【正文】 多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué) 是 60年代在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的力學(xué)新分支。它是航空航天器、機(jī)器人、車輛、兵器與機(jī)構(gòu)等復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的力學(xué)模型。 研究多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)主要基礎(chǔ)工作是 剛體動(dòng)力學(xué) 。通常所說(shuō)的剛體動(dòng)力學(xué)，其主要內(nèi)容是研究剛體繞定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。 剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)是從十八世紀(jì)開(kāi)始研究的。由于航海事業(yè)的發(fā)展，首先提出了關(guān)于 船舶搖擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律 的問(wèn)題。 陀螺儀作為控制系統(tǒng)中的量測(cè)元件或執(zhí)行元件已廣泛用于航空、航海與航天技術(shù)中。 此外，剛體動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域還重點(diǎn)研究了含有陀螺效應(yīng)的各種系統(tǒng)的共同特性，從而形成了 陀螺耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué) 和轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué) 。 機(jī)械學(xué)院 機(jī)械學(xué)院剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 自從 1957年人類首次發(fā)射人造地球衛(wèi)星以來(lái)，航天技術(shù) ( 衛(wèi)星、飛船、空間站等 ) 發(fā)展得十分迅速，因而形成了一門新的新興學(xué)科，它主要 包括軌道力學(xué)及姿態(tài)動(dòng)力學(xué) 。其研究對(duì)象從剛體動(dòng)力學(xué)模型過(guò)渡到變形體或混合系統(tǒng)的力學(xué)模型。 剛體動(dòng)力學(xué)的范疇的實(shí)例包括 機(jī)器人、航天器、跳高運(yùn)動(dòng)員、體操及跳水運(yùn)動(dòng)員 的空翻動(dòng)作模擬及 宇航員在太空的動(dòng)作規(guī)范 等，因此，通常將以上研究對(duì)象簡(jiǎn)化成若干剛體鉸接而成的樹(shù)狀結(jié)構(gòu)。形成了多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。 目前，研究多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的各種方法很多，研究的課題多在帶有撓性部件的多體系統(tǒng)上。并且進(jìn)展很快。 機(jī)械學(xué)院 機(jī)械學(xué)院剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 玩具陀螺 剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 第 1章 剛體運(yùn)動(dòng)學(xué) 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 行星錐齒輪 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 玩具陀螺 陀螺儀 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 玩具陀螺 科學(xué)家稱之為陀螺的“定軸性”。 ＊ 飛機(jī)上的方向儀就叫“陀螺羅盤”。 ＊ 魚雷上的“陀螺自動(dòng)操縱舵”。 ＊ 軍艦艇上的航海陀螺羅盤 ＊ 火箭上的陀螺導(dǎo)航儀 ＊ 現(xiàn)在的各種導(dǎo)彈中的控制系統(tǒng)或自動(dòng)駕駛儀，也是采用了類似的陀螺儀來(lái)使導(dǎo)彈保持 “ 平衡 ” 狀態(tài)。 為了克服摩擦： 在真空中懸浮的陀螺、液體中懸浮的流體陀螺、 振動(dòng)陀螺、原子陀螺、激光陀螺、液浮陀螺、靜電陀螺、 動(dòng)壓陀螺及定向精度高的動(dòng)力調(diào)諧陀螺儀等 陀螺理論也在飛速發(fā)展。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程 研究剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)首先要確定剛體在 空間的位置 。建立靜坐標(biāo)系 Oxyz和隨體坐標(biāo)系 Ox?y?z?。隨體坐標(biāo)系的任一根軸 (軸 Oz?)相對(duì) Oxyz的位置，可由三個(gè)方向角 ? ? ?3確定，此三個(gè)角不是獨(dú)立的 4? 圖 12 圖 13 1c o sc o sc o s 322212 ??? ??? 再確定隨體坐標(biāo)系相對(duì)定坐標(biāo)系 繞 Oz軸的轉(zhuǎn)角 ?4，則隨體參考系相對(duì)固定參考系的位置將唯一地確定。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 確定隨體坐標(biāo)系的位置需要三個(gè)獨(dú)立的參數(shù)，或三個(gè)廣義坐標(biāo)，給出任意瞬時(shí)的隨體坐標(biāo)系 Ox?y?z?和定坐標(biāo)系 Oxyz。Ox?y?z?系的 Ox?y?平面與 Oxyz系的 Oxy平面的交線 ON稱 為節(jié)線。剛體的位置可由圖示的 ?、 ? 和 ?三個(gè)角唯一地確定： x?z?y?圖 14 進(jìn)動(dòng)角 ?＝ ∠ xON， 章動(dòng)角 ?＝ ∠ zOz?， 自轉(zhuǎn)角 ?＝ ∠ NOx?。 ?、 ? 和 ?統(tǒng)稱為 歐拉角。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) x?y?z?1z?1x?1y?2z?1x?1y?2y?z?x?1y?2y?y? 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) π20,π0,π20 ?????? ???)(),(),( 321 tftftf ??? ??? 這個(gè)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)是，任一角度的大小變化均不影響其它二個(gè)角度之值，是彼此獨(dú)立的三個(gè)角度；若在下列范圍內(nèi)改變 ?、 ? 和 ?角的數(shù)值，可得到剛體可能具有的任意位置： 剛體作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，歐拉角 ?、 ? 和 ?