【正文】 7 表9－3尤其，對于微分，有dx(t)/dt←UL→sX(s)x(0),進一步，d^2 (x(t))/dt^2←UL→(s^2)X(s)sx(0)x’(0)依此類推。通過H(s)可以考察系統(tǒng)的一些性質(zhì)。例如，如果x1(t)=1x2(t)則顯然疊加后的收斂域為整個s平面。93：The inverse Laplace transform（拉普拉斯反變換）由x(t)的拉普拉斯變換X(s)和其收斂域求x(t)的運算稱為拉普拉斯反變換。極點是使得X(s)的分母為0的s值，當(dāng)然不能包含在收斂域內(nèi)。這個s的范圍稱為收斂域。從頻域上講，則解調(diào)相當(dāng)于把已經(jīng)減半后兩邊分開的信號圖形再次重復(fù)，減辦后分別向左右進行ωc的頻移。稱為幅度調(diào)制（amplitude modulation），簡稱AM。這就是采樣定理。換言之，若|H(jω)|在（1δ1）到（1＋δ）范圍內(nèi)，可以認(rèn)為此時為通帶。認(rèn)為有≮H(jω)≈φωα換言之，對于一個存在于頻率ω1前后的窄帶信號，可以近似認(rèn)為系統(tǒng)對于它有一個時延α。從時域進行解需要設(shè)未知系數(shù)等等……而從頻域解，直接對兩邊各次項進行傅立葉變換，則d(k)x(t)/dt^k(x(t)的k次微分)←→(jω)^(jω)d(k)y(t)/dt^k(y(t)的k次微分)←→(jω)^(jω)又，x(t)*h(t)=y(t)，則X(jω).H(jω)=Y(jω),即H(jω)=Y(jω)/X(jω)這樣，可以很方便地從頻域通過簡單的有理式乘除運算求到所求的信號，再通過傅立葉反變換可以求到時域表達式。 4－43表明了時域和頻域總能量的積分在數(shù)值上的關(guān)系。那么如何求它的傅立葉變換？教材上通過傅立葉反變換來求的。被過濾掉的（阻止）的頻率帶稱為阻帶（stopband）理想濾波器與現(xiàn)實濾波器的差別。這樣的一組信號稱為成諧波關(guān)系的指數(shù)信號。K=0時的a0稱為直流分量；k=正負(fù)1時稱為一次諧波分量（first harmonic ponents）或基波分量(fundamental ponents)，k=2時稱為二次諧波分量（second harmonic ponents），以此類推。因果系統(tǒng)的充要條件是，它的單位沖激響應(yīng)是一個因果信號。當(dāng)系統(tǒng)是LTI系統(tǒng)時，對應(yīng)每個脈沖信號輸入的輸出函數(shù)都可以由對應(yīng)單位沖激函數(shù)的響應(yīng)δ[n]的輸出h[n]進行時移和乘以系數(shù)得到。函數(shù)值為無窮大。X(0)=C,a0，信號隨時間增長；a0，信號隨時間衰減周期復(fù)指數(shù)和正弦信號（periodic plex Exponential and Sinusoidal Signals）周期復(fù)指數(shù)信號：a為純虛數(shù)（imaginary），則x(t)=e^(jw0t)由于e^ja=e^j(a+2π),或e^（j2π）＝1，因此x(t)=x(t+(2π/w0))T0=2π/|w0|為基波周期。注意：當(dāng)t/n00時，信號向右移動，反之則向左。兩者有相似處，離散時間函數(shù)（又稱為離散時間序列）可以看作連續(xù)時間函數(shù)對整數(shù)點時間進行抽樣得到，但兩者計算上有很大區(qū)別。不具有周期性質(zhì)的信號叫非周期信號（aperiodic signal）類似的，離散信號中滿足x[n]=x[n+N]的叫做周期信號，N為周期。例如：ω＝π/4，則T0=8(k=1)。因果性（causality）一個系統(tǒng)任何時刻的輸出只決定于該時刻以及該時刻以前的輸入，而與該時刻以后的輸入無關(guān)，則稱為因果系統(tǒng)（causal），或稱為不可預(yù)測系統(tǒng)(nonanticipative)所有的無記憶系統(tǒng)都是因果的。用沖激信號表示連續(xù)時間信號：對于任一個連續(xù)信號x(t)，可以從時間上把它拆成無數(shù)個小的“矩形”。第三章Fourier series representation of periodic signals(周期信號的傅立葉級數(shù)表示)3－2 the response of LTI system to plex exponentials（LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)）我們很容易發(fā)現(xiàn)，復(fù)數(shù)指數(shù)信號輸入LTI系統(tǒng)可以得到對其增加系數(shù)的響應(yīng)，即：對連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：exp(st)→H(s).exp(st)對離散時間LTI系統(tǒng)：z^n→H(z).z^n其中，H(s)和H(z)地表達式在P183 式36,310，都是與t和n無關(guān)而只與s和z有關(guān)的表達式。