【正文】 將xp(t)輸入一個增益為Ts，截止頻率大于ωM而小于ωsωM德低通濾波器，所得輸出就是原信號x(t)。該低通濾波器增益為T，截止頻率大于ωM而小于ωsωM。沖激串大小為2π/Ts，間隔為ωs。沖激串的大小為單位1，沖激串的間隔時間Ts稱為采樣周期（sampling period），該沖激串信號的基波頻率ωs=2π/Ts稱為采樣頻率(sampling frequency)。阻帶邊緣：阻帶的邊界頻率。通帶起伏δ1：濾波器頻域圖上，現(xiàn)實的通帶相對于理想的通帶值（1）能夠允許的波動范圍。用傅立葉反變換可以很容易求到，對理想低通濾波器的時域函數(shù)為：h(t)=Sin(ωct)/πt；h[n]=Sin()/πn這是一個無始無終的信號。63:Timedomain properties of ideal frequencyselective fliters（理想頻率選擇濾波器的時域特性）第三章介紹了頻率選擇濾波器。這個群時延的公式顯然應當是系統(tǒng)的相移函數(shù)在ω的處的斜率：τ(ω)=d(≮H(jω))/dω關于群時延的概念和定義，可以直接用上述公式表達。物理意義在于，如果輸入信號在頻域上是一個窄帶（即只在很小的一段頻域ω1前后存在有效值），那么可以近似地把系統(tǒng)在該段頻域的相移看作線性的。具有單位增益（即|H(jω)|=1）的系統(tǒng)稱為全通系統(tǒng)（all pass system）。因此，|H(jω)|一般稱為系統(tǒng)的增益（gain）；≮H(jω)一般稱為系統(tǒng)的相移(phase shift)。介紹一些基本的分析方法。線性常系數(shù)微分方程的兩邊分別是輸入x(t)和輸出y(t)的各次微分的線性組合。46：Tables of Fourier properties and of basic Fourier transform pairs(傅立葉變換性質和基本傅立葉變換對一覽表)本節(jié)采用列表方式給出了連續(xù)時間傅立葉變換的一些基本特性，和一些常見的重要的信號的傅立葉變換對，應該牢記掌握。然而，能夠用該方法進行分析的，必須是一個穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)。x1(t)←→X1(jω)，x2(t)←→X2(jω)，則x1(t)*x2(t)←→X1(jω).X2(jω)即時域的卷積對應頻域的乘積。帕斯瓦爾定理（Parseval’s relation）P312換言之，信號時域函數(shù)的實部對應頻域頻域函數(shù)的偶部，而虛部對應頻域函數(shù)的奇部。熟練掌握不但有利于我們進行變換與反變換，更有利于我們運用傅立葉變換，解決以后的一些實際問題。即任何一個周期信號，其傅立葉變換為一些沖激串。42：The Fourier for periodic signals（周期信號的傅立葉變換）顯然，周期信號是不滿足上面的收斂判斷式的，而且把周期信號x(t)代入傅立葉變換公式，得到的積分結果也是無窮大。兩者都是同一信號的不同表達方式，而不是不同的信號。可以想象，如果周期信號的周期不斷變大，即基波頻率ω0不斷變小，則頻譜線的間距將漸漸變小，直到（在極端的時候）變得連續(xù)。41：Representation of aperiodic signals:the continuoustime Foueier transform(非周期信號的表示：連續(xù)時間傅立葉變換)在第三章研究了把周期信號分解為指數(shù)信號疊加的傅立葉級數(shù)。能通過的頻率帶稱為通帶（passband）。這構成了我們系統(tǒng)濾波的原理。因為一個系統(tǒng)的H(jω)其實表示的是該系統(tǒng)對不同頻率ω的指數(shù)信號的放大倍數(shù)的函數(shù)。周期信號傅立葉級數(shù)表示的確定（Determination of the Fourier series representation of a periodic signal）如上，由于離散信號的諧波只具有N個獨立分量，因此離散信號的傅立葉級數(shù)，只有N個連續(xù)的Φk[n]線性組合。其中ω0＝2π/N，k=整數(shù)。當同時滿足下列三個條件，則可判斷該周期信號x(t)的傅立葉級數(shù)收斂。因為根據(jù)分析公式3－39推導，在有些情況下會得出無窮大的系數(shù)ak（即傅立葉級數(shù)系數(shù)不收斂）。這就是P191的公式3－38和3－393－38是把具有基波周期T0=2π/ω0的周期信號x(t)分解為指數(shù)信號的疊加的公式，稱為綜合公式（synthesis equation）；3－39是對應具體k值的每一個諧波系數(shù)ak的計算公式，稱為分析公式（analysis equation）。(t)=(jkω0t)進行線性組合如186頁3－25公式的形式，形成的周期信號x(t)，(t)=(jkω0t)稱為諧波分量。這使得我們可以非常方便的對它進行處理。