【正文】 典型輸入作用和時域性能指標(biāo) 時域分析 典型輸入作用及其拉氏變換 瞬態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程 瞬態(tài)過程的性能指標(biāo) 穩(wěn)態(tài)過程的性能指標(biāo) 時域分析是指控制系統(tǒng)在一定的輸入信號作用下，根據(jù)輸出量的時域表達式，分析系統(tǒng)的 穩(wěn)定性、瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 時域分析是一種在時間域中對系統(tǒng)進行分析的方法，具有直觀和準(zhǔn)確的優(yōu)點。由于系統(tǒng)的輸出量的時域表達式是時間的函數(shù)，所以系統(tǒng)的輸出量的時域表達式又稱為系統(tǒng)的時間響應(yīng)。 系統(tǒng)輸出量的時域表示可由微分方程得到，也可由傳遞函數(shù)得到。在初值為零時，可利用傳遞函數(shù)進行研究，用傳遞函數(shù)間接的評價系統(tǒng)的性能指標(biāo)。 控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)，可以通過在輸入信號作用下系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程來評價。系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，還與外加輸入信號的形式有關(guān)。 時域分析 這表明，在外作用加入系統(tǒng)之前系統(tǒng)是相對靜止的，被控制量及其各階導(dǎo)數(shù)相對于平衡工作點的增量為零。 典型初始狀態(tài) : 規(guī)定控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)均為零狀態(tài)，即在 時 ??0t0)0()0()0( ... ???? ??? ?yyy 在分析和設(shè)計控制系統(tǒng)時，需要確定一個對各種控制系統(tǒng)的性能進行比較的基礎(chǔ)，這個基礎(chǔ)就是預(yù)先規(guī)定一些具有特殊形式的測試信號作為系統(tǒng)的輸入信號，然后比較各種系統(tǒng)對這些輸入信號的響應(yīng)。 選取測試信號時必須考慮的原則： ? 選取的輸入信號的典型形式應(yīng)反映系統(tǒng)工作時的大部分實際情況。 ? 選取外加輸入信號的形式應(yīng)盡可能簡單，易于在實驗室獲得，以便于數(shù)學(xué)分析和實驗研究。 ? 應(yīng)選取那些能使系統(tǒng)工作在最不利情況下的輸入信號作為典型的測試信號。 在控制工程中采用下列五種信號作為典型輸入信號 典型輸入作用及其拉氏變換 脈沖函數(shù)： 階躍函數(shù)： tA)(tx??????0,0,0)(tAttxA階躍幅度， A=1稱為單位階躍函數(shù)，記為 1（ t）。 其拉氏變換后的像函數(shù)為： sAtxL ?)]([ 斜坡函數(shù)（速度階躍函數(shù)）： ??????0,0,0)(tBtttxB=1時稱為單位斜坡函數(shù)。 t)(txBttx ?)( 其拉氏變換后的像函數(shù)為： 2)]([ sBtxL ?? ???? ???? ???? 1)(00 0)( dttttt ?? 1)]([ ?tL ?[提示 ]：上述幾種典型輸入信號的關(guān)系如下： ]21[][)](1[)( 23322AtdtdAtdtdtAdtdtA ?????拋物線函數(shù)（加速度階躍函數(shù)）： ????????0,210,0)(2 tCtttxC=1時稱為單位拋物線函數(shù)。 t)(tx221)( Cttx ? 其拉氏變換后的像函數(shù)為： 3)]([ sCtxL ?正弦函數(shù)： ，式中， A為振幅， 為頻率。 tA S intx ??)( ? 其拉氏變換后的像函數(shù)為： 22[ s in ]nnAL A ts???? ? 分析系統(tǒng)特性究竟采用何種典型輸入信號，取決于實際系統(tǒng)在正常工作情況下最常見的輸入信號形式。 當(dāng)系統(tǒng)的輸入具有突變性質(zhì)時，可選擇階躍函數(shù)為典型輸入信號；當(dāng)系統(tǒng)的輸入是隨時間增長變化時，可選擇斜坡函數(shù)為典型輸入信號。 討論系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)時，通常選擇 單位階躍信號 作為典型輸入信號。 典型響應(yīng)： ⒈ 單位脈沖函數(shù)響應(yīng) ： 1)()( ?? sGsY⒉ 單位階躍函數(shù)響應(yīng) ： ssGsY 1)()( ? ⒊ 單位斜坡函數(shù)響應(yīng) ： 21)()( ssGsY ?⒋ 單位拋物線函數(shù)響應(yīng)： 31)()( ssGsY ?[提示 ]：上述幾種典型響應(yīng)有如下關(guān)系： 單位脈沖函數(shù)響應(yīng) 單位階躍函數(shù)響應(yīng) 單位斜坡函數(shù)響應(yīng) 單位拋物線函數(shù)響應(yīng) 積分 積分 積分 微分 微分 微分 在典型輸入信號的作用下，任何一個控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)都由瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩部分組成 。 1．瞬態(tài)響應(yīng)： 又稱為瞬態(tài)過程或過渡過程。