收斂條件的判斷A：在一個周期內(nèi)平方可積（P197，3－51式）即可判斷該周期信號x(t)的傅立葉級數(shù)收斂。而傅立葉級數(shù)的意義在于把一個周期信號x(t)分解為不同頻率的指數(shù)信號的和，(jω0kt)輸入LTI系統(tǒng)，得到響應(yīng)為H(jkω0)(jω0kt),然后再累加起來。這時公式P287 43中的exp(jkω0t)趨向exp(jωt)，ak趨向(1/T)X(jω)，求和趨向積分，由此得到非周期信號的傅立葉變換公式：P288 48,49其中綜合公式48是由一個連續(xù)信號的頻域表達式X(jω)求得其時域表達式x(t)的公式，稱為傅立葉反變換式（inverse Fourier transform）。特別，對于x(t)為實函數(shù)，由于x* (t)=x(t)，因此x* (jω)=x(jω)，稱為共軛對稱性。45：The multiplication property（相乘性質(zhì)）上一節(jié)證明了時域的卷積對應(yīng)頻域的相乘，據(jù)此以及對偶性質(zhì)，可以推知時域的相乘對應(yīng)頻域的卷積：r(t)=s(t)p(t)←→R(jω)=(1/2π).P(jω)*P(jω)一個信號去乘另外一個信號可以理解為用一個信號去調(diào)制（modulate）另一個信號的振幅(amolitude)，因此兩個信號相乘又稱幅度調(diào)制(amplitude modulation)，故相乘性質(zhì)又稱調(diào)制性質(zhì)(modulation property)具有可變中心頻率的頻率選擇性濾波（Frequencyselective filtering with variable center frequency）本小節(jié)主要介紹一種調(diào)制解調(diào)方式： y(t)x(t) x1(t) exp(jω0t) exp(jω0t)該方式利用指數(shù)信號的頻率搬移功能。如果我們不希望系統(tǒng)對輸入信號的幅度和相位的改變，則這樣的改變稱為幅度和相位的失真（distortions）線性相位與非線性相位（Linear and nonlinear phase）當(dāng)系統(tǒng)相移≮H(jω)是ω的線性函數(shù)時，則系統(tǒng)頻域的相移對應(yīng)時域的時移。而離散低通濾波器的理想模型的頻率響應(yīng)是：H(exp(jω))=1，|ω|≤ωc；H(exp(jω))=0，π≥|ω|ωc。該方法稱為沖激串采樣。要求作圖了解混疊發(fā)生的原因和后果。此時：y(t)=x(t).c(t)=x(t).cosωct而從頻域上，由于C(jω)=π(δ(ωωc)+δ(ω+ωc))有：Y(jω)=(1/2π)X(jω)*C(jω)=(X(j(ωωc))+X(j(ω+ωc)))/2顯然，這相當(dāng)于把X(jω)的圖象減半后分別向左和向右發(fā)生了|ωc|的頻移。顯然這個式子一般只對某些s值成立。將X(s)化簡約分后，使得N(s)=0的s值稱為X(s)的零點（zero），使得D(s)＝0的s值稱為X(s)的極點（pole）。性質(zhì)6：如果x(t)是一個雙邊信號（twosided），也就是無始無終，則可以把它看作一個右邊信號x1(t)和左邊信號x2(t)的和，則x(t)的ROC是x1(t)的收斂域和x2(t)地收斂域的公共部分。94：Geometric evaluation of the Fourier transform from polezero plot（由零極點圖對傅立葉變換進行幾何求值）本節(jié)介紹的東西其實很簡單，就是根據(jù)s域上每一點s0到各極點和零點的線段長度、斜角，求出對于這一點s0的H(s0)。（10） 初值定理與終值定理（The InitialValue theorem and FinalValue theorem）若在t0時x(t)=0，且t=0時x(t)不包涵沖激或高階奇異函數(shù)，則可以直接從拉普拉斯變換式X(s)推導(dǎo)出x(t)在0+和趨向無窮大時值。特別，對于一個有理因果系統(tǒng)h(t)而言，當(dāng)且僅當(dāng)H(s)全部極點都位于jω左邊，才是穩(wěn)定的。為此構(gòu)建一個z域。性質(zhì)8：如果x[n]的變換X(z)是有理的且x[n]是個右邊序列則ROC就位于z平面最外層極點的外邊，也就是半徑等于X(z)中最大模值的極點的圓外邊。性質(zhì)9：如果x[n]的z變換是有理的，且x[n]是左邊序列，則ROC就位于z平面最里層的非零極點的里邊，也就是半徑等于X(z)中除去z=0的極點鐘最小模植的圓的里邊。X[n]的離散傅立葉變換就是x[n]在單位圓上的z變換。