【正文】 第一章：Singnals and System（信號(hào)與系統(tǒng)）1－1：continuoustime and discretetime signals（連續(xù)時(shí)間與離散時(shí)間信號(hào)）信號(hào)：信息的載體。在信號(hào)與系統(tǒng)分析中，信號(hào)的表達(dá)式為函數(shù)（functions）P3:Signals are represented mathematically as functions of one or more independent variables（獨(dú)立自變量）。例如：關(guān)于某導(dǎo)線電流強(qiáng)度對(duì)應(yīng)不同時(shí)間的函數(shù)I(t)；等比數(shù)列的某一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)其序號(hào)的函數(shù)a[n]=b^n。自變量的定義域?yàn)檫B續(xù)的時(shí)間段（有限或無限）的信號(hào)（函數(shù)）稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)自變量的定義域?yàn)殚g斷的時(shí)間點(diǎn)（一般地，歸一為整數(shù)點(diǎn)…－1，0，1，2…）的信號(hào)稱為離散時(shí)間信號(hào)x[n]，又叫序列（sequences）。兩者有相似處，離散時(shí)間函數(shù)（又稱為離散時(shí)間序列）可以看作連續(xù)時(shí)間函數(shù)對(duì)整數(shù)點(diǎn)時(shí)間進(jìn)行抽樣得到，但兩者計(jì)算上有很大區(qū)別。信號(hào)（函數(shù)）對(duì)應(yīng)某一自變量值的信號(hào)函數(shù)值大小稱為信號(hào)的幅度（phenomenon）。例如x(t)=2t，在t=3時(shí)x(t)=x(3)=6就是此刻的幅度。Signal energy and power（信號(hào)的能量與功率）把信號(hào)看作電流，該電流在某一段時(shí)間內(nèi)流過1歐姆的電阻產(chǎn)生的能量和平均功率(average power)便是信號(hào)在該段時(shí)間的能量與功率。因此可得在t1~~t2內(nèi)信號(hào)x(t)的能量為：E=∫(t1~t2)(|x(t)|^2)dt，而相應(yīng)這段時(shí)間的功率則為P=E/(t2t1)信號(hào)在整個(gè)定義域的能量E∞=（limT→∞）∫(－T～T)(|x(t)|^2)dt信號(hào)在整個(gè)定義域的平均功率P∞=(limT→∞)(1/2T)∫(－T～T)(|x(t)|^2)dt 相應(yīng)的，對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)則有P67(1,7)(1,9)(這個(gè)東西要輸入太困難了，呵呵)顯然，對(duì)于一個(gè)信號(hào)在無窮區(qū)間的能量與平均功率有三種可能：（1） 平均功率無窮大，總能量無窮大（2）平均功率有限，總能量無窮大（3）總能量有限，平均功率無窮小（也是有限）12:Transformations of the independent variable（自變量的變換）自變量的變換就是對(duì)信號(hào)x(t)或x[n]的自變量t或n進(jìn)行相應(yīng)變換，由此會(huì)影響信號(hào)。（1） time shift（時(shí)移），將x(t)/x[n]變成x(tt0)/x[nn0]。結(jié)果是使信號(hào)形狀不變，但在位置上相對(duì)原來的信號(hào)有移位。注意：當(dāng)t/n00時(shí)，信號(hào)向右移動(dòng)，反之則向左。（2） time reversal（時(shí)間反轉(zhuǎn)）將x(t)/x[n]變成x(t)/x[n]。新信號(hào)等于把原來信號(hào)以t=0/n=0為軸反轉(zhuǎn)得到。（3） time scaling（尺度變換）將x(t)變成x(at)，a0，則新信號(hào)等于把原信號(hào)在橫坐標(biāo)上壓縮或拉伸為原先的1/a。例如x(2t)信號(hào)等于橫向壓縮為原先1/2。離散信號(hào)的時(shí)間尺度變換很復(fù)雜，因?yàn)樗荒茉谡c(diǎn)取值。Periodic signals（周期信號(hào)）這是非常重要的一類信號(hào)。