【正文】 【備考 2020】 2020屆全國名校數(shù)學(xué)試題分類匯編（ 12 月 第四期） C單元 三角函數(shù)（含解析） 目錄 C1 角的概念及任意角的三角函數(shù) ...................................... 2 C2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 .............................. 2 C3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) .......................................... 5 C4 函數(shù) sin( )y A x????的圖象與性質(zhì) .............................. 12 C5 兩角和與差的正弦、余弦、正切 .................................. 14 C6 二倍角公式 .................................................. 17 C7 三角函數(shù)的求值、化簡與證明 .................................... 20 C8 解三角形 .................................................... 21 C9 單元綜合 .................................................... 33 C1 角的概念及任意角的三角函數(shù) 【數(shù)學(xué)文卷 2020屆山西省山大附中高三上學(xué)期期中考試（ 202011）】 5．已知角 ? 的終邊過點(diǎn) ( 4 ,3 ) ( 0)P k k k??，則 2sin cos??? 的值是（） A． 25 B． 25? C． 25或 25? D．隨著 k 的取值不同其值不同 【知識點(diǎn)】三角函數(shù)定義 C1 【答案】【解析】 B解析：因?yàn)?角 ? 的終邊過點(diǎn) ( 4 ,3 ) ( 0)P k k k??所以22( 4 k ) (3 k ) 5rk? ? ? ? ?，所以 33sin 55kk? ? ? ?? ， 44cos 55kk? ???? ， 3 4 22 si n c o s 2 ( )5 5 5??? ? ? ? ? ? ?，故選 B. 【思路點(diǎn)撥】由 三角函數(shù)定義 sin yr?? ， cos xr?? 即可求得 . C2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 【數(shù)學(xué)理卷 2020 屆黑龍江省大慶市鐵人中學(xué)高三 12 月月考（期中）（ 202012）】 3. 已知△ABC中， tanA＝－ 512，則 cosA＝ ( ) C．－ 513 D．－ 1213 【知識點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 C2 【答案】 D 【解析】 ： ∵△ ABC中， tanA=512， ∴ A為鈍角， cosA＜ 0．由 sincosAA =512， sin2A+cos2A=1， 可得 cosA=1213 ． 【思路點(diǎn)撥】 △ ABC中，由 tanA=512＜ 0，判斷 A為鈍角，利用 sincosAA =512和 sin2A+cos2A=1，求出 cosA的值． 【數(shù)學(xué)理卷 2020 屆重慶市巴蜀中學(xué)高三 12 月月考（ 202012）】 △ ABC 中，角 A， B， C 所對的邊分別為 a， b， c，且12cos2sin2 2 ???????? ? CBA， a＝ 1， b＝ 2。 (1)求 ∠ C和邊 c； (2)若BCBM 4?,BABN 3?,且點(diǎn) P為 △ BMN內(nèi)切圓上一點(diǎn) ， 求222 PCPBPA ??的最 大 值 。 【知識點(diǎn)】二倍角公式；誘導(dǎo)公式；余弦定理；坐標(biāo)法求最值 . C2 C6 C8 H9 【答案】【解析】（ 1） C＝ π3 ， c= 3； (2)最大值 1 1 2 3 6 4 2 4 3? ? ? 解析 ： (1)∵ 2sin2A＋ B2 ＋ cos 2C＝ 1， ∴ cos 2C＝ 1－ 2sin2A＋ B2 ＝ cos(A＋ B)＝－ cos C， ∴ 2cos2C＋ cos C－ 1＝ 0，∴ cos C＝ 12或 cos C＝－ 1， ∵ C∈ (0， π) ，∴ cos C＝ 12，∴ C＝ π3 ． 由余弦定理得 c＝ a2＋ b2－ 2abcos C＝ 3． （ 2） 建立坐標(biāo)系，由（ 1） A? ? ? ? )1,0(,0,0,0,3 CB，由BCBM 4?,BABN 3?