東北大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽論文(已改無錯(cuò)字)
2022-12-19 01:47:27 本頁面
【正文】 AYY y Y y? ??? ? ??? ??? (21) 求出此微分方程即可得出 39。Y 的表達(dá)式，積分得到 Y 的表達(dá)式。 要求解處此微分方 9 程解析解非常困難，本模型通過計(jì)算數(shù)值解在曲線上描點(diǎn)后擬合得出其曲線方程。 七 模型求解 原始數(shù)據(jù)的處理 在地圖上取地圖在屏幕上像素點(diǎn)的坐標(biāo)為原始擬合數(shù)據(jù)，由 于題目中給出坡道是一條直線，因此在二維平面上取點(diǎn)時(shí)坡道部分只取起點(diǎn)和終點(diǎn)，彎道部分為分析的重點(diǎn)，在彎道部分取點(diǎn)密集在地圖中取點(diǎn)并用 matlab 畫出折線圖圖像如下 ： 圖 二 像素點(diǎn)的初始數(shù)據(jù) 需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，將數(shù)據(jù)的像素點(diǎn)對(duì)應(yīng)成距離，由于在地圖中縮放都是按比例進(jìn)行的，即 X 軸縮放多少倍， Y 軸也縮放多少倍，由地圖比例尺可知轉(zhuǎn)化成距離圖像如下 10 圖三 處理后道路實(shí)際情況示意圖 由模型假設(shè)得圖中直線部分與曲線部分相切，即只考慮曲線部分圖形即可，將圖像中的第一個(gè)點(diǎn)去掉后可得彎道部分的取點(diǎn)情況（如圖中曲線 1），像素點(diǎn)坐標(biāo)是離散的值，各個(gè)點(diǎn)之間不光滑，而擬合曲線時(shí)越光滑越好，對(duì)所得曲線進(jìn)行分段 Hermite 插值，通過取每 為一段插值后的曲線（圖中曲線 2）比插值前光 滑程度上有明顯改善 11 圖四 彎道插值前后的對(duì)比曲線 為提高計(jì)算的準(zhǔn)確度，計(jì)算曲率半徑時(shí)可將數(shù)據(jù)沿東西方向平移，即將橫坐標(biāo)減去 2300。將圖像中 X 和 Y 變化后用一下過程擬合。 求解過程中需要計(jì)算切入點(diǎn)的曲率半徑，因此需用最小二乘法對(duì)所得插值后各點(diǎn) 進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，比較各個(gè)階次多項(xiàng)式的擬合情況，決定用 10 次多項(xiàng)式對(duì)彎道曲線進(jìn)行擬合 ， 擬合情況和各次多項(xiàng)式擬合的程度如下： 12 圖五 擬合曲線與原曲線擬合度對(duì)比 由以上圖形可得出彎道曲線部分的擬合多項(xiàng)式為： y = p1*x^10 + p2*x^9 + p3*x^8 + p4*x^7 + p5*x^6 + p6*x^5 + p7*x^4 + p8*x^3 + p9*x^2 + p10*x + p11 Coefficients: p1 = 。 p2 = 。 p3 = 。 p4 = 。 p5 = 。 p6 = 。 p7 = 。 p8 = 。 p9 = 。 p10 = 。 p11 = 。 上述多項(xiàng)式即為插值擬合后得到的擬合曲線方程 。 去掉一些不合理的點(diǎn)之后得到多項(xiàng)式函數(shù)曲線圖像如圖 13 圖六 最終確定的多項(xiàng)式函數(shù)曲線 在如圖曲線中 X 的取值可從 50m到 680m可研究此段水平方向上 公里的彎道情況來說明公路設(shè)計(jì)的合理性和緩和曲線的設(shè)計(jì)。 公路彎道設(shè)計(jì)合理性求解 計(jì)算 彎道 的曲率半徑 由求得的擬合多項(xiàng)式函數(shù)及曲率半徑的公示計(jì)算可得曲率半徑為： for i = 1:1:1259 in=x(i) out(i)=p1*in^10 + p2*in^9 +p3*in^8 + p4*in^7 +p5*in^6 + p6*in^5 +p7*in^4 + p8*in^3 +p9*in^2 + p10*in+p11。 end d1=diff(out,1)。 d2 = diff(out,2)。 d1=abs(d1)。 d2=abs(d2)。 for i = 1:1:1259 ans(i) = sqrt((1+d1(i)^2)^3)/d2(i)。 end 因此在入彎時(shí)曲率半徑為 。此曲率半徑在 x=50 時(shí)取得，最小曲率半徑為 此曲率半徑在 x=555m 是取得。 min(ans) ans = 14 計(jì)算彎道 個(gè)點(diǎn)的長度 根據(jù)曲線弧長的計(jì)算公式，在計(jì)算公式中，積分可變成求個(gè)段得和 matlab 實(shí)現(xiàn)代碼如下： s = sqrt(1+d1^2)。 for i = 1:1:1259 s(i) = sqrt(1+d1(i)^2)。 end for i = 1:1:1259 q(i)=sum(s(1:i))。 end 得出的 q 即為各點(diǎn)到起點(diǎn)的曲線長度。 選取合適的參數(shù) ,eg? 在公路上行駛假設(shè)地面對(duì)汽車的橫向附著力系數(shù)是一個(gè)常量，并且不會(huì)改變。 查閱相關(guān)資料可取 ?? ， /g m s? ，路面超高 ? ，為了簡化計(jì)算此處的滾動(dòng)摩擦因數(shù)取附著力系數(shù)的 130 即 30??? 。下面來求最容易失去控制發(fā)生側(cè)滑的點(diǎn)在曲線中的位置。 按照模型推理出來的公式求各點(diǎn)的速度的 matlab 代碼如下： for i = 1:1:1259 f(i)=sqrt(2*(1/30)***q(i)+ans(i)***(31/30))。 end min(f) ans = 得出要安全過彎在彎道入口處得最大速度為 速度應(yīng)為 。即在入彎處應(yīng)限制最大速度 60km/h 緩和曲線設(shè)計(jì)模型的求解 緩和曲線中參數(shù) 2A 的確定 考慮汽車中乘客的舒適程度，查閱相關(guān)資料得到離心加速度變化率一般都在 到 之間，即 39。 (,)a ? ，平均速度 0v 取 得： 3min 39。 sS vL Ra? (22) 結(jié)合行駛時(shí)間不超過 3s 得 3 = ? ，為方便計(jì)算取 L=50m。當(dāng)L=50m 時(shí) A=。 15 計(jì)算緩和曲線在直角
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