【正文】 第六章 圓 圖形的相似 中考數(shù)學 (廣東專用 ) 考點 相似三角形的判定與性質(zhì) A組 20222022年 廣 東中考題組 五年中考 1.(2022廣東 ,7,3分 )在△ ABC中 ,點 D、 E分別為邊 AB、 AC的中點 ,則△ ADE與△ ABC的面積之 比為 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 1213 14 16答案 C 因為 D、 E是邊 AB、 AC的中點 ,故 DE是△ ABC的中位線 ,所以 DE∥ BC,所以△ ADE ∽ △ ABC,且相似比是 ? ,所以它們的面積比是 ? .故選 C. 12 14方法總結(jié) 本題考查了三角形中位線的性質(zhì) ,相似三角形的性質(zhì) .熟練運用“相似三角形的面 積比等于相似比的平方”這個性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 . 2.(2022深圳 ,16,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,AE、 BD分別平分 ∠ BAC、 ∠ ABC,若 AF=4, EF=? ,則 AC= . ? 2答案 ? 8 1 05解析 如圖 , ∵ AE平分 ∠ BAC,BD平分 ∠ ABC, ∴∠ BAF=? ∠ BAC,∠ ABF=? ∠ ABC, ∵∠ C=90176。, ∴∠ BAC+∠ ABC=90176。, ∴∠ BAF+∠ ABF=? ∠ BAC+? ∠ ABC=45176。, 12 1212 12∴∠ AFD=45176。. 過點 D作 DG⊥ AE于 G,連接 CF, ∵ DF=? , ∴ DG=FG=1, ∵ AF=4, ∴ AG=3,∴ AD=? , ∵∠ ACF=45176。=∠ AFD,∠ DAF=∠ CAF, ∴ △ ACF∽ △ AFD, ∴ ? =? , ∴ AC=? =? =? . 2102AD16108 1 05方法總結(jié) 本題考查了角平分線的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)定理、銳角三角函數(shù)和 勾股定理 .添加輔助線構(gòu)造相似或全等三角形是常用的解題手段之一 。添加輔助線構(gòu)造直角三 角形是運用勾股定理或銳角三角函數(shù)求線段長的常用方法 . 3.(2022廣州 ,16,3分 )如圖 ,直線 CE是 ?ABCD的邊 AB的垂直平分線 ,垂足為點 O,CE與 DA的延長 線交于點 AC,BE,DO,DO與 AC交于點 : ①四邊形 ACBE是菱形 。 ② ∠ ACD=∠ BAE。 ③ AF∶ BE=2∶ 3。 ④ S四邊形 AFOE∶ S△ COD=2∶ 3. 其中正確的結(jié)論有 .(填寫所有正確結(jié)論的序號 ) ? 答案 ①②④ 解析 由直線 CE是邊 AB的垂直平分線可得 AC=CB,所以 ∠ CAB=∠ CBA,由四邊形 ABCD是平 行四邊形可得 AB∥ CD,AD∥ BC,所以 ∠ CAB=∠ ACD,∠ BAE=∠ CBA,所以 ∠ CAB=∠ ACD= ∠ BAE,故②正確 .由 ∠ CAB=∠ BAE,AO=AO,∠ AOC=∠ AOE可得△ AOC≌ △ AOE,從而 AE=AC, 又 AC=BC,∴ AE=BC,又 AE∥ CB,所以四邊形 ACBE是平行四邊形 ,又 AC=BC,∴ 四邊形 ACBE是菱 形 ,故①正確 .由 AO∥ CD,可得 ? =? =? =? ,∴ ? =? =? ,故③錯誤 .設(shè) S△ AFO=S,由 ? =? , 可得 S△ CFO=2S,再根據(jù)△ AFO∽ △ CFD可得 S△ DFC=4S,所以 S△ COD=6S,S△ COA=3S=S△ AOE,所以 S四邊形 AFOE= 4S,所以 S四邊形 AFOE∶ S△ COD=4S∶ 6S=2∶ 3,④正確 . AFFCDCEOEC12AFBE13AFFC12思路分析 可先證明四邊形 ACBE是平行四邊形 ,再證明 AC=BC,即可證明四邊形 ACBE是菱 形 ,可知①正確 。根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等邊對等角、平行線的性質(zhì)定理及等量代換去分析 ② 。利用相似三角形的性質(zhì)去分析③和④ . 精彩點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定定理 ,菱形的判定定理 ,垂直平分線性質(zhì)定理 , 相似三角形的判定和性質(zhì)定理 . 