【正文】 作圖了解混疊發(fā)生的原因和后果。這一步稱為調(diào)制（modulation）（2） 把已調(diào)信號(hào)y(t)發(fā)送出去，通過傳輸媒介到接受端。81：Complex exponential and sinusoidal amplitude modulation（復(fù)指數(shù)與正弦幅度調(diào)制）復(fù)指數(shù)載波的幅度調(diào)制（amplitude modulation with a plex exponential carrier）當(dāng)載波信號(hào)c(t)=exp(j(ωct+θc)),稱為復(fù)指數(shù)幅度調(diào)制。對(duì)y(t)進(jìn)行解調(diào)以恢復(fù)x(t)的方法很簡單，只要將y(t)再乘以exp(－jωct)即可：y(t)。此時(shí)：y(t)=x(t).c(t)=x(t).cosωct而從頻域上，由于C(jω)=π(δ(ωωc)+δ(ω+ωc))有：Y(jω)=(1/2π)X(jω)*C(jω)=(X(j(ωωc))+X(j(ω+ωc)))/2顯然，這相當(dāng)于把X(jω)的圖象減半后分別向左和向右發(fā)生了|ωc|的頻移。82：Demodulation for sinusoidal AM（正弦調(diào)幅的解調(diào)）同步解調(diào)（Synchronous demodulatuon）正弦調(diào)幅的解調(diào)是：先把已調(diào)信號(hào)y(t)再乘以一個(gè)同步正弦信號(hào)cosωct，然后通過一個(gè)低通濾波器，該濾波器增益為2，截止頻率大于ωM而小于2ωcωM。造成結(jié)果是：W(jω)=Y(jω)*( π(δ(ωωc)+δ(ω+ωc))).(1/2π)= (X(j(ωωc))+X(j(ω+ωc)))(1/2)* ( π(δ(ωωc)+δ(ω+ωc))).(1/2π)=(1/2)X(jω)+(1/4)X(jωj2ωc)+(1/4)X(jω+j2ωc)即原先左移信號(hào)的右半部和右移信號(hào)的左半部在中央重合，其余兩個(gè)半部更加分離。第九章：The Laplace transform（拉普拉斯變換）拉普拉斯變換也是一種頻域分析。顯然這個(gè)式子一般只對(duì)某些s值成立。更一般地，對(duì)任何信號(hào)連續(xù)x(t)，由公式P655公式9－3確認(rèn)的函數(shù)X(s)稱為其拉普拉斯變換。我們可以看出，拉普拉斯變換其實(shí)是傅立葉變換的擴(kuò)充。為了更好分析復(fù)指數(shù)s的取值范圍，我們構(gòu)建一個(gè)復(fù)平面稱為s域。將X(s)化簡約分后，使得N(s)=0的s值稱為X(s)的零點(diǎn)（zero），使得D(s)＝0的s值稱為X(s)的極點(diǎn)（pole）。由于x(t)的拉普拉斯變換等效于x(t).exp(－σt)的傅立葉變換，顯然使拉普拉斯變換收斂的條件即是x(t).exp(σt)的傅立葉變換收斂，這只和σ的值有關(guān)。性質(zhì)3：如果X(t)是有限持續(xù)期(finite duration)并且絕對(duì)可積(absolutely integrable)，則收斂域是整個(gè)s平面。因?yàn)閤(t)的拉普拉斯變換等于x(t).exp(σt)的傅立葉變換。性質(zhì)6：如果x(t)是一個(gè)雙邊信號(hào)（twosided），也就是無始無終，則可以把它看作一個(gè)右邊信號(hào)x1(t)和左邊信號(hào)x2(t)的和，則x(t)的ROC是x1(t)的收斂域和x2(t)地收斂域的公共部分。如果x(t)是右邊信號(hào)，則其收斂域在其最右邊極點(diǎn)的右邊；如果x(t)是左邊信號(hào)，則其收斂域在其最左邊極點(diǎn)的左邊；如果x(t)是雙邊信號(hào)，則收斂域在其某兩個(gè)極點(diǎn)之間的垂直帶狀區(qū)域，或者根本不存在。注意，因?yàn)椴煌问降膞(t)完全可能變換為同樣形式的X(s)，因此必須綜合收斂域才能反推出其時(shí)域表達(dá)式x(t)。把一個(gè)有理式X(s)拆分為Ai/(s+ai)的疊加。