是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，可分別表示為 這就是 定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)方程 。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體從某一位置移動(dòng)到另一位置的位置變化稱為有限位移。 歐拉角 (?、 ? 、 ?)是 順序 分別轉(zhuǎn)過(guò) ?、 ? 、 ?角 有限位移到達(dá)。 這三個(gè)有限位移的順序是不能改變的。定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體有限位移的這一特性稱為 定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體 有限位移順序的不可交換性 。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的有限位移與無(wú)限小位移 1．剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的有限位移 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 定量分析，隨體坐標(biāo)系 Oz軸轉(zhuǎn)過(guò) ?角后，此時(shí)，剛體上任意一點(diǎn) M?在固定參考系 Oxyz中的坐標(biāo)為 1000c o ss in0s inc o s111111111???????????????????????zyxzzyxyzyxx????1x?1y? M?寫為矩陣形式 ??????????????????????? ????????????1111000c o ss i n0s i nc o szyxzyx????令 ? ??????????? ??1000c o ssi n0si nc o s?????C稱為 方向余弦矩陣 。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) ??????????????????????????????????????222111c o ssi n0si nc o s0001zyxzyx????? ??????????????????c o ssi n0si nc o s0001C 同理，繞軸 ON(或 Ox?1)轉(zhuǎn)過(guò) ?角 (圖 1— 7b)， 隨體參考系到達(dá) Ox?2y?2z?2所示位置，剛體上任意一點(diǎn) M在兩個(gè)參考系中的坐標(biāo)有下列關(guān)系： 令 1y?2y?1z?2z? 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 2x?3x?2y?3y???????????????????????? ???????????????3332221000c o ssi n0si nc o szyxzyx????? ??????????? ??1000c o ssi n0si nc o s?????C 同理，若剛體繼續(xù)繞軸 Oz?2轉(zhuǎn)過(guò)角 ?至 Ox?3y?3z?3所示位置，則剛體上 M點(diǎn)在 Ox?2y?2z?2與 Ox?3y?3z?3兩個(gè)參考系中的坐標(biāo)有下列關(guān)系： 令 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) ??????????????????????? ?????????????????????? ????????????zyxzyx1000c o ss i n0s i nc o sc o ss i n0s i nc o s00011000c o ss i n0s i nc o s???????????? 此時(shí)，隨體參考系變化到了 Ox?3y?3z?3位置，剛體上任意一點(diǎn) M在固定參考系 Oxyz中的坐標(biāo)為 令 ? ? ? ? ? ? ? ???????????????????????????????????????????????????????c o sc o ssi nsi nsi nsi nc o sc o sc o sc o ssi nsi nsi nc o sc o sc o ssi nsi nsi nc o sc o ssi nsi nc o ssi nc o ssi nc o sc o s, CCCC? ?????????????????????????zyxCzyx??? ,上式可寫為 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 如果已知?jiǎng)傮w的連體坐標(biāo)系相對(duì)定參考系的歐拉角，則可以計(jì)算出剛體的連體坐標(biāo)系相對(duì)定參考系的方向余弦矩陣； 反過(guò)來(lái)，如果已知?jiǎng)傮w的連體坐標(biāo)系相對(duì)定參考系的方向余弦矩陣，那么 反解矩陣方程 ，則可得到確定其歐拉角的幾個(gè)表達(dá)式，即 ????????????????????????????s i ns i n,s i nc o ss i ns i n,s i nc o s1s i n,c o s3132132323333cccccc其中， cij表示方向余弦矩陣 C(?,?, ?)中的第 i行的第 j列元素（ i，j = 1， 2， 3）注意求得的歐拉角將是多組解，但各組解的剛體位置是相同的，因此，只選擇其中的一組解。 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 例 11 設(shè)有一△ OAB由圖 (a)所示的位置繞點(diǎn) O運(yùn)動(dòng)至圖 (b)所示的位置，圖中固定坐標(biāo)系為 Oxyz和 隨體 坐標(biāo)系為 Ox?y?z?。求△ OAB運(yùn)動(dòng)至圖 (b)所示的位置時(shí)，其連體坐標(biāo)系相對(duì)固定坐標(biāo)系的歐拉角。 x x?yy?z z?xx?yy?zz? 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) ?????????????001100010][ C11s i n,0c os 23333 ????? cc ??解：由圖 (b)所示的幾何關(guān)系可以看出，其連體坐標(biāo)系相對(duì)固定坐標(biāo)系的方向余弦矩陣為 由式中的第一、二式，得到 xx?yy?zz?2?? ?章動(dòng)角為 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 010s i ns i n,111s i nc o s 1323 ????????? ???? cc11 1s i ns i n,010s i nco s 3132 ???????? ???? cc2?? ??22?????? ???? 、進(jìn)動(dòng)角為 ? =? 自轉(zhuǎn)角為 歐拉角為 機(jī)械學(xué)院 剛 體 動(dòng) 力 學(xué) 2。 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移定理 (達(dá)朗貝爾 — 歐拉定理 ) 隨體坐標(biāo)系由最初位置至任一位置，可依次轉(zhuǎn)過(guò)三個(gè)歐拉角達(dá)到，下面將證明