【正文】 1 數(shù) 理 統(tǒng) 計 2 第八章 假設檢驗 關鍵詞： 假設檢驗 正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗 分布擬合檢驗 秩和檢驗 3 167。 1 假設檢驗 統(tǒng)計推斷的另一類重要問題是假設檢驗問題。它包括 （ 1）已知總體分布的形式，但不知其參數(shù)的情況，提出參數(shù)的假設，并根據(jù)樣本進行檢驗 . （ 2）在總體的分布函數(shù)完全未知的情況下，提出總體服從某個已知分布的假設，并根據(jù)樣本進行檢驗 . 4 例 1 設某種清漆的 9個樣品，其干燥時間（以小時計）分別 為： 根據(jù)以往經(jīng)驗，干燥時間的總體服從正態(tài)分布 N(, 6),現(xiàn)根據(jù)樣本檢驗均值是否與以往有顯著差異？ 例 2 一種攝影藥品被其制造商聲稱其貯藏壽命是均值 180天、標準差不多于 10天的正態(tài)分布。某位使用者擔心標準差可能超過 10天。他隨機選取 12個樣品并測試，得到樣本標準差為 14天。根據(jù)樣本有充分證據(jù)證明標準差大于 10天嗎？ 例 3 孟德爾遺傳理論斷言，當兩個品種的豆雜交時，圓的 和黃的、起皺的和黃的、圓的和綠的、起皺的和綠的豆的頻數(shù)將以比例 9： 3： 3： 1發(fā)生。在檢驗這個理論時，孟德爾分別得到頻數(shù) 31 10 10 3這些數(shù)據(jù)提供充分證據(jù)拒絕該理論嗎？ 5 參數(shù)的假設檢驗問題處理步驟 ? 1. 根據(jù)實際問題的要求，提出原假設 和備擇假設 ； ? 2. 根據(jù)樣本 X_i， 確定檢驗統(tǒng)計量 T(X_i)以及拒絕域（拒 絕原假設的區(qū)域）的形式； ? 3. 給定顯著性水平 ，按照“在原假設 H0成立時，拒絕原假 設的概率不大于顯著性水平 ? ”這一原則，確定拒絕 域； ? 4．根據(jù)樣本觀測值作出決策，接受原假設還是拒絕原假 設。 1H0H6 例 1 設某種清漆的 9個樣品，其干燥時間（以小時計）分別為： 根據(jù)以往經(jīng)驗，干燥時間的總體服從正態(tài)分布 N(, 6),現(xiàn)根據(jù)樣本檢驗均值是否與以往有顯著差異？ 1: 6 . 0 : 6 . 0HH????0原 假 設 ， 備 擇 假 設, 6 .0 .X X c??檢 驗 統(tǒng) 計 量 為 檢 驗 拒 絕 域 的 形 式 為,??解 ： 設 分 別 表 示 干 燥 時 間 總 體 的 均 值 和 標 準 差 ， 由于作出決策的依據(jù)是一個樣本，因此，可能出現(xiàn)“ 實際上原假設成立，但根據(jù)樣本作出拒絕原假設 ” 的決策。這種錯誤稱為 “ 第一類錯誤 ” ，實際中常常將犯第一類錯誤的概率控制在一定限度內，即事先給定較小的數(shù) α (0α 1)（稱為顯著性水平） ,使得 0 ( 6. 0 )HP X c ?? ? ?7 0 . 0 2 565 .8 7 , 0 .6 7 1 .9 6 .0 .26xxzxx ??? ? ? ??根 據(jù) 樣 本 得即 不 落 在 拒 絕 域 內 ， 與 的 差 異 不 顯 著 ， 因 此接 受 原 假 設 ， 認 為 干 燥 時 間 的 均 值 與 以 往 無 顯 著 差 異 。2 0 . 0 2 56 . 0 1 . 9 60 . 2X zz?? ? ? ?拒 絕 域 為 ：22 90 . 0 5 ,~ ( 6 . 0 , 0 . 6 ) , ~ ( 6 . 0 , )X N X N? ?給 定 顯 著 性 水 平 當 原 假 設 成 立 時 ，總 體 因 此 ，6 . 0( 6 . 0 ) ( )0 . 6 3 0 . 6 3X cP X c P ??? ? ? ? ?上述檢驗法則符合實際推斷原理。 8 注 釋 1： 假設檢驗中的 4種可能結果 通常，犯第一類錯誤的概率、犯第二類錯誤的概率、樣本容量可以看作為 “ 三方拔河 ” 。 