【正文】 G 單元 立體幾何 目錄 G 單元 立體幾何 ............................................................................................................ 1 G1 空間幾何體的結(jié)構(gòu) .................................................................................................... 1 G2 空間幾何體的三視圖和直觀圖 .................................................................................. 8 G3 平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線 ............................................................................. 20 G4 空間中的平行關(guān)系 .................................................................................................. 20 G5 空間中的垂直關(guān)系 .................................................................................................. 32 G6 三垂線定理 ............................................................................................................ 49 G7 棱柱與棱錐 ............................................................................................................ 49 G8 多面體與球 ............................................................................................................ 56 G9 空間向量及運算 ..................................................................................................... 56 G10 空間向量解決線面位置關(guān)系 .................................................................................. 59 G11 空間角與距離的求法 ............................................................................................. 59 G12 單元綜合 .............................................................................................................. 74 G1 空間幾何體的結(jié)構(gòu) 【【名校精品解析系列】數(shù)學理卷 2020 屆河南省安陽一中等天一大聯(lián)考高三階段測試（三）（ 202012） word版】 (9)如圖的幾何體是長方體 1 1 1 1AB C D A B C D?的一部分，其中 113 , 2AB AD D D BB c m? ? ? ?則該幾何體的外接球的表面積為 (A 211cm? (B) 222cm? (C) 211 223 cm ( D)211 22 cm? 【知識點】幾何體的結(jié)構(gòu) . G1 【答案】【解析】 B 解析 ： 該幾何體的外接球即長方體 1 1 1 1AB C D A B C D?的外接球，而若長方體 1 1 1 1AB C D A B C D?的外接球半徑為 R ，則長方體 1 1 1 1的體對角線為 2R ，所以2 2 2 2 2 11( 2 ) 3 3 2 2 2 2RR? ? ? ? ? ?，所以該幾何體的外接球的表面積222cm?，故選 B. 【思路點撥】分析 該幾何體的外接球與長方體 1 1 1 1AB C D A B C D?的外接球的關(guān)系，進而得結(jié)論 . 【【名校精品解析系列】數(shù)學理卷 2020 屆四川省石室中學高三一診模擬（ 202012） word 版】 15． 正方體1 1 1 1ABCD A B CD? 為棱長為 1，動點 PQ， 分別在棱 1BC CC， 上，過點 A P Q， ， 的平面截該正方體所得的截面記為 S ，設(shè) ,BP x CQ y??，其中 ? ?01xy?， ， ，下列命題正確的是 ________.（寫出所有正確命題的編號） ① 當 0x? 時， S 為矩形，其面積最大為 1； ② 當 12xy??時， S 為等腰梯形； ③ 當 11122xy????????， ，時，設(shè) S 與棱 11CD 的交 點為 R ，則1 12RD y??； ④ 當 1y? 時，以 1B 為頂點， S 為底面的棱錐的體積為定值 13。 PQB 1C 1D 1A 1DCBA 【知識點】正方體的特征 G1 【答案 】【 解析】 ②③④ 解析 ： 當 0x? 時， S 為矩形， 其最大面積為 1 22??，所以①錯誤； 當 12xy??時 ，截面如圖所示，所以②正確； 當 11122xy????????， ，時 ，如圖， 設(shè) S 與棱 C1D1的交點為 R，延長 DD1，使 DD1∩QR=N ，連接 AN 交 A1D1于 S，連接 SR，可證 AN∥ PQ，由 △ NRD1∽△ QRC1，可得 C1R： D1R=C1Q： D1N， 可得1 12RD y??， ∴ ③ 正確； 當 y=1 時，以 B1為頂點， S 為底面的棱錐 B1APC1M 如圖所示 ， 該四棱錐的體積為1 1 1 1 1 11 1 12 2 2 1 1 13 2 3B A P C M B P C M P B C MV V V? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?,所以 ④ 正確． 綜上可知答案為②③④ . 【思路點撥】可結(jié)合線面平行的性質(zhì)作出其截面，結(jié)合其截面特征進行解答 . 【【名校精品解析系列】數(shù)學理卷 2020 屆四川省石室中學高三一診模擬（ 202012） word 版】 15． 正方體1 1 1 1ABCD A B CD? 為棱長為 1，動點 PQ， 分別在棱 1BC CC， 上，過點 A P Q， ， 的平面截該正方體所得的截面記為 S ，設(shè) ,BP x CQ y??，其中 ? ?01xy?， ， ，下列命題正確的是 ________.（寫出所有正確命題的編號） ① 當 0x? 時， S 為矩形，其面積最大為 1； ② 當 12xy??時， S 為等腰梯形； ③ 當 11122xy????????， ，時，設(shè) S 與棱 11CD 的交點為 R ，則1 12RD y??； ④ 當 1y? 時，以 1B 為頂點， S 為底面的棱錐的體積為定值 13。 PQB 1C 1D 1A 1DCBA 【知識點】正方體的特征 G1 【答案 】【 解析】 ②③④ 解析 ： 當 0x? 時， S 為矩形， 其最大面積為 1 22??，所以①錯誤； 當 12xy??時 ，截面如圖所示，所以②正確； 當 11122xy????????， ，時 ，如圖， 設(shè) S 與棱 C1D1的交點為 R，延長 DD1，使 DD1∩QR=N ，連接 AN 交 A1D1于 S，連接 SR，可證 AN∥ PQ，由 △ NRD1∽△ QRC1，可得 C1R： D1R=C1Q： D1N， 可得1 12RD y??， ∴ ③ 正確； 當 y=1 時，以 B1為頂點， S 為底面的棱錐 B1APC1M 如圖所示 ， 該四棱錐的體積為1 1 1 1 1 11 1 12 2 2 1 1 13 2 3B A P C M B P C M P B C MV V V? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?,所以 ④ 正確． 綜上可知答案為②③④ . 【思路點撥】可結(jié)合線面平行的性質(zhì)作出其截面，結(jié)合其截面特征進行解答 . 【【名校精品解析系列】數(shù)學理卷 2020 屆四川省石室中學高三一診模擬（ 202012） word 版】 15． 正方體1 1 1 1ABCD A B CD? 為棱長為 1，動點 PQ， 分別在棱 1BC CC， 上，過點 A P Q， ， 的平面截該正方體所得的截面記為 S ，設(shè) ,BP x CQ y??，其中 ? ?01xy?， ， ，下列命題正確的是 ________.（寫出所有正確命題的編號） ① 當 0x? 時， S 為矩形，其面積最大為 1； ② 當 12xy??時， S 為等腰梯形； ③ 當 11122xy????????， ，時，設(shè) S 與棱 11CD 的交點為 R ，則1 12RD y??； ④ 當 1y? 時，以 1B 為頂點， S 為底面的棱錐的體積為定值 13。 PQB 1C 1D 1A 1DCBA 【知識點】正方體的特征 G1 【答案 】【 解析】 ②③④ 解析 ： 當 0x? 時， S 為矩形， 其最大面積為 1 22??，所以①錯誤； 當 12xy??時 ，截面如圖所示，所以②正確； 當 11122xy????????， ，時 ，如圖， 設(shè) S 與棱 C1D1的交點為 R，延長 DD1，使 DD1∩QR=N ，連接 AN 交 A1D1于 S，連接 SR，可證 AN∥ PQ，由 △ NRD1∽△ QRC1，可得 C1R： D1R=C1Q： D1N， 可得1 12RD y??， ∴ ③ 正確； 當 y=1 時，以 B1為頂點， S 為底面的棱錐 B1APC1M 如圖所示 ， 該四棱錐的體積為1 1 1 1 1 11 1 12 2 2 1 1 13 2 3B A P C M B P C M P B C MV V V? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?,所以 ④ 正確． 綜上可知答案為②③④ . 【思路點撥】可結(jié)合線面平行的性質(zhì) 作出其截面，結(jié)合其截面特征進行解答 . 【【名校精品解析系列】數(shù)學文卷 2020 屆四川省石室中學高三一診模擬（ 202012） word 版】 15． 正方體1 1 1 1ABCD A B CD? 為棱長為 1，動點 PQ， 分別在棱 1BC CC， 上，過點 A P Q， ， 的平面截該正方體所得的截面記為 S ，設(shè) ,BP x CQ y??，其中 ? ?01xy?， ， ，下列命題正確的是 （寫出所有正確命題的編號） ① 當 0x? 時， S 為矩形，其面積最大為 1； ② 當 12xy??時， S 為等腰梯形； ③ 當 1324xy??，時， S 為 六邊 形 ； ④ 當 11122xy????????， ，時，設(shè) S 與棱 11CD 的交點為 R ，則1 12RD y??。 PQB 1C 1D 1A 1DCBA 【知識點】正方體的特征 G1 【答案 】【 解析】 ②④ 解析 ： 當 0x? 時， S 為矩形， 其最大面積為 1 22??，所以①錯誤； 當 12xy??時 ，截面如圖所示，所以②正確； 當 1324xy??，時 ，截面如圖，所以③錯誤； 當 11122xy????????， ，時 ，如圖， 設(shè) S 與棱 C1D1的交點為 R，延長 DD1，使 DD1∩QR=N ，連接 AN 交 A1D1于 S，連接 SR，可證 AN∥ PQ，由 △ NRD1∽△ QRC1， 可得 C1R： D1R=C1Q： D1N， 可得1 12RD y??， ∴ ④ 正確； 綜上可知正確的序號應(yīng)為②④ . . 【思路點撥】可結(jié)合線面平行的性質(zhì)作出其截面，結(jié)合其截面特征進行解答 . G2 空間幾何體的三視圖和直觀圖 【數(shù)學理卷 2020 屆湖北省部分高中高三元月調(diào)考（ 202001）】 ，其中俯視圖是一個腰長為 2 的等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積是 ( ) A. ?36 B. ?9 C. ?29 D. ?827 【知識點】 空間幾何體的三視圖和直觀圖 G2 【答案】 C 【解析】 ∵ 俯視圖是一個腰長為 2 的等腰直角三角形，故底面外接圓半徑 r= 2 ， 由主視圖中棱錐的高 h=1，故棱錐的外接球半徑 R 滿足： R= 221( ) ( 2