【正文】 大家網(wǎng)高考論壇 1 2022 年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 立體幾何 一．選擇題： 1．（ 上海卷 13） 給定空間中的直線 l及平面 ?，條件“直線 l與平面 ?內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線 l 與平面 ?垂直”的（ C ）條件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 2.（ 全國一 11） 已知三棱柱 1 1 1ABC A B C? 的側(cè)棱與底面邊長都相等， 1A 在底面 ABC 內(nèi)的射影為 ABC△ 的中心，則 1AB 與底面 ABC 所成角的正弦值等于（ C ） A． 13 B． 23 C． 33 D． 23 3.（ 全國二 10） 已知正四棱錐 S ABCD? 的側(cè)棱長與底面邊長都相等， E 是 SB 的中點，則 AE SD， 所成的角的余弦值為（ C ） A． 13 B． 23 C． 33 D． 23 4.（ 全國二 12） 已知球的半徑為 2，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓．若兩圓的公共弦長為 2，則兩圓的圓心距等于（ C ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 2 5.（ 北京卷 8） 如圖，動點 P 在正方體 1 1 1 1ABCD A B C D? 的對角線 1BD 上．過點 P 作垂直于平面 11BBDD 的直線，與正方體表面相交于 MN， ．設(shè) BP x? ， MN y? ，則函數(shù)()y f x? 的圖象大致是（ B ） 7.（ 四川卷 ８ ） 設(shè) ,MN是球心 O 的半徑 OP 上的兩點，且 NP MN OM??，分別過A B C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A． O y x B． O y x C． O y x D． O 大家網(wǎng)高考論壇 2 ,NMO 作垂線于 OP 的面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為： ( D ) （Ａ） 3,5,6 （Ｂ） 3,6,8 （Ｃ） 5,7,9 （Ｄ） 5,8,9 8.（ 四川卷 ９ ） 設(shè)直線 l? 平面 ? ，過平面 ? 外一點 A 與 ,l? 都成 030 角的直線有且只有： ( B ) （Ａ）１條 （Ｂ）２條 （Ｃ）３條 （Ｄ）４條 9.（ 天津卷 5）設(shè) ba, 是兩條直線， ??, 是兩個平面，則 ba? 的一個充分條件是 C （ A） ???? ?? ,//, ba （ B） ???? //, ?? ba （ C） ???? //, ?? ba （ D） ???? ?? ,//, ba 10.（ 安徽卷 4）．已知 ,mn是兩條不同直線， ,??? 是三個不同平面，下列命題中正確的是 （ D ） A． ,m n m n??若 則‖ ‖ ‖ B． ,? ? ? ? ? ???若 則 ‖ C． ,mm? ? ? ?若 則‖ ‖ ‖ D． ,m n m n????若 則 ‖ 11.（ 山東卷 6）右圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是 D (A)9π （ B） 10π (C)11π (D)12π 12.（ 江西卷 10） 連結(jié)球面上兩點的線段稱為球的弦。半徑為 4 的球的兩條弦 AB 、 CD 的長度分別等于2 43， M 、 N 分別為 AB 、 CD 的 中點 ， 每條弦的兩端都在球面上運動，有 下列四個命題： ① 弦 AB 、 CD 可能 相交于點 M ② 弦 AB 、 CD 可能 相交于點 N ③ MN 的最大值為 5 ④ MN 的最小值為 1 其中真命題的個數(shù)為 C A． 1個 B． 2 個 C． 3個 D． 4個 13.（ 湖北卷 3） 用與球心距離為 1的平面去截球，所得的截面面積為 ? ，則球的體積為 B A. 38? B. 328 ? C. ?28 D. 332? 14，（ 湖南卷 5） 設(shè)有直線 m、 n和平面 ? 、 ? .下列四個命題中，正確的是 ( D ) m∥ ? ,n∥ ? ,則 m∥ n 大家網(wǎng)高考論壇 3 m? ? ,n? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,則 ? ∥ ? ? ? ? ， m? ? ,則 m? ? ? ? ? ， m? ? ， m? ? ,則 m∥ ? 15.（ 湖南卷 9） 長方體 ABCD－ A1B1C1D1的 8個頂點在同一球面上，且 AB=2,AD= 3 ,AA1=1,則頂點 A、 B間的球面距離是 ( C ) 2? B. 2? C. 22? D. 24? 16.（ 陜西卷 9） 如圖， l A B A B? ? ? ? ? ?? ? ? ?， ， ， ， ，到 l的距離分別是 a 和 b ， AB 與 ??， 所成的角分別是 ? 和 ? ， AB 在??， 內(nèi)的射影分別是 m 和 n ，若 ab? ，則（ D ） A． mn????， B． mn????， C． mn????， D． mn????， 17.（ 陜西卷 14） 長方體 1 1 1 1A B CD A B C D? 的各頂點都在球 O 的球面上，其中1: : 1 : 1 : 2A B A D A A?． AB， 兩點的球面距離記為 m ， 1AD， 兩點的球面距離記為 n ，則 mn 的值為 ． 12 18.（ 重慶卷 9)如解（ 9）圖，體積為 V 的大球內(nèi)有 4 個小球，每個小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個交點， 4個小球的球心是以大球球心為中心的正方形的 4 個頂點 .V1為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積， V2為大球內(nèi)、小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關(guān)系中正確的是 D （ A） V1=2V (B) V2=2V （ C） V1 V2 （ D） V1 V2 19.（ 福建卷 6)如圖，在長方體 ABCDA1B1C1D1中， AB=BC=2,AA1=1,則 BC1與平面 BB1D1D所成角的正弦值為 D A B a b l ? ? 大家網(wǎng)高考論壇 4 A. 63 B. 265 C. 155 D. 105 20.