【正文】 Sum）。寫作x[n]*h[n]。是一種基本的運算方式，由兩個函數(shù)卷和得到一個新函數(shù)。對LTI系統(tǒng)而言，就是輸入x[n]與單位沖激響應(yīng)卷和，得到輸出信號y[n]。x[n]*h[n]=y[n]對于有限長序列卷和的運算：豎式法比較簡單。2－2：continuoustime LTI systems:the convolution integral（連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：卷積）與離散系統(tǒng)類似，本節(jié)的核心也是把輸入的一個連續(xù)時間信號從時間上拆分成無數(shù)個沖激信號的疊加，然后對于每個沖激信號去求它輸入這個系統(tǒng)得到的輸出，再把所有的這些輸出疊加起來，從而得到原信號輸入系統(tǒng)的輸出。用沖激信號表示連續(xù)時間信號：對于任一個連續(xù)信號x(t)，可以從時間上把它拆成無數(shù)個小的“矩形”。每個矩形寬度為△，高度為x(k△)（k是該矩形的序號，原點處為0）這樣信號x(t)可以看成這無數(shù)個矩形信號的疊加。而當(dāng)△趨向無窮小，疊加求和趨向于積分。卷積由于對輸入δ(t)，系統(tǒng)的輸出為h(t)（單位沖激響應(yīng)），因此對于每一個沖激信號x(τ).δ(tτ)，輸入系統(tǒng)后得到的響應(yīng)為x(τ).h(tτ),因此對于LTI系統(tǒng)而言，整個的輸出y(t)就等于對應(yīng)的積分公式P97 公式2－33。該運算稱為x(t)與h(t)的卷積（convolution integral），寫作x(t)*h(t)簡言之，對于LTI系統(tǒng)，其輸出信號y(t)可由輸入信號x(t)與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)卷積得到。2－3Properties of LTI system（線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)）首先是卷積的運算法則：（LTI系統(tǒng)的性質(zhì)）交換律（mutative）：x(t)*h(t)=h(t)*x(t)分配率（distributive）:x(t)*(h1(t)+h2(t))=x(t)*h1(t)+x(t)*x2(t) (x1(t)+x2(t))*h(t)=x1(t)*h(t)+x2(t)*h(t)結(jié)合律（associative）：x1*h1*h2=x1*(h1*h2)接下來是LTI系統(tǒng)的一些性質(zhì)分析判斷記憶系統(tǒng)與無記憶LTI系統(tǒng)（LTI systems with and without memory）對一個無記憶的LTI系統(tǒng)而言，其單位沖激響應(yīng)必然是h(t)=Kδ(t),h[n]=Kδ[n]，因此其輸出必然有y(t)＝kx(t)LTI系統(tǒng)的可逆性（invertiblity of LTI systems）對一個可逆LTI系統(tǒng)系統(tǒng)而言，如果它的單位沖激響應(yīng)為h1(t)，則它的可逆系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h2(t)，且滿足h1(t)*h2(t)＝1LTI系統(tǒng)的因果性（Causality for LTI system）因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)顯然有t0時h(t)=0對于一個系統(tǒng)而言，這種情形被稱為初使松弛（initial rest），也就是直到從某一時刻系統(tǒng)得到一個非0的輸入以前，系統(tǒng)的輸出一直為0。對于當(dāng)t0時候x(t)=0的信號又稱為因果信號（causal signal）。因果系統(tǒng)的充要條件是，它的單位沖激響應(yīng)是一個因果信號。LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性（stability for LTI system）對于LTI系統(tǒng)判斷穩(wěn)定性：離散時間系統(tǒng)：絕對可和（absolutely summable），公式2－86連續(xù)時間系統(tǒng)：絕對可積(absolutely integrable)，公式2－87LTI系統(tǒng)的單位階躍相應(yīng)（tne Unit Step Response of an LTI system）即對于LTI系統(tǒng)，當(dāng)輸入為u(t)或u[n]時的輸出，寫作s(t)或s[n]有： s(t)=u(t)*h(t)；s[n]=u[n]*h[n]h(t)為s(t)的導(dǎo)數(shù)，s(t)為h(t)的積分。2－4Causal LTI system described by differential and difference equations（微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)）本節(jié)更多屬于高數(shù)內(nèi)容，對于微分（連續(xù)時間）和差分（離散時間）方程的解法。值得說明的是任何一個微分或者差分方程實際上是對某一個連續(xù)或者離散系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系的一個表達。