連續(xù)周期信號(hào)定義：若某一連續(xù)信號(hào)選x（t）對(duì)任意t有 x(t)=x(t+T)則x(t)稱為周期信號(hào)，T(不為0)稱為周期（period）一個(gè)周期信號(hào)有無窮多個(gè)周期，其中最小的T0稱為基波周期或基本周期（fundamental period）。其余周期T都是T0的整倍數(shù)對(duì)于常數(shù)信號(hào)x(t)=C，不存在基波周期的概念，這是一類特殊的周期信號(hào)。不具有周期性質(zhì)的信號(hào)叫非周期信號(hào)（aperiodic signal）類似的，離散信號(hào)中滿足x[n]=x[n+N]的叫做周期信號(hào)，N為周期。最小的N0為基波周期。但常數(shù)信號(hào)有基波周期為1！Even and odd signals（偶信號(hào)與奇信號(hào)）從t=0軸反轉(zhuǎn)后與原信號(hào)重合的信號(hào)稱為偶信號(hào),即滿足x(t)=x(t)從t=0軸反轉(zhuǎn)后與原信號(hào)相反的信號(hào)稱為奇信號(hào)，即滿足x(t)=x(t)任何一個(gè)信號(hào)x(t)都可以分解為一個(gè)偶信號(hào)和一個(gè)奇信號(hào)的和，分別叫做這個(gè)信號(hào)x(t)的偶部（even part）和奇部（odd part）Ev{x(t)}=(1/2)[x(t)+x(t)]。 Od{x(t)}=(1/2)[x(t)x(t)]，離散也完全一樣。1－3 Exponential and Sinusoidal Signals（指數(shù)信號(hào)與正弦信號(hào)）tinuoustime plex Exponential and Sinusoidal Signals(連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)與正弦信號(hào))x(t)=Ce^(at)。一般而言C與a都是復(fù)數(shù)。實(shí)指數(shù)信號(hào)(real Exponential signal)：C和a都是實(shí)數(shù)(real)。X(0)=C,a0，信號(hào)隨時(shí)間增長；a0，信號(hào)隨時(shí)間衰減周期復(fù)指數(shù)和正弦信號(hào)（periodic plex Exponential and Sinusoidal Signals）周期復(fù)指數(shù)信號(hào)：a為純虛數(shù)（imaginary），則x(t)=e^(jw0t)由于e^ja=e^j(a+2π),或e^（j2π）＝1，因此x(t)=x(t+(2π/w0))T0=2π/|w0|為基波周期。X(t)=Acos(ωt+φ)或x(t)=Asin(ωt+φ)稱為正弦信號(hào)，也是基波周期為T0=2π/|ω|的周期函數(shù)。由歐拉公式（Euler’s relation）:e^(j(ωt+φ))= cos(ωt+φ)+jsin(ωt+φ)可以完成指數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)的相互表達(dá)和轉(zhuǎn)換cos(ωt+φ)＝（1/2）（e^(j(ωt+φ))＋e^(－j(ωt+φ))）sin(ωt+φ)＝(1/2j) （e^(j(ωt+φ))－e^(－j(ωt+φ))）對(duì)于周期復(fù)指數(shù)信號(hào)和正弦信號(hào)，基波周期為2π/ω, |ω|稱為基波角頻率（fundamental frequency）對(duì)于周期復(fù)指數(shù)信號(hào)和正弦信號(hào)而言，很明顯其能量與功率的關(guān)系是在無窮區(qū)間的有限平均功率和無窮總能量。A set of harmonically related plex exponentials （一組成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)）一個(gè)重要的概念。指的是這樣一組復(fù)指數(shù)信號(hào)φk(t)=exp(jkω0t),k=0,1,1,2,2……顯然這些信號(hào)都是周期信號(hào)，具有共同周期2π/ω0。這樣一組復(fù)指數(shù)周期信號(hào)就稱為一組諧波。一般復(fù)指數(shù)信號(hào)：x(t)=Cexp(at)，其中C=|C|exp(jθ),a=r+jω0則x(t)=Cexp(at)=|C|exp(rt)exp(j(ω0t+θ))通過包絡(luò)分析，可以看出信號(hào)包絡(luò)|C|exp(rt)的走向（21頁）Discretetime plex Exponential and Sinusoidal Signals(離散時(shí)間復(fù)指數(shù)和正弦信號(hào))指數(shù)信號(hào)、正弦信號(hào)、歐拉公式等都與連續(xù)類似。