94：Geometric evaluation of the Fourier transform from polezero plot（由零極點(diǎn)圖對(duì)傅立葉變換進(jìn)行幾何求值）本節(jié)介紹的東西其實(shí)很簡單，就是根據(jù)s域上每一點(diǎn)s0到各極點(diǎn)和零點(diǎn)的線段長度、斜角，求出對(duì)于這一點(diǎn)s0的H(s0)。（1） 線性（Linearity）x1(t)←L→X1(s)，ROC為R1；x2(t)←L→X2(s),ROC為R2，則ax1(t)+bx2(t)←L→aX1(s)+bX2(s)，ROC包括R1∩R2注意，這里說的包括，是指線形疊加后的收斂域至少包括R1和（2） 時(shí)移性質(zhì)(Time shifting)x(t)←L→X(s),ROC=R，則x(tt0)←L→exp(st0)X(s),ROC=R（3） s域平移（Shifting in the sDomain）x(t)←L→X(s),ROC=R，則exp(s0t)x(t)←L→X(ss0),ROC=R+re{s0}Roc=r+re{s0}表示收斂域是把X(s)的收斂域R進(jìn)行平移，平移的方向和距離由s0的實(shí)部決定。（6） 卷積性質(zhì)（Convolution property）x1(t)←L→X1(s),ROC=R1，x2(t)←L→X2(s),ROC=R2，則x1(t)*x2(t)←L→X1(s).X2(s),ROC包括R1∩R2，這同樣是最重要的性質(zhì)之一，通過它可非常方便地分析LTI系統(tǒng)。（10） 初值定理與終值定理（The InitialValue theorem and FinalValue theorem）若在t0時(shí)x(t)=0，且t=0時(shí)x(t)不包涵沖激或高階奇異函數(shù)，則可以直接從拉普拉斯變換式X(s)推導(dǎo)出x(t)在0+和趨向無窮大時(shí)值。96：Some Laplace transform pairs（常用拉普拉斯變換對(duì)）P692 表9－297：Analysis and characterization of LTI systems using the Laplace transform（用拉普拉斯變換分析與表征LTI系統(tǒng)）對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)為h(t)，輸入為x(t)，輸出為y（t）且有x(t)←L→X(s),，y(t)←L→Y(s),h(t)←L→H(s)，則Y(s)=x(s).H(s)；或者H(s)=Y(s)/x(s)對(duì)于一個(gè)x(t)=exp(st)，則輸出一定等于H(s)exp(st)當(dāng)s＝j(luò)ω時(shí)即為傅立葉變換。判斷因果性：一個(gè)因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的ROC是某個(gè)右半平面。判斷穩(wěn)定性：一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定等效于其單位沖激響應(yīng)絕對(duì)可積，也就是它的傅立葉變換H(jω)收斂。特別，對(duì)于一個(gè)有理因果系統(tǒng)h(t)而言，當(dāng)且僅當(dāng)H(s)全部極點(diǎn)都位于jω左邊，才是穩(wěn)定的。記做x(t)←UL→X(s),它可以理解為x(t).u(t)后進(jìn)行再雙邊拉普拉斯變換即x(t)u(t)←L→X(s)。利用單邊拉普拉斯變換可以求非零初時(shí)條件的線性常系數(shù)微分方程的解。記做x[n]←z→X(z)，稱為z變換對(duì)。為此構(gòu)建一個(gè)z域。因?yàn)槿菀椎弥?，判斷某個(gè)z是否對(duì)x(t)收斂，只同|z|有關(guān)。由于一個(gè)有限長序列僅有有限個(gè)非零值，因此對(duì)P743的103，任何非0的z值均為收斂。換言之，如果z0在收斂域內(nèi)，則一切|z1||z0|的z1都在收斂域內(nèi)。性質(zhì)8：如果x[n]的變換X(z)是有理的且x[n]是個(gè)右邊序列則ROC就位于z平面最外層極點(diǎn)的外邊，也就是半徑等于X(z)中最大模值的極點(diǎn)的圓外邊。