往往還需要給出初時條件才能得出輸出的表達式。具體的方法請自己看書掌握。2－5singularity functions（奇異函數(shù)）奇異函數(shù)是一種理想化的函數(shù)，以連續(xù)時間的單位沖激信號δ(t)為基本，對其進行微分和積分運算得到的一族信號都稱為奇異函數(shù)。δ(t)又寫作u0(t)，它的一次微分為u1(t),二次微分為u2(t)……δ(t)的一次積分即單位階躍信號u(t)又寫作u1(t)，二次積分tu(t)為u2(t)……奇異函數(shù)uk(t)的主要特性是：x(t)*uk(t)的結(jié)果是x(t)的k次微分（k為負數(shù)則是積分）例如，x(t)*u2(t)結(jié)果為x(t)的二次微分。x(t)*u3(t)的結(jié)果為x(t)的三次積分。第三章Fourier series representation of periodic signals(周期信號的傅立葉級數(shù)表示)3－2 the response of LTI system to plex exponentials（LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)）我們很容易發(fā)現(xiàn)，復(fù)數(shù)指數(shù)信號輸入LTI系統(tǒng)可以得到對其增加系數(shù)的響應(yīng)，即：對連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：exp(st)→H(s).exp(st)對離散時間LTI系統(tǒng)：z^n→H(z).z^n其中，H(s)和H(z)地表達式在P183 式36,310，都是與t和n無關(guān)而只與s和z有關(guān)的表達式。也就是說，對指數(shù)信號輸入得到的輸出，僅僅等于原信號乘以一個與自變量無關(guān)而與頻率有關(guān)的式子。這使得我們可以非常方便的對它進行處理。如果一個輸入信號能表達為若干個指數(shù)信號的疊加，那么對它的輸出的表達也會非常方便。例如：(s1t)+(s2t)→(s1).exp (s1t)+(s2).exp(s2t)本章研究的，就是多大范圍的信號可以表達為類似P184,313和315的表達方式，分解為指數(shù)信號的線形疊加？如果進行分解？3－3：Fourier series representation of continuoustime periodic signals（連續(xù)時間周期信號的傅立葉級數(shù)表達）本節(jié)研究把連續(xù)時間周期信號分解為若干個周期信號的疊加的傅立葉級數(shù)。成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號的線性組合（Linear binations of harmonically related plex exponential）如前，成諧波關(guān)系的一組復(fù)指數(shù)信號指的是形如Φk(t)=exp(jkω0t)的一組指數(shù)信號，其中k=0,1,1,2,2……顯然這樣一組信號具有公共的周期為T0=2π/ω0，因此這樣一組信號的線性組合必然有周期為T0。(t)=(jkω0t)進行線性組合如186頁3－25公式的形式，形成的周期信號x(t)，(t)=(jkω0t)稱為諧波分量。K=0時的a0稱為直流分量；k=正負1時稱為一次諧波分量（first harmonic ponents）或基波分量(fundamental ponents)，k=2時稱為二次諧波分量（second harmonic ponents），以此類推。傅立葉級數(shù)，研究的便是如何把一個周期為T0的周期信號分解為若干個具有公共周期為T0的信號Φk(t)=exp(jkω0t)的的線形組合。連續(xù)時間周期信號傅立葉級數(shù)表示式的確定（Determinbation of the Fourier series representataion of a continuoustime periodic signal）假設(shè)一個給定的周期為T0的周期信號x(t)可以表達為上面所說的指數(shù)信號的線性組合，則可以推導(dǎo)出其系數(shù)對應(yīng)每一個諧波分量Φk(t)=(jkω0t)的系數(shù)ak的表達式。這就是P191的公式3－38和3－393－38是把具有基波周期T0=2π/ω0的周期信號x(t)分解為指數(shù)信號的疊加的公式，稱為綜合公式（synthesis equation）；3－39是對應(yīng)具體k值的每一個諧波系數(shù)ak的計算公式，稱為分析公式（analysis equation）。系數(shù){ak}的這一組合稱為x(t)的傅立葉級數(shù)系數(shù)（Fourier series coefficients）或者頻譜系數(shù)（spectral coefficients）。每一個ak表示對應(yīng)的k倍頻率的指數(shù)信號分量在總信號中所占地比例度量。3－4：Convergence of the Fourier series（傅立葉級數(shù)的收斂）表達式338并不是對所有的周期信號x(t)都成立。因為根據(jù)分析公式3－39推導(dǎo)，在有些情況下會得出無窮大的系數(shù)ak（即傅立葉級數(shù)系數(shù)不收斂）。本節(jié)判斷在何種情況下傅立葉級數(shù)是收斂的。收斂條件的判斷A：在一個周期內(nèi)平方可積（P197，3－51式）即可判斷該周期信號x(t)的傅立葉級數(shù)收斂。