決策 原假設 H0 真的 假的 不拒絕 H0 拒絕 H0 正確決策 第二類錯誤 第一類錯誤 正確決策 第一類錯誤：原假設 H0成立時，作出拒絕原假設的決策； 第二類錯誤：備擇假設 H1成立時，作出接受原假設的決策。 9 這是一對矛盾，要同時減少犯第一、第二類錯誤，只有增大樣本容量。 2 2 2 26. 0()0. 25. 4( 3 3 ) ( 3 )0. 2XPzXP z z z??? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ?第 二 類 錯 誤 的 概 率5. 4?? ?例 如 ， 設 顯 著 性 水 平 為 ， 計 算 上 例 中 犯 第 一 類 錯 誤 的 概 率和 時 犯 第 二 類 錯 誤 的 概 率 ：626 . 0()0 . 2XPz?? ??? ??解 ： 第 一 類 錯 誤 的 概 率2222( 3 )( 3 ) , ,zzzz????????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?從 中 可 以 看 出 ， 當 樣 本 量 固 定 時 ， ， ；反 之 ， 。10 注釋 2： 假設檢驗與區(qū)間估計的比較。 即拒絕域可以這樣得到：將置信區(qū)間不等號反向，將原假設 成立時的值代入到參數(shù)中即可。 2~ ( , 0 . 6 )XN ?在 上 例 中 ， 若 總 體 的 均 值 未 知 ， 即1 2 922, , ..., , 1 X X XX z X z????? ? ? ?對 于 樣 本 設 置 信 度 為 － ，則 置 信 區(qū) 間 為 ： ，2 10 . 2XPz??? ??????? ? ?????即 ：0 0 1: 6 . 0 , : 6 . 0 ,HH? ? ?? ? ?對 于 假 設 檢 驗 問 題26 . 00 . 2X z??? ?顯 著 性 水 平 為 的 檢 驗 拒 絕 域 為 ： ,0000221 , ,0 . 2 0 . 2XXP z P z? ? ? ??? ??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?26 . 00 . 2X z?? ?接 受 域 為 ：11 167。 2 正態(tài)總體均值方差的假設檢驗 ? ? ? ?2 , N ? ? ?一 單 個 正 態(tài) 總 體 均 值 的 檢 驗? ?2212, , , , , , nX X X N X S? ? ?來 自 和 分 別 為 樣 本 均 值 和 方 差 顯 著 性 水 平 為0 1 0: , :HH? ? ? ???0 ? ? 21 ? 已 知 時? ?0 ~ 0 , 1XHN n?? ?0在 為 真 時 ， 0X cn??? ?檢 驗 拒 絕 域 形 式 為 ：02,XPzn ????????????????根 據(jù) 犯 第 一 類 錯 誤 概 率 不 大 于 即02 .XZ z Zn ??????拒 絕 域 為 ： 檢 驗 法12 0 1 0: , :HH? ? ? ???0右 邊 檢 驗? ?00 ~ 0 , 1 ,XHN n? ??? ? ?在 為 真 時 ， ( ) ,kk znn ??????? ? ? ?故 只 要 即 便 可 ，0 .XZz??????因 此 ， 拒 絕 域 為 ： n0 0 1 0:: , :.HH? ? ? ???思 考 題 左 邊 檢 驗請 給 出 檢 驗 的 拒 絕 域00:: , ( 0 ):X k kXzn????? ? ? ????解 答拒 絕 域 形 式 為拒 絕 域 為0,.X X k???檢 驗 統(tǒng) 計 量 為 檢 驗 拒 絕 域 的 形 式 為? ? ? ?00 0 0P H H P X k?? ??? ? ?當 為 真 拒 絕00kXPnn?????????? ??? ? ?????????01 ( )kn???? ? ?00( ) ,kn?? ? ? ????? ? ? ?0() kn?? ?????