【正文】 兩組中處于不同等級(jí)的患者人數(shù)如下表： 等級(jí) 差 較差 一般 較好 好 新療法組 0 1 9 7 3 原療法組 2 2 11 4 1 由此結(jié)果能否認(rèn)為新方法的療效顯著地優(yōu)于原療法？ （ α = ） 67 解 ： 設(shè)想各病人的療效用 5 個(gè)不同的值表示，其中 0+ 2= 2 位病人取得最小值， 1+ 2= 3 位取得次小值， 9+ 1 1= 20 位取得中間值， 7+ 4= 1 1位取得次最大值以及 3+ 1= 4 位取最大值。 此 時(shí) 的 秩 和 用 表 示 ， 可 以 證 明 ， 當(dāng) 為 真 時(shí) ，212* 11 1 2( 1 )1( ) ( 1 )12 12 ( 1 )kiiin n t tD R n n nnn??? ? ???*111( ) ( 1 )2E R n n??**1112 *1(), 1 0 ,()R E Rn n ZDR???當(dāng) 令 則 可 近 似 作 正 態(tài) 檢 驗(yàn) 。（取 α=） A B 01,: , : .ABA B A BABHH??? ? ? ???解 ： 分 別 以 記 公 司 的 商 品 次 品 率 總 體 均 值 ，要 檢 驗(yàn) 的 假 設(shè) 為1 1 01 1 1 2 1 1 2 1 210 , 13 ,11( ) ( 1 ) 120 , ( ) ( 1 ) 260 .2 12n n HE R n n n D R n n n n??? ? ? ? ? ? ? ?當(dāng) 為 真 時(shí) ,11( 1 2 0 , 2 6 0 ) ,1201 . 9 6260RNRZz?? ? ?近 似 地 有 ～近 似 拒 絕 域 為11 1 6 ,1 1 6 1 2 00 . 2 5 1 . 9 6260r ????根 據(jù) 樣 本 計(jì) 算 得兩 公 司 商 品 質(zhì) 量 無(wú) 顯 著 差 異 。問(wèn)兩公司的商品的質(zhì)量有無(wú)顯著差異。充分長(zhǎng)一段時(shí)間后，由專家通過(guò)各種方式（如考試、提問(wèn)等）對(duì)這 10 名學(xué)生的數(shù)學(xué)能力予以綜合評(píng)估（為公平起見(jiàn)，假定專家對(duì)各個(gè)學(xué)生屬于哪一組并不知道），并按其數(shù)學(xué)能力由弱到強(qiáng)排序，結(jié)果如下： 新方法 3 5 7 9 10 原方法 1 2 4 6 8 對(duì) α =0. 05 ， 檢驗(yàn) 新方法是否比原方法顯著地提高了教學(xué)效果；若排序結(jié)果為 新方法 4 6 7 9 1 0 原方法 1 2 3 5 8 情況又如何？ 62 解： 設(shè)第 1， 2總體分別為新舊方法的排名（秩） 0 1 2 1 1 2: , :HH? ? ? ???則 檢 驗(yàn) 問(wèn) 題 相 當(dāng) 于；? ?1215 , 0 . 0 5 , 0 . 0 5 3 636.Ln n Cr?? ? ? ??查 附 表 ， ，即 拒 絕 域 為?1 3 5 7 9 1 0 3 4 3 6r ? ? ? ? ? ? ?題 目 中 的 第 一 張 表 ， 新 方 法 的 秩 和即 不 能 認(rèn) 為 新 方 法 顯 著 提 高 了 教 學(xué) 效 果 ；1 4 6 7 9 1 0 3 6r ? ? ? ? ? ?題 目 中 的 第 二 張 表 ， 新 方 法 的 秩 和可 以 認(rèn) 為 新 方 法 顯 著 提 高 了 教 學(xué) 效 果 。60 ? ? ? ?1 22 ,ULR C C??例 秩 和 的 分 布 律 及 臨 界 值 的 確 定 .秩 R1 秩 R1 秩 R1 秩 R1 秩 R1 123 6 124 7 125 8 126 9 127 10 134 8 135 9 136 10 137 11 145 10 146 11 147 12 156 12 157 13 167 14 234 9 235 10 236 11 237 12 245 11 246 12 247 13 256 13 257 14 267 15 345 12 346 13 347 14 356 14 357 15 367 16 456 15 457 16 467 17 567 18 ? ? ? ?? ? ? ?0 .2 , 0 .1 7 , 0 .1 1 7 。? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?0 1 1220 1 0 12 2 2 2,a U La U a LP R C o r R CP R C P R C??? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ?則 犯 第 I 類 錯(cuò) 誤 概 率。 12121 2 1 2, , . . . , , , . . . ,nnX Y n nx x x y y y定 義 2 設(shè) 兩 總 體 的 容 量 分 別 為 的 樣 本 為， ，12( 1 ) ( 2 ) ( )... nnz z z ?? ? ?將 它 們 合 起 來(lái) 并 從 小 到 大 排 序 為 ，12,.X R Y R其 中 的 樣 本 值 記 為 的 樣 本 值 記 為秩 和 秩 和1 1 1 1 1 211( 1 ) ( 2 1 )22n n n n n? ? ? ? ?R( 1 ) ( 2 ) ( )( ) ( )...1 , 2 , ..., .niix x xx i x i n? ? ??，稱 的 足 標(biāo) 為 的 ，秩1 2 1 2 1 2 1 21 ( ) ( 1 )2R R R R n n n n? ? ? ? ?則 ， 為 離 散 型 變 量 ， 。檢驗(yàn)是否組 1的分?jǐn)?shù)顯著高于組 2的分?jǐn)?shù)。這些數(shù)據(jù)能否檢驗(yàn)假設(shè)：男女的脈搏率分布是不同的？ 男 61 73 58 64 70 64 72 60 65 80 55 72 56 56 74 65 女 83 58 70 56 76 64 80 68 78 108 76 70 97 ? 