δ(t)又寫作u0(t)，它的一次微分為u1(t),二次微分為u2(t)……δ(t)的一次積分即單位階躍信號u(t)又寫作u1(t)，二次積分tu(t)為u2(t)……奇異函數(shù)uk(t)的主要特性是：x(t)*uk(t)的結果是x(t)的k次微分（k為負數(shù)則是積分）例如，x(t)*u2(t)結果為x(t)的二次微分。值得說明的是任何一個微分或者差分方程實際上是對某一個連續(xù)或者離散系統(tǒng)的輸入與輸出關系的一個表達。對于當t0時候x(t)=0的信號又稱為因果信號（causal signal）。而當△趨向無窮小，疊加求和趨向于積分。x[n]*h[n]=y[n]對于有限長序列卷和的運算：豎式法比較簡單。換言之得到了P78 26式（公式請自己看啦，輸入太麻煩了，呵呵呵呵）該公式稱作x[n]和h[n]的卷和或卷積和（Convolution Sum）。這樣，信號x[n]輸入某一個系統(tǒng)的輸出y[n]，便可以等效為把這些脈沖信號分別輸入這個系統(tǒng)之后，再把它們的輸出結果疊加。時不變性（time invariance）概念：如果系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間改變，則系統(tǒng)是時不變(time invariant)的。 可逆性與可逆系統(tǒng)（invertibility and inverse system）可逆系統(tǒng)的條件：不同輸入必然導致不同輸出，則稱該系統(tǒng)為可逆（invertible）的。信號與系統(tǒng)根本上就是研究輸入、輸出與系統(tǒng)三者的關系。僅在t=0時有非零函數(shù)值。因為無論什么N都不能使ωN=2kπ，也就是不能使得exp(jωN)=1，也就是不能使得exp(jωn)＝ exp(jω(n+N))離散指數(shù)周期信號的另一特性：exp(jωt)= exp(j(ω+2π)t)也就是說，離散指數(shù)信號的一組基波頻率為2π/N0的諧波只有N0個不同的指數(shù)信號（而在連續(xù)指數(shù)周期信號中一組有無數(shù)多個）1. 4：The unit impulse and unit step functions（單位沖激與單位階躍函數(shù)）離散時間單位沖激和單位階躍單位沖激/單位脈沖/單位樣本（unit sample）δ[n]：n=0時，δ[n]=1，其他時候δ[n]=0單位階躍u[n]：n0時，u[n]=0。不過更方便在于可以令x[n]=Cexp(βn),當a=expβ,則x[n]＝C（a^n）離散指數(shù)周期信號：x[n]=exp(jωn)的周期分析：與連續(xù)信號x(t)=exp(jωt)周期為2π/ω不同，由于n只能取整數(shù)值，因此周期（如果有周期的話）必須是整數(shù)。A set of harmonically related plex exponentials （一組成諧波關系的復指數(shù)信號）一個重要的概念。實指數(shù)信號(real Exponential signal)：C和a都是實數(shù)(real)。但常數(shù)信號有基波周期為1！Even and odd signals（偶信號與奇信號）從t=0軸反轉后與原信號重合的信號稱為偶信號,即滿足x(t)=x(t)從t=0軸反轉后與原信號相反的信號稱為奇信號，即滿足x(t)=x(t)任何一個信號x(t)都可以分解為一個偶信號和一個奇信號的和，分別叫做這個信號x(t)的偶部（even part）和奇部（odd part）Ev{x(t)}=(1/2)[x(t)+x(t)]。連續(xù)周期信號定義：若某一連續(xù)信號選x（t）對任意t有 x(t)=x(t+T)則x(t)稱為周期信號，T(不為0)稱為周期（period）一個周期信號有無窮多個周期，其中最小的T0稱為基波周期或基本周期（fundamental period）。（3） time scaling（尺度變換）將x(t)變成x(at)，a0，則新信號等于把原信號在橫坐標上壓縮或拉伸為原先的1/a。結果是使信號形狀不變，但在位置上相對原來的信號有移位。例如x(t)=2t，在t=3時x(t)=x(3)=6就是此刻的幅度。例如：關于某導線電流強度對應不同時間的函數(shù)I(t)；等比數(shù)列的某一個數(shù)對應其序號的函數(shù)a[n]=b^n。在信號與系統(tǒng)分析中，信號的表達式為函數(shù)（functions）P3:Signals are represented mathematically as functions of one or more independent variables（獨立自變量）。信號（函數(shù)）對應某一自變量值的信號函數(shù)值大小稱為信號的幅度（phenomenon）。（1） time shift（時移），將x(t)/x[n]變成x(tt0)/x[nn0]。新信號等于把原來信號以t=0/n=0為軸反轉得到。