知 ? ?0,3),4,0( NM，△ BMN的內(nèi)切 圓方程為：? ? ? ? 111 22 ???? yx，設(shè)),( yxP，則令 ? ????? 2,0,sin1 cos1 ???? ?? ??yx ? ? ? ?? ?? ?22 2 2 22 2 2 222313 3 2 3 2 4 11 2 3 4 si n 6 2 3 c os11 2 3 64 24 3 si n 11 2 3 64 24 3P A P B P C x y x y x yx y x y ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 【思路點(diǎn)撥】（ 1）根據(jù)二倍角公式，誘導(dǎo)公式及三角形內(nèi)角范圍，求得 C＝ π3 ，再由余弦定理求邊 c 的長；（ 2）由 (1)知△ ABC 是∠ B=90176。，∠ C=60176。的直角三角形，故可以以 B 為原點(diǎn)，直線 BA 為 x 軸，直線 BC 為 y 軸建立直角坐標(biāo)系，從而得 △ BMN 的內(nèi)切圓的參數(shù)方程? ????? 2,0,sin1 cos1 ???? ?? ?yx，進(jìn)一步得所求關(guān)于 ? 的函數(shù)，求此函數(shù)最大值即可 . 【數(shù)學(xué)理卷 2020 屆重慶市巴蜀中學(xué)高三 12 月月考（ 202012）】 16． 已知函數(shù)? ? xxxf sin32cos2 2 ??。 (1)求函數(shù)??xf的最小正周期和值域； (2)若 ?為第二象限角，且313 ??????? ???f，求 ??? 2sin2cos1 2cos ??的值 。 【知識點(diǎn)】 二倍角公式；兩角和與差的三角函數(shù)； sin( )y A x????的性質(zhì)；同角三角函數(shù)關(guān)系；三角函數(shù)的求值與化簡 . C6 C5 C4 C2 C7 【答案】【解析】（ 1） 函數(shù) f(x)的最小正周期為 2π，值域?yàn)?[1,3]；（ 2） 1 2 22? . 解析 ：（ 1）∵ ( ) 1 c o s 3 s in 1 2 c o s ( )3f x x x x ?? ? ? ? ? ?， ∴函數(shù) f(x)的最小正周期為 2π，值域?yàn)?[1,3]. (2)∵ 1( ) ,33f ????∴ 11 2cos3x??，即 1cos3???， 又∵ ? 是第二象限角，∴ 22sin 3?? . ∵ 222c o s 2 s in1 c o s 2 s in 2 2 c o s 2 s in c o sc o s? ? ?? ? ? ? ???? ? ? = ? ? ? ?? ?c o s s in c o s s in c o s s in2 c o s c o s s in 2 c o s? ? ? ? ??? ? ? ??? ??? ∴原式 = cos sin2cos????1 2 21 2 2332 23?? ???? 【思路點(diǎn)撥】（ 1）利用二倍角公式，兩角和與差的三角函數(shù) 公式把函數(shù) f(x)化為： 1 2cos( )3x ???，再確定其周期和值域；（ 2）由（ 1）及已知得 1cos 3??? ， 22sin 3?? . 然后把所求化簡得，所求 = cos sin2cos???? ，從而得所求值 . 【數(shù)學(xué)理卷 2020 屆山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次診斷性考試（ 202011）】 ? ? 2ta n sin 5 sin c osf x x x x? ? ?，那么 ? ?2f ? _________. 【知識點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 C2 【答案】 65 【解析】 ∵ f（ tanx） =sin2x5sinx?cosx= 222sin 5 sin cossin cosx x xxx? ?= 22tan 5tantan 1xxx? ?， ∴ f（ x） = 22 51xxx??，則 f（ 2） =65． 【思路點(diǎn)撥】 把已知函數(shù)解析式的分母 1化為 sin2x+cos2x，然后分子分母同時(shí)除以 cos2x，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，可確定出 f（ x）的解析式，把 x=2 代入即可求出 f（ 2）的值． 【數(shù)學(xué)文卷 2020 屆江西省五校（江西師大附中、臨川一中、鷹潭一中、宜春中學(xué)、新余四中）高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（ 202012）】 13. 