4.(2022廣州 ,16,4分 )如圖 ,平面直角坐標系中 O是原點 ,?OABC的頂點 A,C的坐標分別是 (8,0), (3,4),點 D,E把線段 OB三等分 ,延長 CD,CE分別交 OA,AB于點 F,G,連接 FG,則下列結(jié)論 : ① F是 OA的中點 。②△ OFD與△ BEG相似 。③四邊形 DEGF的面積是 ? 。④ OD=? .其中正確 的結(jié)論是 .(填寫所有正確結(jié)論的序號 ) ? 203453答案 ①③ 解析 作 AN⊥ OB,分別交 FG、 OB于點 Q、 N,作 BM⊥ x軸 ,交 x軸于點 M,在 ?OABC中 ,∵ A(8,0), C(3,4),∴ B(11,4),∴ OB=? , ∵ 點 D、 E把線段 OB三等分 , ∴ ? =? , ∵ CB∥ OF,∴ △ ODF∽ △ BDC, ∴ ? =? =? ,∴ OF=? BC=? OA, ∴ F是 OA的中點 ,故①正確 。 137ODBD1212 1212∵ C(3,4),∴ OC=5≠ OA, ∴ ?OABC不是菱形 ,∴∠ DOF≠ ∠ COD=∠ EBG, ∵ F(4,0),C(3,4),∴ CF=? OC, ∴∠ CFO∠ COF, ∴∠ DFO≠ ∠ EBG, ∵∠ ODF=∠ COD+∠ OCD, ∴∠ ODF≠ ∠ COD=∠ EBG,故△ OFD與△ BEG不相似 ,故②錯誤 。 由①得 ,點 F是 OA的中點 ,同理可得點 G是 AB的中點 , ∴ FG是△ OAB的中位線 , ∴ FG∥ OB,NQ=AQ,FG=? OB, ∵ 點 D,E是線段 OB的三等分點 ,∴ DE=? OB, ∵ S△ OAB=? OBAN=? OABM=? 84=16, ∴ OBAN=32, ∵ DE∥ FG,∴ 四邊形 DEGF是梯形 , 1712 1312 12 12∴ S四邊形 DEGF=? =? OBNQ=? OB? AN=? ,故③正確 。 ∵ OD=? OB=? ,∴ ④錯誤 . 綜上 ,①③正確 . ()2DE FG NQ??5125122031313735.(2022深圳 ,16,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ABC=90176。,AB=3,BC=4,Rt△ MPN中 ,∠ MPN=90176。,點 P 在 AC上 ,PM交 AB于點 E,PN交 BC于點 F,當 PE=2PF時 ,AP= . ? 答案 3 解析 如圖 ,作 PQ⊥ AB于點 Q,PR⊥ BC于點 R. ? 由等量代換 ,易得 ∠ QPE=∠ RPF, ∴ △ QPE∽ △ RPF, ∵ PE=2PF, ∴ PQ=2PR=2BQ. 在 Rt△ ABC中 ,AB=3,BC=4,∴ AC=5. 易證△ AQP∽ △ ABC, ∴ AQ∶ QP∶ AP=AB∶ BC∶ AC=3∶ 4∶ 5, 記 PQ=4x,則 AQ=3x,PR=BQ=2x, ∴ ? =? =? =? . ∴ AP=? AC=3. APAQAB35 xx35356.(2022廣東 ,14,4分 )若兩個相似三角形的周長比為 2∶ 3,則它們的面積之比是 . 答案 4∶ 9 解析 相似三角形面積的比等于相似比的平方 ,相似三角形周長的比等于相似比 ,所以面積的 比為 4∶ 9. 7.(2022梅州 ,12,3分 )已知 :△ ABC中 ,點 E是 AB邊的中點 ,點 F在 AC邊上 ,若以 A,E,F為頂點的三角 形與△ ABC相似 ,則需要增加的一個條件是 .(寫出一個即可 ) 答案 F是 AC的中點 (或 EF∥ BC或 ∠ AEF=∠ B或 ∠ AEF=∠ C或 ∠ AFE=∠ B或 ∠ AFE=∠ C) 解析 答案不唯一 ,根據(jù)三角形相似的判定方法相應添加條件即可 . 8.(2022廣東 ,25,9分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,O為原點 ,四邊形 ABCO是矩形 ,點 A、 C的坐標 分別是 A(0,2)和 C(2? ,0),點 D是對角線 AC上一動點 (不與 A、 C重合 ),連接 BD,作 DE⊥ DB,交 x 軸于點 E,以線段 DE、 DB為鄰邊作矩形 BDEF. (1)填空 :點 B的坐標為 。 (2)是否存在這樣的點 D,使得△ DEC是等腰三角形 ?若存在 ,請求出 AD的長度 。若不存在 ,請說明 理由 。 (3)①求證 :? =? 。 ②設(shè) AD=x,矩形 BDEF的面積為 y,求 y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式 (可利用①的結(jié)論 ),并求出 y的最小值 . ? 333解析 (1)(2? ,2). (2)存在 .AD=2或 AD=2? . ∵ AO=2,CO=2? ,∴∠ OCA=30176。,AC=4. ①當點 E在線段 OC上 ,如題圖 (1),DE=EC時 , 則 ∠ EDC=30176。,∴∠ BDC=60176。. 又 ∵∠ OCA=30176。,∴∠ DCB=60176。, ∴ △ BDC是等邊三角形 , ∴ DC=BC=2,∴ AD=2. ②當點 E在 OC的延長線上 ,如題圖 (2),DC=CE時 ,則 ∠ CDE=15176。, ∴∠ CDB=105176。,∴∠ ADB=75176。. 又 ∵∠ DAB=30176。,∴∠ ABD=75176。,∴ AD=AB=2? . (3)①證明 :過點 D作 MN⊥ OC,分別交 AB,OC于點 M,N, 3333? ∵∠ BDE=90176。,∴∠ MDB+∠ NDE=90176。, ∵∠ NDE+∠ DEN=90176。,∴∠ MDB=∠ DEN, ∵∠ DMB=∠ DNE=90176。, ∴ △ END∽ △ DMB, ∴ ? =? =? =tan 30176。=? . ② ∵ AD=x,∴ DM=? ,AM=? ,∴ BM=2? ? , ∴ BD2=BM2+DM2=? +? =x26x+12, CN332x 2 x3 32 x2323 2 x???????22x??∴ y=DEDB=? DB2=? (x26x+12)=? (x3)2+? , ∵ 0x4,∴ 當 x=3時 ,y取最小值 ,y的最小值為 ? . 33 33 3333深度解析 此類題是廣東中考的常見壓軸題 :和動點相關(guān)的代數(shù)與幾何綜合題 .本題考查了相 似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的應用、勾股定理、二次函數(shù)的最值問題、存在性 問題等 .解析動態(tài)幾何問題中的存在性問題 ,主要方法是“以靜制動” ,即需要根據(jù)問題畫出相 應的圖形 ,此處多數(shù)會用到分類討論的數(shù)學思想 .只要把圖形畫出來 ,“動”的問題就成了 “靜”的問題 ,就達到了我們“以靜制動”的目的 . 9.(2022廣州 ,23,12分 )如圖 ,在平面直角坐標系 xOy中 ,直線 y=x+3與 x軸交于點 C,與直線 AD交于 點 A? ,點 D的坐標為 (0,1). (1)求直線 AD的解析式 。 (2)直線 AD與 x軸交于點 B,若點 E是直線 AD上一動點 (不與點 B重合 ),當△ BOD與△ BCE相似時 , 求點 E的坐標 . ? 45,33??????解析 (1)設(shè)直線 AD的解析式為 y=kx+b(k≠ 0), 把點 A? ,D(0,1)的坐標代入 y=kx+b, 得 ? 解得 ? ∴ 直線 AD的解析式為 y=? x+1. (2)∵ △ BOD與△ BCE相似 ,且△ BOD是直角三角形 , ∴ △ BCE也是直角三角形 . ∵ 在△ BCE中 ,∠ EBC為銳角 , ∴ △ BCE是直角三角形分兩種情況 :∠ BCE=90176。或 ∠ BEC=90176。. ①如圖 1,過點 C作 CE⊥ x軸交直線 BD于點 E,此時△ BOD∽ △ BCE,∠ BOD=∠ BCE=90176。. ? 45,33??????,1.kbb? ???????1 ,21,kb? ?????12圖 1 將 y=0代入 y=x+3得 x+3=0,∴ x=3,∴ C(3,0). 將 x=3代入 y=? x+1,得 y=? 3+1=? ,∴ E? . ②如圖 2,過點 C作 CE⊥ BD于點 E,過點 E作 EH⊥ x軸于 H, ? 圖 2 此時△ BOD∽ △ BEC,∠ BOD=∠ BEC=90176。, 把 y=0代入 y=? x+1得 ? x+1=0,∴ x=2, ∴ B(2,0),OB=2.∵ D(0,1),∴ OD=1. ∵∠ EBC+∠ BEH=∠ BEH+∠ HEC=90176。, 12 12 5253,2??????1212∴∠ EBC=∠ HEC,即 ∠ DBO=∠ HEC, ∴ tan∠ DBO=tan∠ HEC, ∵ tan∠ DBO=? ,tan∠ HEC=? ,∴ ? =? , ∵ 點 E在直線 y=? x+1上 , ∴ 設(shè) E? ,則點 H(x,0), ∵ 點 C(3,0),∴ CH=3