 ， 最小二乘法擬合， 滾動(dòng)摩擦力， 緩和曲線(xiàn)， 霍爾布魯克螺線(xiàn)（回旋線(xiàn)） ， 微分方程數(shù)值解 ， 2 二 問(wèn)題重述 廣元 市利州區(qū)寶輪鎮(zhèn)街道上， 于 2020 年 5 月 25 日發(fā)生一起交通事故。 一輛拉磚的貨車(chē)一頭撞進(jìn)路邊居民房?jī)?nèi) ，司機(jī)受傷。 該段道路的上段是近 2公里的長(zhǎng)坡，到出事路段時(shí)，則是一段 S形的急彎陡坡路。 “這一段公路至少都有 40 多米寬，是寶輪的形象公路。”張建東來(lái)到寶白公路另一端說(shuō)，他家門(mén)口的公路，卻因?yàn)榻艘蛔吧秸浯髲B”，將整個(gè)道路差不多占去一半，該大廈同時(shí)將往寶輪方向行駛的車(chē)輛的視線(xiàn)完全擋住。 “我們認(rèn)為這段路設(shè)計(jì)上有問(wèn)題，以前這里就是一塊平地，本來(lái)可以建成沒(méi)有坡的道路，現(xiàn)在卻是原沒(méi)有坡的拱了個(gè)坡，沒(méi)有彎的造了個(gè)彎。”附 近居民說(shuō)，行駛至該路段的駕駛員被前方十字路口的建筑擋住視線(xiàn)，駛過(guò)此路段的車(chē)輛車(chē)速都很快，一下坡就遇到紅綠燈，根本來(lái)不及剎車(chē)。 汽車(chē)行駛經(jīng)過(guò)下坡路段后，車(chē)速達(dá)到較大的值，在不知道前方有彎道和紅綠燈的情況下，不會(huì)減速剎車(chē)。遇到紅綠燈后剎車(chē)已經(jīng)來(lái)不及了。 在題目給定的條件下，同學(xué)們可自行設(shè)計(jì)符合題意的情景，建立你的數(shù)學(xué)模型： (1) 說(shuō)明道路設(shè)計(jì)是否合理； (2) 如道路設(shè)計(jì)不合理需要如何修改設(shè)計(jì)在最小成本的情況下得到最大改善。 三 模型假設(shè) 1. 汽車(chē)在下坡時(shí)不知道前方有急彎。汽車(chē)在不知情情況下沿下坡路段一直加速。 2. 當(dāng)汽車(chē)發(fā)現(xiàn)紅 綠燈時(shí)立即剎車(chē)減速，并開(kāi)始過(guò)彎。 汽車(chē)進(jìn)入彎道為平滑入彎，即是沿彎道的切線(xiàn)方向進(jìn)入彎道的。 3. 汽車(chē)的轉(zhuǎn)彎半徑約等于彎道的曲率半徑。 4. 假設(shè)汽車(chē)發(fā)生的事故只有側(cè)滑而沒(méi)有側(cè)翻的情況，即當(dāng)失去平衡時(shí)汽車(chē)四輪沒(méi)有離開(kāi)地面。 5. 認(rèn)為只要側(cè)滑就為發(fā)生事故。 四 問(wèn)題分析 通過(guò)查閱 google 地圖中當(dāng)?shù)氐匦蔚膶?shí)際情況的衛(wèi)星視圖可清楚的看到事故發(fā)生路段的地形情況，事故所發(fā)生路段 為一個(gè)直道下坡之后接一個(gè) S 型彎道如下圖所示： 3 圖片一：事故發(fā)生地地形示意圖 結(jié)合 google 地圖中的地形和照片中的路口實(shí)際情況，分析事 故發(fā)生的原因可以推斷， 汽車(chē)行駛經(jīng)過(guò)下坡路段后，車(chē)速達(dá)到較大的值 ，在不知道前方有彎道和紅綠燈的情況下，不會(huì)減速剎車(chē)。遇到紅綠燈后汽車(chē) 剎車(chē) 過(guò)彎，但 已經(jīng)來(lái)不及將速度降低到正常過(guò)彎的情況。由于離心力的作用， 導(dǎo)致 汽車(chē)失去控制 ， 發(fā)生事故 。分析道路設(shè)計(jì)是否合理 即可轉(zhuǎn)化為分析汽車(chē)以一定 速度從坡道上行駛下來(lái)后不發(fā)生事故的最大速度的問(wèn)題。改良公路線(xiàn)型使汽車(chē)能平滑入彎 。 第一步，通過(guò)取點(diǎn)將入彎段得公路 彎道曲線(xiàn) 離散化，用 Hermite 插值對(duì)所取離散的點(diǎn)進(jìn)行插值處理，之后用最小二乘法擬合出在入彎處得 公路曲線(xiàn)的函數(shù)。 第二步，結(jié)合第一 步所得的函數(shù)，計(jì)算在入彎處的函數(shù)在此點(diǎn)的曲率半徑，結(jié)合牛頓力學(xué)進(jìn)行分析，得出實(shí)際允許的最大速度 ，與實(shí)際情況比較得出公路設(shè)計(jì)是否合