另外一組條件判斷：狄里赫里（Dirichlet）條件。當(dāng)同時滿足下列三個條件，則可判斷該周期信號x(t)的傅立葉級數(shù)收斂。（1） 在一個周期內(nèi)絕對可積（absolutely integrable）P197，3－56（2） 在任意有限區(qū)間內(nèi)只有有限個起伏變化（3） 在任意有限區(qū)間內(nèi)只有有限個不連續(xù)點，且這些不連續(xù)點上函數(shù)值是有限值。 3－6：Fourier series representation of discretetime periodic signals(離散時間周期信號的傅立葉級數(shù))對離散信號而言，也存在類似的分析。對于一個周期N，構(gòu)建以下的一組指數(shù)信號：Φk[n]=exp(jkω0n)。其中ω0＝2π/N，k=整數(shù)。這樣的一組信號稱為成諧波關(guān)系的指數(shù)信號。顯然這樣一組信號具有公共周期為N，它們的線性組合得到的信號也具有周期為N。又由于對離散信號，有Φk[n]=exp(jkω0n)＝exp(jkω0n＋j2πn)= exp(jkω0n＋jω0Nn)=Φ(k+N)[n]因此在一組基波頻率為ω0＝2π/N的離散信號的諧波，總共只具有N個獨立的諧波分量。周期信號傅立葉級數(shù)表示的確定（Determination of the Fourier series representation of a periodic signal）如上，由于離散信號的諧波只具有N個獨立分量，因此離散信號的傅立葉級數(shù)，只有N個連續(xù)的Φk[n]線性組合。K可以任意取N個連續(xù)整數(shù)值，效果是一樣的。同樣由P213的綜合公式3－94和分析公式3－95確定。3－8：Fourier series and LTI systems（傅立葉級數(shù)與LTI系統(tǒng)）由前面所說，對于LTI連續(xù)與離散系統(tǒng)，當(dāng)輸入為x(t)=exp(st)或x[n]=z^n時，輸出分別為：exp(st)→H(s).exp(st)z^n→H(z).z^nH(s)與H(z)的計算式為P226 3－119和3－120H(s)與H(z)分別稱為連續(xù)LTI系統(tǒng)與離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)(system functions)對于連續(xù)系統(tǒng)而言，本章主要分析的是s=jω的特殊形式，此時的系統(tǒng)函數(shù)H(jω)即P227 3－121式稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（frequency response）。因為一個系統(tǒng)的H(jω)其實表示的是該系統(tǒng)對不同頻率ω的指數(shù)信號的放大倍數(shù)的函數(shù)。（例如，H(jω)當(dāng)ω＝100時值為2，ω＝1000時值為3，含意就是該系統(tǒng)對角頻率100的指數(shù)信號放大2倍，對角頻率1000的指數(shù)信號放大為3倍。而傅立葉級數(shù)的意義在于把一個周期信號x(t)分解為不同頻率的指數(shù)信號的和，(jω0kt)輸入LTI系統(tǒng)，得到響應(yīng)為H(jkω0)(jω0kt),然后再累加起來。公式為P228 3124根據(jù)不同的頻率ω對應(yīng)的頻率響應(yīng)H(jω)不同，系統(tǒng)對各指數(shù)信號分量的改變不同。這構(gòu)成了我們系統(tǒng)濾波的原理。39 Filtering （濾波）濾波器即是一種LTI系統(tǒng)，根據(jù)前面說的LTI 系統(tǒng)對于不同頻率ω的信號具有不同的H(jω)倍數(shù)改變的原理，可以對信號中具有某些頻率的分量進行放大和保持而對另一些頻率分量進行抑止或消除。主要目的為改變信號頻譜形狀的濾波器稱為頻率成形濾波器（Frequencyshaping filters）。例如，H(jω)= jω的系統(tǒng)，對于較大的ω有較大的放大倍數(shù)主要目的為無失真地通過一些頻率而顯著地消除掉另一些頻率的稱為頻率選擇性濾波器（Frequencyselective Filters）有幾種基本類型的濾波器：低通濾波器（lowpass filter）：對|ω|ω0的頻率分量通過而對高頻分量過濾高通濾波器（highpass filter）：對|ω|ω0的頻率分量通過而對低頻分量過濾帶通濾波器（bandpass filter）：對|ω|在ω1和ω2之間的頻率分量通過而對高頻和低頻分量都過濾其中，邊界的頻率（即上面公式中的ω0. ω1, ω2稱為截止頻率（cutoff frequencies）。能通過的頻率帶稱為通帶（passband）。被過濾掉的（阻止）的頻率帶稱為阻帶（stopband）理想濾波器與現(xiàn)實濾波器的差別。第四章：The continuoustime Fourier Transform（連續(xù)時間傅立葉變換）上一章，我們研究了如何把周期信號分解為指數(shù)信號的線形疊加，這樣對于我們的信號處理是非常方便的。那么，能否對非周期信號進行類似的處理？本章便是研究由周期信號推導(dǎo)到非周期信號的擴展。41：Representation of aperiodic signals:the continuoustime Foueier transform(非周期信號的表