98：System function algebre and block diagram representations（系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示）LTI系統(tǒng)互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)(System function for interconnections of LTI systems)LTI系統(tǒng)互聯(lián)有并聯(lián)、串聯(lián)、反饋三種，相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為H(s)=H1(s)+h2(s) (h1和h2并聯(lián))H(s)=H1(s).H2(s) （h1和h2串聯(lián)）H(s)=H1(s)/(1+H1(s).H2(s)) （h1作為正向開環(huán)系統(tǒng)函數(shù)，h2作為負(fù)反饋）由微分方程和有理系統(tǒng)函數(shù)描述的因果LTI系統(tǒng)的方框圖表示（Block diagram representations for Causal LTI systems described by differential equations and rational system function）掌握最基本的一階函數(shù)的方框圖對于一個較為復(fù)雜的有理系統(tǒng)函數(shù)，可以通過三種方法：（1） 分解為簡單系統(tǒng)函數(shù)的串聯(lián)（2） 分解為簡單系統(tǒng)函數(shù)的并聯(lián)（3） 采用直接法。全部性質(zhì)見P691表9－1。95：Properties of the Laplace transform（拉普拉斯變換性質(zhì)）拉普拉斯變換很多性質(zhì)和傅立葉變換相似，都是非常重要的。性質(zhì)7：如果x(t)的拉普拉斯變換是有理的，則它的ROC邊界要么由極點確定，要么延伸到無窮遠處。92：The region of convergence for Laplace transforms（拉普拉斯變換的收斂域）本節(jié)專門研究拉普拉斯變換的收斂域，主要是根據(jù)信號x(t)的拉普拉斯變換X(s)和本身特性分析收斂域的情況。這里，稱9－2式為h(t)的拉普拉斯變換。否則，如果ωM≥ωc，則頻移后的兩個分量會發(fā)生混疊，從而不可能恢復(fù)。例如，如果在兩個樣本點之間（即一段Ts的時間），（），（），由此造成信號恢復(fù)的失真。沖激串大小為2π/Ts，間隔為ωs。用傅立葉反變換可以很容易求到，對理想低通濾波器的時域函數(shù)為：h(t)=Sin(ωct)/πt；h[n]=Sin()/πn這是一個無始無終的信號。具有單位增益（即|H(jω)|=1）的系統(tǒng)稱為全通系統(tǒng)（all pass system）。46：Tables of Fourier properties and of basic Fourier transform pairs(傅立葉變換性質(zhì)和基本傅立葉變換對一覽表)本節(jié)采用列表方式給出了連續(xù)時間傅立葉變換的一些基本特性，和一些常見的重要的信號的傅立葉變換對，應(yīng)該牢記掌握。換言之，信號時域函數(shù)的實部對應(yīng)頻域頻域函數(shù)的偶部，而虛部對應(yīng)頻域函數(shù)的奇部。兩者都是同一信號的不同表達方式，而不是不同的信號。這構(gòu)成了我們系統(tǒng)濾波的原理。當(dāng)同時滿足下列三個條件，則可判斷該周期信號x(t)的傅立葉級數(shù)收斂。這使得我們可以非常方便的對它進行處理。而當(dāng)△趨向無窮小，疊加求和趨向于積分。時不變性（time invariance）概念：如果系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間改變，則系統(tǒng)是時不變(time invariant)的。因為無論什么N都不能使ωN=2kπ，也就是不能使得exp(jωN)=1，也就是不能使得exp(jωn)＝ exp(jω(n+N))離散指數(shù)周期信號的另一特性：exp(jωt)= exp(j(ω+2π)t)也就是說，離散指數(shù)信號的一組基波頻率為2π/N0的諧波只有N0個不同的指數(shù)信號（而在連續(xù)指數(shù)周期信號中一組有無數(shù)多個）1. 4：The unit impulse and unit step functions（單位沖激與單位階躍函數(shù)）離散時間單位沖激和單位階躍單位沖激/單位脈沖/單位樣本（unit sample）δ[n]：n=0時，δ[n]=1，其他時候δ[n]=0單位階躍u[n]：n0時，u[n]=0。但常數(shù)信號有基波周期為1！Even and odd signals（偶信號與奇信號）從t=0軸反轉(zhuǎn)后與原信號重合的信號稱為偶信號,即滿足x(t)=x(t)從t=0軸反轉(zhuǎn)后與原信號相反的信號稱為奇信號，即滿足x(t)=x(t)任何一個信號x(t)都可以分解為一個偶信號和一個奇信號的和，分別叫做這個信號x(t)的偶部（even part）和奇部（odd part）Ev{x(t)}=(1/2)[x(t)+x(t)]。例如x(t)=2t，在t=3時x(t)=x(3)=6就是此刻的幅度。（1） time shift（時移），將x(t)/x[n]變成x(tt0)/x[nn0]。一般而言C與a都是復(fù)數(shù)。t0,u(t)=0單位沖激函數(shù)δ（t）：一個特殊函數(shù)。 Timeinvaria