不過更方便在于可以令x[n]=Cexp(βn),當(dāng)a=expβ,則x[n]＝C（a^n）離散指數(shù)周期信號(hào)：x[n]=exp(jωn)的周期分析：與連續(xù)信號(hào)x(t)=exp(jωt)周期為2π/ω不同，由于n只能取整數(shù)值，因此周期（如果有周期的話）必須是整數(shù)。當(dāng)2π/ω為有理，則周期基波T0＝(2π/ω)k，k是使T0為正整數(shù)的整數(shù)。例如：ω＝π/4，則T0=8(k=1)。 ω＝3π,則T0=2(k=3)當(dāng)2π/ω為無理數(shù)，則x[n]=exp(jωn)不是周期信號(hào)。因?yàn)闊o論什么N都不能使ωN=2kπ，也就是不能使得exp(jωN)=1，也就是不能使得exp(jωn)＝ exp(jω(n+N))離散指數(shù)周期信號(hào)的另一特性：exp(jωt)= exp(j(ω+2π)t)也就是說，離散指數(shù)信號(hào)的一組基波頻率為2π/N0的諧波只有N0個(gè)不同的指數(shù)信號(hào)（而在連續(xù)指數(shù)周期信號(hào)中一組有無數(shù)多個(gè)）1. 4：The unit impulse and unit step functions（單位沖激與單位階躍函數(shù)）離散時(shí)間單位沖激和單位階躍單位沖激/單位脈沖/單位樣本（unit sample）δ[n]：n=0時(shí)，δ[n]=1，其他時(shí)候δ[n]=0單位階躍u[n]：n0時(shí)，u[n]=0。n0時(shí)，u[n]=1δ[n]是u[n]的一次差分（first difference相當(dāng)于連續(xù)中的微分）：δ[n]＝u[n]u[n1]u[n]是δ[n]的動(dòng)求和（running sum，相當(dāng)于連續(xù)中的不定積分）：δ[n]具有采樣性：x[n] .δ[nn0]=x[n0].δ[nn0]連續(xù)時(shí)間單位階躍和單位沖激函數(shù)連續(xù)時(shí)間中的單位階躍和單位沖激都是理想化的奇異函數(shù)。單位階躍函數(shù)u(t)：t0,u(t)=1。t0,u(t)=0單位沖激函數(shù)δ（t）：一個(gè)特殊函數(shù)。僅在t=0時(shí)有非零函數(shù)值。函數(shù)值為無窮大。換言之，這個(gè)函數(shù)寬度為0，高度為無窮大，而積分面積為1δ（t）為u(t)的微分；u(t)為δ（t）的積分。δ（t）的采樣性：x(t).δ（tt0）=x(t0).δ（tt0） Continuoustime and Discretetime System（連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間系統(tǒng)）在信號(hào)與系統(tǒng)中，系統(tǒng)是指這樣一些元件的互聯(lián)，通過它，當(dāng)輸入一個(gè)信號(hào)（input），能夠得到一個(gè)輸出信號(hào)(output)。信號(hào)與系統(tǒng)根本上就是研究輸入、輸出與系統(tǒng)三者的關(guān)系。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)即輸入和輸出都是連續(xù)時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)；離散時(shí)間系統(tǒng)即輸入和輸出都是離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)。系統(tǒng)的互聯(lián)(interconnections of systems)包括三種簡單連接：串聯(lián)（series）或級(jí)聯(lián)（cascade interconnection）并聯(lián)（parallel interconnection）反饋聯(lián)結(jié)(feedback interconnection)以及各種簡單連接組合而成的混聯(lián)系統(tǒng)聯(lián)結(jié)往往采用方框圖（block diagrams） Basic system properties(基本系統(tǒng)性質(zhì))記憶系統(tǒng)與無記憶系統(tǒng)（systems with and without memory）如果某系統(tǒng)的輸出信號(hào)的每個(gè)時(shí)刻的值僅僅取決于輸入信號(hào)在該時(shí)刻的值而與輸入信號(hào)在之前或之后時(shí)刻的值無關(guān)，則稱為無記憶系統(tǒng)。