例如二 在一項(xiàng)探討“藝術(shù)風(fēng)格和圖畫(huà)數(shù)量對(duì)一年級(jí)兒童的數(shù)學(xué)理解力的影響”的研究中，分析認(rèn)為，那些一開(kāi)始就看了圖畫(huà)序列的學(xué)生比只看單個(gè)圖畫(huà)的學(xué)生有顯著高的故事性相應(yīng)得分。即 1 2 1 2( ) ( ) , ( ) ( )f x f x f x f x a??設(shè) 兩 總 體 的 概 率 密 度 分 別 為 ， 則121 1 2 2 2,( ) ( ) ( ) ( )t x ax f x d x x f x a d x t a f t d t a??????? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?若 兩 總 體 的 均 值 存 在 ， 分 別 記 為 ， 則. 010101: 0 , : 0 .: 0 , : 0 .: 0 , : 0 .H a H aH a H aH a H a??????檢 驗(yàn) 假 設(shè)0 1 2 1 1 20 1 2 1 1 20 1 2 1 1 2: , : .: , : .: , : .HHHHHH? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ???57 ? 例如一 通常認(rèn)為男女的脈搏率是沒(méi)有顯著差異的。 兩個(gè)獨(dú)立總體均值差的 t檢驗(yàn)是基于兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布，且方差未知但相等的情形。56 167。1 4 2 4U z U z?????于 是 對(duì) 給 定 顯 著 性 水 平 ， 檢 驗(yàn) 的 拒 絕 域 為 ：或 。 ? ?331 32()()( ( ) )()XE X E XX E XEDXDX????? ???? ????????????偏 度定 義 ： 隨 機(jī) 變 量 的 ：，? ? 442 2()()( ( ) )()E X E XX E XEDXDX????? ????????????????峰 ：度 ，2 12~ ( , ) , 0 , ? ? ? ???當(dāng) 時(shí)200 1 2: ~ ( , ): 0 , 3 .H X NH????? ??于 是 ， 將 檢 驗(yàn) 的 問(wèn) 題 轉(zhuǎn) 化 為檢 驗(yàn)53 11,()2 , 3 , 4 ,nnkiikX X XXXB k kn?????設(shè) 是 總 體 的 樣 本 ，（ ） 是 樣 本 階 中 心 矩3 4123 2 2221 2 1 2.,B BGGBBGG ????定 義 ： ： ， ：則 分 別樣 本 偏 度 樣 本 峰是度的 矩 估 計(jì) 。于是檢驗(yàn) 22( )201: ( ) , 2xH X f x e x????? ? ? ? ?的 概 率 密 度 為22022( 1 4 3 . 8 )26? ?1 4 3 .8 , 6 .0 ,1?( ) ,26xHXf x e x????????? ? ? ? ? ??2中 μ ,σ 未 知 ， 先 求 出 其 最 大 似 然 估 計(jì) 分 別 為此 時(shí) 的 概 率 密 度 的 估 計(jì) 為51 x≤ x≤ x≤ x≤ x≤ x≤ x∞ 1 4 10 33 24 9 3 Σ= iA if ?ip ?inp ?2iif np2A3A4A5A6A7A1A ?????????????????? 2 8 7 . 6 7 8 4 3 . 6 7? ??220. 1 0. 1( 1 ) ( 2) ?? ? ? ?故在水平 H0,認(rèn)為數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)總體。 注： 直方圖的小區(qū)間可以不等長(zhǎng)，但小區(qū)間的長(zhǎng)度不能太大，否則平均化作用突出，淹沒(méi)了密度的細(xì)節(jié)部分；也不能太小，否則受隨機(jī)化影響太大，產(chǎn)生極不規(guī)則的形狀。在檢驗(yàn)這個(gè)理論時(shí)，孟德?tīng)柗謩e得到頻數(shù) 31 10 10 3這些數(shù)據(jù)提供充分證據(jù)拒絕該理論嗎？ 0 1 2 3 41,2349 3 3 1: ( 1 ) , ( 2) , ( 3 ) , ( 4) .16 16 16 16XH p P X p P X p P X p P X???? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?若 豆 子 是 圓 的 和 黃 的， 若 豆 子 是 起 皺 的 和 黃 的解 ： 定 義， 若 豆 子 是 圓 的 和 綠 的， 若 豆 子 是 起 皺 的 和 綠 的豆子狀態(tài) x 1 2 3 4 實(shí)測(cè)頻數(shù) 315 101 108 32 概率 9/16 3/16 3/16 1/16 理論頻數(shù) ifipinp2220 . 0 5 010 .4 7 ( 3 ) 7 .8 1 5 , .kii if nHnp???? ? ? ? ?? 接 受47 141 148 132 138 154 142 150 146 155 158 150 140 147 148 144 150 149 145 149 158 143 141 144 144 126 140 144 142 141 140 145 135 147 146 141 136 140 146 142 137 148 154 137 139 143 140 131 143 141 149 148 135 148 152 143 144 141 143 147 146 150 132 142 142 143 153 149 146 149 138 142 149 142 137 134 144 146 147 140 142 140 137 152 145 例 3 下面列出了 84個(gè)伊特拉斯坎 (Etruscan)人男子 的頭顱的最大寬度 (mm)，試檢驗(yàn)這