是指系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。 ? 由于實際的控制系統(tǒng)存在慣性、阻尼及其它一些因素，系統(tǒng)的輸出量不可能完全復(fù)現(xiàn)輸入量的變化，瞬態(tài)過程曲線形態(tài)可表現(xiàn)為衰減振蕩、等幅振蕩和發(fā)散等形式。 ? 瞬態(tài)過程包含了輸出響應(yīng)的各種運動特性，這些特性稱為系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。 ? 一個可以實際運行的控制系統(tǒng)，瞬態(tài)過程必須是衰減的。即系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。 瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 2．穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： 又稱為穩(wěn)態(tài)過程。是指系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，當(dāng)時間趨近于無窮大時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)狀態(tài)。 ? 穩(wěn)態(tài)過程反映了系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，包含了輸出響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)性能。 ? 從理論上說，只有當(dāng)時間趨于無窮大時，才進入穩(wěn)態(tài)過程，但這在工程應(yīng)用中是無法實現(xiàn)的。因此在工程上只討論典型輸入信號加入后一段時間里的瞬態(tài)過程，在這段時間里，反映了系統(tǒng)主要的瞬態(tài)性能指標(biāo)。而在這段時間之后，認(rèn)為進入了穩(wěn)態(tài)過程。 ? 控制系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下的性能指標(biāo)，由瞬態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)兩部分組成。 ? 由于穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件，因此只有當(dāng)瞬態(tài)過程收斂（衰減）時，研究系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能才有意義。 ? 在工程應(yīng)用上，通常使用單位階躍信號作為測試信號，來計算系統(tǒng)時間域的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。 瞬態(tài)過程的性能指標(biāo) 描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍信號作用下，瞬態(tài)過程隨時間 t的變化狀況的性能指標(biāo)，稱為瞬態(tài)性能指標(biāo)，或稱為動態(tài)性能指標(biāo)。 為了便于分析和比較，假定系統(tǒng)在單位階躍輸入信號作用前處于靜止?fàn)顟B(tài)，而且輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均等于零。 t 穩(wěn)定控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線有衰減振蕩和單調(diào)上升兩種類型。 0m axy )(?y2)(?y ? ?ytdt rt pt st? ? %y ? ? ?? ?25?? 或t)(ty )(?y tst0( ) %y ? ? ?( 2 5 )?? 或（一）衰減振蕩： 具有衰減振蕩的瞬態(tài)過程如圖所示： ⒈ 延遲時間 ： dt輸出響應(yīng)第一次達到穩(wěn)態(tài)值的 50%所需的時間。 0ty)(?y⒉ 上升時間 ： rt輸出響應(yīng)第一次達到穩(wěn)態(tài)值 y(∞) 所需的時間。 (或指由穩(wěn)態(tài)值的 10%上升到穩(wěn)態(tài)值的 90%所需的時間 )。 rt 瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)（衰減振蕩） ⒋ 最大超調(diào)量 (簡稱超調(diào)量 )： %?%100)( )(% m ax ?? ??? y yy?式中： —輸出響應(yīng)的最大值； maxy )(lim)( tyyt ????—穩(wěn)態(tài)值； 輸出響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值達到第一個峰值 ymax所需要的時間。 ⒊ 峰值時間 ： pt0ty)(?yptmaxy瞬態(tài)過程中輸出響應(yīng)的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)。 ⒌ 調(diào)節(jié)時間或過渡過程時間 ： st當(dāng) 和 之間的誤差達到規(guī)定的范圍之內(nèi)［一般取 的 177。 5%或 177。 2%，稱允許誤差范圍，用 D表示］且以后不再超出此范圍的最小時間。