本節(jié)共介紹了三種方法。方法二：同拉普拉斯反變換一樣，對(duì)X(z)進(jìn)行分式展開為一次項(xiàng)，然后利用1/(1a/z))←z→a^[n](ROC在極點(diǎn)a外部)和1/(1a/z)←z→a^[n1]（ROC在極點(diǎn)a內(nèi)部）等公式逐項(xiàng)進(jìn)行反變換，結(jié)果疊加。Z反變換的公式為 P758 1041。性質(zhì)9：如果x[n]的z變換是有理的，且x[n]是左邊序列，則ROC就位于z平面最里層的非零極點(diǎn)的里邊，也就是半徑等于X(z)中除去z=0的極點(diǎn)鐘最小模植的圓的里邊。性質(zhì)6：如果x[n]是個(gè)雙邊序列，則可以把它分解為一個(gè)左邊序列和一個(gè)右邊序列的疊加，其收斂域要么不存在，要么是兩個(gè)序列的收斂域的公共部分，即一個(gè)圓環(huán)。因此收斂域?yàn)檎麄€(gè)z平面但可能除去0點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。性質(zhì)2：ROC內(nèi)不包涵任何極點(diǎn)容易理解，因?yàn)闃O點(diǎn)的z值是使得X(z)為無窮大。X[n]的離散傅立葉變換就是x[n]在單位圓上的z變換。顯然，對(duì)于某一個(gè)x[n]，其z變換H(z)也只能對(duì)某些z成立而對(duì)另外一些z不收斂。但正如連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)之間的差異，z變換和拉普拉斯變換也有很多區(qū)別。否則若信號(hào)本身存在t0時(shí)x(t)的非0值則雙邊與單邊拉普拉斯變換是不一樣的。98：System function algebre and block diagram representations（系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示）LTI系統(tǒng)互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)(System function for interconnections of LTI systems)LTI系統(tǒng)互聯(lián)有并聯(lián)、串聯(lián)、反饋三種，相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為H(s)=H1(s)+h2(s) (h1和h2并聯(lián))H(s)=H1(s).H2(s) （h1和h2串聯(lián)）H(s)=H1(s)/(1+H1(s).H2(s)) （h1作為正向開環(huán)系統(tǒng)函數(shù)，h2作為負(fù)反饋）由微分方程和有理系統(tǒng)函數(shù)描述的因果LTI系統(tǒng)的方框圖表示（Block diagram representations for Causal LTI systems described by differential equations and rational system function）掌握最基本的一階函數(shù)的方框圖對(duì)于一個(gè)較為復(fù)雜的有理系統(tǒng)函數(shù)，可以通過三種方法：（1） 分解為簡單系統(tǒng)函數(shù)的串聯(lián)（2） 分解為簡單系統(tǒng)函數(shù)的并聯(lián)（3） 采用直接法。因此，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)的ROC包括jω軸時(shí)該LTI但對(duì)于一個(gè)具有有理形式的H(s)，只要其ROC位于最右邊極點(diǎn)的右邊就可知它是因果的。而一般稱H(s)為系統(tǒng)函數(shù)（system function）或轉(zhuǎn)移函數(shù)(transfer function)。全部性質(zhì)見P691表9－1。