由 于 是 的 增 函 數(shù) ，? ? 21 ? 已 知 時13 ? ? 22 ? 未 知 時? ?0 ~1X tnSn ?? ?當 原 假 設 成 立 時 , ? ?0 2:1XP t nSn ?? ??????? ? ?????拒 絕 域 滿 足0XSn?? ?拒 絕 域 的 形 式 為 : c ,02 ( 1 )Xt t n tSn ???? ? ?因 此 , 拒 絕 域 為 ： 檢 驗 法0t1??2? 2?0t?0 0 1 0: , :HH? ? ? ???2( 1)tn? ?2( 1)tn???0,.X X k???檢 驗 統(tǒng) 計 量 為 檢 驗 拒 絕 域 的 形 式 為2 0Xn????由 于 未 知 ， 故 不 能 用 來 確 定 拒 絕 域 了 。0SXtSn?????用 的 估 計 量 代 替 ，采 用 作 檢 驗 統(tǒng) 計 量 。14 0 1 0: , :HH? ? ? ???000 ~ ( 1 )X tnSn??? ???當 時 ， ( 1 )k tnSn ???即0 ( 1 ) .Xt t nSn ???? ? ?因 此 ， 拒 絕 域 為 ： 0 0 1 0:: , :.HH? ? ? ???思 考 題請 給 出 檢 驗 的 拒 絕 域00:: , ( 0 ): ( 1 )X k kXtnSn???? ? ? ??? ? ?解 答拒 絕 域 形 式 為拒 絕 域 為0,.X X k???檢 驗 統(tǒng) 計 量 為 檢 驗 拒 絕 域 的 形 式 為? ? ? ?00 0 0P H H P X k?? ??? ? ?當 為 真 拒 絕00kXPS n S n???????? ??? ? ?????????0XStSn??? ??由 于 未 知 ， 用 估 計 量 代 替 ， 采 用 作 檢 驗 統(tǒng) 計 量 。0X kPS n S n??????? ? ?????????00X kPS n S n??? ???????? ? ?????? ? 22 ? 未 知 時15 例 2 某種元件的壽命 X（以小時記）服從正態(tài)分布 均未知?，F(xiàn)測得 16只元件的壽命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 問是否有理由認為元件的平均壽命大于 225（小時）？（取顯著性水平為 ） 2( , ),N ??2,??01: 22 5 : 22 ? ? ?? ? ?0解 ： 按 題 意 需 檢 驗，0 ( 1 ) .Xt t nSn ???? ? ?拒 絕 域 為 ： 0 . 0 51 6 , ( 1 5 ) 1 . 7 5 3 1 . 2 4 1 . 5 , 9 8 . 7 2 5 9n t x s? ? ? ?0 .6 6 8 5 1 .7 5 3 1 ( 1 5 ) .XttSn??? ? ? ?計 算 得 ：t沒有落在拒絕域內，故接受原假設， 認為元件的平均壽命不大于 225小時。 16 例 3 要求某種元件的平均使用壽命不得低于 1000小時，生產(chǎn)者從一批這種元件中隨機抽取 25件，測得其平均壽命為 950小時，標準差為 100小時。已知這批元件的壽命服從正態(tài)分布。試在顯著性水平 合格？ 01: 10 00 : 10 00 .HH? ? ?? ? ?0解 ： 按 題 意 需 檢 驗，0 ( 1 ) .Xt t nSn ???? ? ? ?拒 絕 域 為 ： 0 . 0 52 5 , ( 2 4 ) 1 . 7 1 0 9 . 9 5 0 , 1 0 0n t x s? ? ? ?0. 5 1. 71 09 ( 24 ) .XttSn??? ? ? ? ? ? ?計 算 得 ：t落在拒絕域內，故拒絕原假設， 認為這批元件的平均壽命小于 1000小時，不合格。 17 ? ? ? ? ? ?221 1 2 2 , , ,NN? ? ? ?二 兩 個 正 態(tài) 總 體 均 值 差 的 檢 驗? ? ? ?1221 2 1 1 2 2