Periodic signals（周期信號）這是非常重要的一類信號。最小的N0為基波周期。一般而言C與a都是復數(shù)。由歐拉公式（Euler’s relation）:e^(j(ωt+φ))= cos(ωt+φ)+jsin(ωt+φ)可以完成指數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)的相互表達和轉換cos(ωt+φ)＝（1/2）（e^(j(ωt+φ))＋e^(－j(ωt+φ))）sin(ωt+φ)＝(1/2j) （e^(j(ωt+φ))－e^(－j(ωt+φ))）對于周期復指數(shù)信號和正弦信號，基波周期為2π/ω, |ω|稱為基波角頻率（fundamental frequency）對于周期復指數(shù)信號和正弦信號而言，很明顯其能量與功率的關系是在無窮區(qū)間的有限平均功率和無窮總能量。一般復指數(shù)信號：x(t)=Cexp(at)，其中C=|C|exp(jθ),a=r+jω0則x(t)=Cexp(at)=|C|exp(rt)exp(j(ω0t+θ))通過包絡分析，可以看出信號包絡|C|exp(rt)的走向（21頁）Discretetime plex Exponential and Sinusoidal Signals(離散時間復指數(shù)和正弦信號)指數(shù)信號、正弦信號、歐拉公式等都與連續(xù)類似。 ω＝3π,則T0=2(k=3)當2π/ω為無理數(shù)，則x[n]=exp(jωn)不是周期信號。t0,u(t)=0單位沖激函數(shù)δ（t）：一個特殊函數(shù)。δ（t）的采樣性：x(t).δ（tt0）=x(t0).δ（tt0） Continuoustime and Discretetime System（連續(xù)時間和離散時間系統(tǒng)）在信號與系統(tǒng)中，系統(tǒng)是指這樣一些元件的互聯(lián)，通過它，當輸入一個信號（input），能夠得到一個輸出信號(output)。反之如果在某一時刻的輸出值還與其他時刻的輸入值有關則稱為記憶系統(tǒng)。穩(wěn)定性（stability）如果對于任何一個有界的輸入，該系統(tǒng)的輸出都是有界的則稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。 Timeinvariant System（線性時不變系統(tǒng)）21:DiscreteTime LTI System:The Convolution Sum（離散LTI系統(tǒng)：卷和）本節(jié)的關鍵在于：把任意離散信號x[n]表示為若干個脈沖信號的疊加。用脈沖信號表示任意信號：可以把x[n]看作x[0].δ[n]+ δ[n1].x[1]+ δ[n2].x[2]……即P75 2－2式對一個系統(tǒng)LTI，當輸入信號為δ[n]時的輸出信號h[n]稱為單位沖激響應（unit impulse response）卷和而對于每個x[k].δ[nk]，輸入系統(tǒng)后的輸出為hk[n]=x[k].h[nk],因此，x[n]輸入后的輸出y[n]便應當是全部hk[n]（k從負無窮取到正無窮）的累加。對LTI系統(tǒng)而言，就是輸入x[n]與單位沖激響應卷和，得到輸出信號y[n]。每個矩形寬度為△，高度為x(k△)（k是該矩形的序號，原點處為0）這樣信號x(t)可以看成這無數(shù)個矩形信號的疊加。2－3Properties of LTI system（線性時不變系統(tǒng)的性質）首先是卷積的運算法則：（LTI系統(tǒng)的性質）交換律（mutative）：x(t)*h(t)=h(t)*x(t)分配率（distributive）:x(t)*(h1(t)+h2(t))=x(t)*h1(t)+x(t)*x2(t) (x1(t)+x2(t))*h(t)=x1(t)*h(t)+x2(t)*h(t)結合律（associative）：x1*h1*h2=x1*(h1*h2)接下來是LTI系統(tǒng)的一些性質分析判斷記憶系統(tǒng)與無記憶LTI系統(tǒng)（LTI systems with and without memory）對一個無記憶的LTI系統(tǒng)而言，其單位沖激響應必然是h(t)=Kδ(t),h[n]=Kδ[n]，因此其輸出必然有y(t)＝kx(t)LTI系統(tǒng)的可逆性（invertiblity of LTI systems）對一個可逆LTI系統(tǒng)系統(tǒng)而言，如果它的單位沖激響應為h1(t)，則它的可逆系統(tǒng)的單位沖激響應為h2(t)，且滿足h1(t)*h2(t)＝1LTI系統(tǒng)的因果性（Causality for LTI system）因果系統(tǒng)的單位沖激響應h(t)顯然有t0時h(t)=0對于一個系統(tǒng)而言，這種情形被稱為初使松弛（initial rest），也就是直