（7） 時(shí)域微分（Differentiation in the time domain）x(t)←L→X(s),ROC=R，則dx(t)/dt←L→sX(s),ROC包括R，（8） s域微分（Differentiation in the sdomain）x(t)←L→X(s),ROC=R，則tx(t)←L→dX(s)/ds,ROC=R，（9） 時(shí)域積分（Integration in the Time domain）x(t)←L→X(s),ROC=R，則x(t)的積分進(jìn)行拉普拉斯變換為X(s)/s。其他依此類推。如果由于疊加而造成了極點(diǎn)被抵消，則收斂域可能大于R1和R2的交集。95：Properties of the Laplace transform（拉普拉斯變換性質(zhì)）拉普拉斯變換很多性質(zhì)和傅立葉變換相似，都是非常重要的。將每項(xiàng)相加，便得到X(s)的拉普拉斯反變換即x(t)。運(yùn)算比較麻煩。這8大性質(zhì)其實(shí)很多都很容易想到，但把它們固化為性質(zhì)，對(duì)于我們解決實(shí)際問題和進(jìn)一步分析很有好處的。性質(zhì)7：如果x(t)的拉普拉斯變換是有理的，則它的ROC邊界要么由極點(diǎn)確定，要么延伸到無窮遠(yuǎn)處。性質(zhì)5：如果x(t)是左邊信號(hào)（left sided），也就是有終無始，則其ROC是s域的某一左半平面(lefthalf plane)。性質(zhì)4：如果x(t)是右邊信號(hào)（right sided），也就是說有始無終，則其ROC是s域的某一右半平面（righthalf plane）。性質(zhì)2：對(duì)有理拉普拉斯變換而言，ROC內(nèi)不能包涵任何極點(diǎn)。92：The region of convergence for Laplace transforms（拉普拉斯變換的收斂域）本節(jié)專門研究拉普拉斯變換的收斂域，主要是根據(jù)信號(hào)x(t)的拉普拉斯變換X(s)和本身特性分析收斂域的情況?？梢员硎緸槿缦滦问剑篨(s)=N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)都是關(guān)于s的多項(xiàng)式，則稱X(s)為有理的（rational）。則傅立葉變換可以看作σ＝0（即s=jω）情況下的拉普拉斯變換；而信號(hào)x(t)的拉普拉斯變換可以看作x(t).exp(σt)的傅立葉變換。顯然對(duì)于某一個(gè)確定的x(t)，只有在一定范圍內(nèi)的s才能使得9－3收斂成立。這里，稱9－2式為h(t)的拉普拉斯變換。91：The Laplace transform（拉普拉斯變換）拉普拉斯變換的引入：前面已經(jīng)講過，LTI系統(tǒng)對(duì)于指數(shù)信號(hào)exp(st)有響應(yīng)為：exp(st)→H(s).exp(st)其中，H(s)由h(t)確定。該方法要求的是載波信號(hào)c(t)和后來輸入的解調(diào)正弦信號(hào)必須嚴(yán)格同步，否則會(huì)因?yàn)橄嗖钤斐墒д妗臅r(shí)域上顯然有：y(t). cosωct=x(t).=(1/2).x(t)+（1/2）.x(t).cos2ωct將這樣一個(gè)信號(hào)通過一個(gè)增益為2的低通濾波器，則高頻分量x(t).cos2ωct被過濾掉，而低頻分量x(t)/2則得到了2的增益，從而恢復(fù)出x(t)。否則，如果ωM≥ωc，則頻移后的兩個(gè)分量會(huì)發(fā)生混疊，從而不可能恢復(fù)。該調(diào)制解調(diào)方法對(duì)ωc和x(t)的帶寬ωM關(guān)系沒有什么要求。為方便令θc＝0。這一步稱為解調(diào)（demodulation）很重要的一類調(diào)制是用x(t)對(duì)c(t)的幅度進(jìn)行調(diào)制，即y(t)=x(t).c(t)。例如，如果在兩個(gè)樣本點(diǎn)之間（即一段Ts的時(shí)間），（），（），由此造成信號(hào)恢復(fù)的失真。0階保持采樣（Samping with a Zeroorder hold） 這里介紹的是鑒于產(chǎn)生一個(gè)沖激串函數(shù)的難度較大，而采用另一系統(tǒng)，使得等效于原信號(hào)x(t)進(jìn)行沖激采樣后通過系統(tǒng)h0(t)的一種采樣——恢復(fù)模式，自己看書了解。我們可以采取如下方式恢復(fù)x(t)：