（ 廣東卷 5） 將正三棱柱截去三個角（如圖 1所示 A B C， ， 分別是 GHI△ 三邊的 中點）得到幾何體如圖 2，則該幾何體按圖 2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ A ） 21.（ 遼寧卷 11） 在正方體 ABCD? A1B1C1D1中， E， F分別為棱 AA1， CC1的中點，則在空間中與三條直線 A1D1， EF， CD都相交的直線（ D ） A．不存在 B．有且只有兩條 C．有且只有三條 D．有無數(shù)條 22.（ 海南卷 12） 某幾何體的一條棱長為 7 ， 在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為 6 的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為 a和 b的線段，則 a + b的最大值為（ C ） A. 22 B. 32 C. 4 D. 52 23.（ 海南卷 15） 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為 98 ，底面周長為 3，那么這個球的體積為 ______43? 二．填空題： 1.（ 天津卷 13）若一個球的體積為 ?34 ，則它的表面積為 ________________． 12? 2.（ 全國一 16） 等邊三角形 ABC 與正方形 ABDE 有一公共邊 AB ，二面角 C AB D??的余弦值為 33 ， MN， 分別是 AC BC， 的中點，則 EM AN， 所成角的余弦值等于 ． 61 3.（ 全國二 16） 平面內(nèi)的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊 分別平行，類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件： E F D I A H G B C E F D A B C 側(cè)視 圖 1 圖 2 B E A． B E B． B E C． B E D． 大家網(wǎng)高考論壇 5 充要條件① ； 充要條件② ． （寫出你認為正確的兩個充要條件）（兩組相對側(cè)面分別平行；一組相對側(cè)面平行且全等；對角線交于一點；底面是平行四邊形．注：上面給出了四個充要條件．如果考生寫出其他正確答案，同樣給分．） 4.（ 四川卷 15） 已知正四棱柱的對角線的長 為 6 ，且對角線與底面所成角的余弦值為 33 ，則該正四棱柱的體積等于 _______2 _________。 5.（ 安徽卷 16） 已知 , , ,ABCD 在同一個球面上 , ,AB BCD? 平 面 ,BC CD? 若6,AB? 2 13,AC? 8AD? ,則 ,BC兩點間的球面距離是 43? 6.（ 江西卷 16） 如圖 1，一個正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內(nèi)盛有 a 升水時，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點 P。如果將容器倒置，水面也恰好過點 P （圖 2）。有下列四個命題： A．正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半 B．將容器側(cè)面水平放置時，水面也恰好過點 P C．任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點 P D．若往容器內(nèi)再注入 a 升水，則容器恰好能裝滿 其中真命題的代號是： B,D （寫出所有真命題的代號） ． 7.（ 福建卷 15）若三棱錐的三個側(cè)圓兩 兩垂直，且側(cè)棱長均為 3 ，則其外接球的表面積是 . 9? 8.（ 浙江卷 14）如圖，已知球 O 點面上四點 A、 B、 C、 D， DA? 平面 ABC， AB? BC，DA=AB=BC= 3 ，則球 O 點體積等于 ___________。 9π2 9.（ 遼 寧卷 14） 在體積為 43? 的球的表面上有 A， B， C 三點， AB=1， BC= 2 ， A， C兩點的球 面 距離為 33? ，則球心到平面 ABC的距離為 _________． 32 三．解答題： 1.（ 全國一 18） （本小題滿分 12 分） PP圖 1 2圖大家網(wǎng)高考論壇 6 （注意： 在試題卷上作答無效 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ） 四棱錐 A BCDE? 中，底面 BCDE 為矩形，側(cè)面 ABC? 底面 BCDE ， 2BC? ， 2CD? ，AB AC? ． （ Ⅰ ）證明： AD CE? ； （ Ⅱ ）設(shè) CE 與平面 ABE 所成的角為 45 ，求二面角 C AD E??的大?。? 解：（ 1）取 BC 中點 F ，連接 DF 交 CE 于點 O ， AB AC? ， ? AF BC? ， 又面 ABC? 面 BCDE ， ? AF? 面 BCDE ， ? AF CE? ． 2ta n ta n 2C E D F D C? ? ? ?， ? 90OED ODE? ? ? ?， 90DOE?? ? ，即 CE DF? ， CE??面 ADF ， CE AD??． （ 2）在面 ACD 內(nèi)過 C 點作 AD 的 垂線 ，垂足為 G ． CG AD? ， CE AD? ， AD??面 CEG ， EG AD??， 則 CGE? 即為所求 二面角 的平面角． 233A C CDCG AD??， 63DG? ， 22 303E G D E D G? ? ?， 6CE? ，則 2 2 2 10c o s 2 1 0C G G E C EC G E C G G E??? ? ? ?， 10π a r c c o s 10C G E ??? ? ? ? ????，即 二 面角 C AD E??的大小 10π arccos10??? ????． 2.（ 全國二 19） （本小題滿分 12 分） 如圖，正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 1 24AA AB??，點 E 在 1CC 上且 ECEC 31 ? ． （ Ⅰ ）證明： 1AC? 平面 BED ； （ Ⅱ ）求二面角 1A DE B??的大?。? 解法一： 依題設(shè)知 2AB? ， 1CE? ． （ Ⅰ ）連結(jié) AC 交 BD 于點 F ，則 BD AC? ． F O G A C D E B 18 題圖 C D E A B A B C D E A1 B1 C1 D1 大家網(wǎng)高考論壇 7 由 三垂線定理 知， 1BD AC? ． 3 分 在平面 1ACA 內(nèi)，連結(jié) EF 交 1AC 于點 G ， 由于 1 22AA ACFC CE??， 故 1Rt RtA A C F CE△ ∽ △， 1AA C CF E