即當(dāng) ，有： )(ty )(?y)(?ystt?)52(%)(|)()(| 或???????? yyty)()(??yy或st ⒍ 振蕩次數(shù) N： srp ttt ,在上述幾種性能指標(biāo)中， 表示瞬態(tài)過程進行的快慢，是快速性指標(biāo)；而 反映瞬態(tài)過程的振蕩程度，是振蕩性指標(biāo)。其中 和 是兩種最常用的性能指標(biāo)。 N%,?%?st)(?y 在調(diào)節(jié)時間內(nèi)， y(t)偏離 的振蕩次數(shù)。或在 0tts時間內(nèi)，單位階躍響應(yīng)穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半，定義為振蕩次數(shù)。 0t r t p t stym a xy)( ?y2)( ?y)( ?y)( ?y或t d（二）單調(diào)變化的響應(yīng) 單調(diào)變化響應(yīng)曲線如圖所示： 這種響應(yīng)沒有超調(diào)量，只用 調(diào)整時間 ts表示瞬態(tài)過程的快速性，調(diào)整時間的定義同上所述。有時也采用 上升時間tr這一指標(biāo)。上升時間的定義應(yīng)修改 為由穩(wěn)態(tài)值的 10%上升到 90%所需的時間。 y)( ?y2)( ?ytt st d)( ?y)( ?y或t r 瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)（單調(diào)變化） 當(dāng)響應(yīng)時間 tts時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)進入穩(wěn)態(tài)過程。穩(wěn)態(tài)過程的性能指標(biāo)主要是穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)時間趨于無窮大時，若系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，穩(wěn)態(tài)誤差是控制系統(tǒng)精度或抗干擾能力的一種度量。 )(lim)(lim 0 ssEtee stss ??? ??穩(wěn)態(tài)過程的性能指標(biāo) 式中 ： e(t)=給定輸入值 實際輸出值（單位反饋）； E(s)是系統(tǒng)的誤差。 穩(wěn)態(tài)過程的性能指標(biāo) 系統(tǒng)應(yīng)該是穩(wěn)定的； 系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)時，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差的要求； 系統(tǒng)在瞬態(tài)過程中應(yīng)有好的快速性。 簡稱為： 穩(wěn)、準(zhǔn)、快 對一個控制系統(tǒng)的要求 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo) 其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ： 11111)()()(???????? TssRsYsKssKsK式中， ，稱為時間常數(shù)，開環(huán)放大系數(shù)越大，時間常數(shù)越小。 KT1? 由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。其傳遞函數(shù)是 s的一次有理分式。 一階系統(tǒng)的微分方程為： )(sY sK)(sE)(sR典型的一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。 )()()( trtydt tdyT ?? 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 當(dāng)一階系統(tǒng)的輸入信號為單位脈沖信號 r(t)=d(t)，其拉氏變換為 R(s)=1，則系統(tǒng)的輸出為 : TsTTsTssRsY/1/1111)()(??????上式的拉氏反變換稱為一階系統(tǒng)的 單位脈沖響應(yīng) ： 01)( ?? ? teTty Tt，21曲 線 1 時 間 常 數(shù) 為 T曲 線 2 時 間 常 數(shù) 為 2 TT1 / 2 Ty ( t )0t一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線 ：一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線為單調(diào)下降的指數(shù)曲線，時間常數(shù)T越大，響應(yīng)曲線下降越慢，表明系統(tǒng)受到脈沖輸入信號后，恢復(fù)到初始狀態(tài)的時間越長。單位脈沖響應(yīng)的終值均為零 。 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 顯然一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條由零開始按指數(shù)規(guī)律單調(diào)上升并最終趨于 1的曲線。 ssR 1)( ?,111)( sTssY ??? TteTssLsTsLty??? ???????? 1]111[]111[)( 1111)()()(???? TssRsYs 當(dāng) 時 12曲 線 1 時 間 常 數(shù) 為 T曲 線 2