反之如果在某一時(shí)刻的輸出值還與其他時(shí)刻的輸入值有關(guān)則稱為記憶系統(tǒng)。 可逆性與可逆系統(tǒng)（invertibility and inverse system）可逆系統(tǒng)的條件：不同輸入必然導(dǎo)致不同輸出，則稱該系統(tǒng)為可逆（invertible）的。對(duì)可逆系統(tǒng)存在一個(gè)逆系統(tǒng)（inverse system）使得把原系統(tǒng)的輸出信號(hào)輸入到逆系統(tǒng)中，則最終的輸出信號(hào)便是最初的輸入信號(hào)。因果性（causality）一個(gè)系統(tǒng)任何時(shí)刻的輸出只決定于該時(shí)刻以及該時(shí)刻以前的輸入，而與該時(shí)刻以后的輸入無關(guān)，則稱為因果系統(tǒng)（causal），或稱為不可預(yù)測系統(tǒng)(nonanticipative)所有的無記憶系統(tǒng)都是因果的。穩(wěn)定性（stability）如果對(duì)于任何一個(gè)有界的輸入，該系統(tǒng)的輸出都是有界的則稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。時(shí)不變性（time invariance）概念：如果系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間改變，則系統(tǒng)是時(shí)不變(time invariant)的。如：y(t)=x(t)+x(t3)反之則系統(tǒng)是時(shí)變（time variant）的：如y(t)=(t)對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，輸入信號(hào)發(fā)生時(shí)移則輸出信號(hào)發(fā)生相同的時(shí)移：x(t)→y(t),則x(tt0)→y(tt0)線性(linearity)線性系統(tǒng)(linear system)具有的重要特性是疊加性質(zhì)（superposition property）ax1(t)+bx2(t)→ay1(t)+by2(t)該系統(tǒng)也可等效為兩個(gè)系統(tǒng)：可加性（additivity）：x1+x2→y1+y2比例性（scaling）或齊次性(homogeneity)：ax1→ay1（a為任意復(fù)數(shù)）增量線形疊加（incrementally linear systems）任意輸入信號(hào)的輸出y(t)=yh(t)+yp(t)，其中yp(t)是一個(gè)線形輸出。換言之，對(duì)任意兩個(gè)輸出的差y1y2=y1py2p是一個(gè)線形的表達(dá)式。 Timeinvariant System（線性時(shí)不變系統(tǒng)）21:DiscreteTime LTI System:The Convolution Sum（離散LTI系統(tǒng)：卷和）本節(jié)的關(guān)鍵在于：把任意離散信號(hào)x[n]表示為若干個(gè)脈沖信號(hào)的疊加。這樣，信號(hào)x[n]輸入某一個(gè)系統(tǒng)的輸出y[n]，便可以等效為把這些脈沖信號(hào)分別輸入這個(gè)系統(tǒng)之后，再把它們的輸出結(jié)果疊加。當(dāng)系統(tǒng)是LTI系統(tǒng)時(shí)，對(duì)應(yīng)每個(gè)脈沖信號(hào)輸入的輸出函數(shù)都可以由對(duì)應(yīng)單位沖激函數(shù)的響應(yīng)δ[n]的輸出h[n]進(jìn)行時(shí)移和乘以系數(shù)得到。把每個(gè)脈沖輸入的輸出疊加便得到了輸入信號(hào)x[n]的輸出y[n]。用脈沖信號(hào)表示任意信號(hào)：可以把x[n]看作x[0].δ[n]+ δ[n1].x[1]+ δ[n2].x[2]……即P75 2－2式對(duì)一個(gè)系統(tǒng)LTI，當(dāng)輸入信號(hào)為δ[n]時(shí)的輸出信號(hào)h[n]稱為單位沖激響應(yīng)（unit impulse response）卷和而對(duì)于每個(gè)x[k].δ[nk]，輸入系統(tǒng)后的輸出為hk[n]=x[k].h[nk],因此，x[n]輸入后的輸出y[n]便應(yīng)當(dāng)是全部hk[n]（k從負(fù)無窮取到正無窮）的累加。換言之得到了P78 26式（公式請(qǐng)自己看啦，輸入太麻煩了，呵呵呵呵）該公式稱作x[n]和h[n]的卷和或卷積和（Convolution