已知 2cos63pa驏琪 +=琪桫，則 5sin 26pa驏琪 +琪桫的值為________. 【知識點(diǎn)】誘導(dǎo)公式 。二倍角公式 .. C2 C7 【答案】【解析】 19 解析 ： 225si n 2 si n 2 c os 26 6 2 6212 c os 1 2 16 3 9p p p pa a apa輊驏 驏 驏犏琪 琪 琪+ = + + = +琪 琪 琪犏桫 桫 桫臌驏驏琪琪= + = ? = 桫桫 【思路點(diǎn)撥】用已知角表示未知角，再結(jié)合二倍角公式即可。 【數(shù)學(xué)文卷 2020 屆山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次診斷性考試（ 202011）】 34, c o s ta n2 5 4?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， 則等于 C. 17? D. 【知識點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 C2 【答案】 B 【解析】由 4cos 5??? ， 3( , )2???? ， tan? =34 ,則 tan( )4? ?? ? 17 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出正切值，再求結(jié)果。 C3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【數(shù)學(xué)理卷 2020 屆黑龍江省大慶市鐵人中學(xué)高三 12 月月考（期中）（ 202012）】 17. （ 10分）已知函數(shù) f(x)＝ 2sinxcos(x＋ π6 )－ cos2x＋ m. (1)求函數(shù) f(x)的最小正周期； (2)當(dāng) x∈ [－ π4 ， π4 ]時(shí)，函數(shù) f(x)的最小值為－ 3，求實(shí)數(shù) m的值 【知識點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) C3 【答案】 (1) π （ Ⅱ ） 32 【解析】 (1)∵ f(x)＝ 2sinxcos(x＋ π6 )－ cos2x＋ m ＝ 2sinx( 32 cosx－ 12sinx)－ cos2x＋ m＝ 3sinxcosx－ sin2x－ cos2x＋ m ＝ 32 sin2x－ 1－ cos2x2 － cos2x＋ m＝ 32 sin2x－ 12cos2x－ 12＋ m ＝ sin(2x－ π6 )－ 12＋ m. ∴ f（ x）的最小正周期 T=22? =π （ Ⅱ ）當(dāng) x∈ [4? ， 4? ]，有 23? ≤2x π6 ≤ 3? ∴ 1≤sin(2x 3? )≤ 32 ．得到 f（ x）的最小值為 m32 ．由已知，有 m32 =3則 m=32 【思路點(diǎn)撥】 （ I）先利用和差角公式及輔助角公式對函數(shù)進(jìn)行化簡可得， f（ x） =sin（ 2xπ6 ）+m12， 根據(jù)周期公式可求， （ II）由 x∈ [4? ， 4? ]，可得 23? ≤2x π6 ≤ 3? 結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求 1≤sin(2x 3? )≤ 32 ，求出函數(shù)的 f（ x）的最小值為 m32 ， 根據(jù)已知可求 m． 【數(shù)學(xué)理卷 2020 屆黑龍江省大慶市鐵人中學(xué)高三 12 月月考（期中）（ 202012）】 5. 已知函數(shù) f(x)＝ sin(2x－ π4 )，若存在 α ∈ (0， π) 使得 f(x＋ α )＝ f(x＋ 3α )恒成立，則 α 等于( ) 【知識點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) C3 【答案】 D 【解析】 f（ x+a） =sin（ 2x+2a4?） f（ x+3a） =sin（ 2x+6a4?） 因?yàn)?f（ x+a） =f（ x+3a），且 a∈ （ 0， π ）所以 2x+2a4?+2π=2x+6a 4? ∴ a=2?即存在 a=2?使得 f（ x+a） =f（ x+3a）恒成立． 【思路點(diǎn)撥】 首先求出 f（ x+a）和 f（ x+3a），然后根據(jù)正弦的周期性求出 a的值． 【數(shù)學(xué)理卷 2020 屆江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高三上學(xué)期質(zhì)量檢測（ 12 月）（ 202012）】 )42cos (2)( ???? xxf 的最小正周期為 _________. 【知識點(diǎn)】 三角函數(shù)的周期 .C3