【正文】 解：（1），得（2）（5）E (X) = mp 令mp = ， 。（2） 其中θ0，θ為未知參數(shù)。求下列各總體的密度函數(shù)或分布律中的未知參數(shù)的矩估計(jì)量。解：μ，σ2的矩估計(jì)是 。（1）寫出X1，…，X10的聯(lián)合概率密度（2）寫出的概率密度。（2）求概率P {max (X1，X2，X3，X4，X5)15}.（3）求概率P {min (X1，X2，X3，X4，X5)10}.解：（1） =（2）P {max (X1，X2，X3，X4，X5)15}=1－P {max (X1，X2，X3，X4，X5)≤15} =（3）P {min (X1，X2，X3，X4，X5)10}=1－ P {min (X1，X2，X3，X4，X5)≥10} =4.[四] 設(shè)X1，X2…，X10為N（0，）的一個(gè)樣本，求解：7．設(shè)X1，X2，…，Xn是來(lái)自泊松分布π (λ )的一個(gè)樣本，S2分別為樣本均值和樣本方差，求E (), D (), E (S 2 ).解：由X~π (λ )知E (X )= λ ，∴E ()=E (X )= λ, D ()=[六] 設(shè)總體X~b (1,p)，X1，X2，…，Xn是來(lái)自X的樣本。第六章 樣本及抽樣分布1.[一] 在總體N（52，）中隨機(jī)抽一容量為36的樣本。從而U，V獨(dú)立。解：（1）設(shè)每個(gè)部件為Xi (i=1,2,……100)設(shè)X是100個(gè)相互獨(dú)立，服從（0－1）分布的隨機(jī)變量Xi之和X=X1+ X2+……+ X100由題設(shè)知 n=100 P {Xi=1}=p=, P {Xi=0}= E (Xi ) =p= D (Xi ) =p (1－p)== n（2）一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，由n個(gè)互相獨(dú)立起作用的部件所組成，每個(gè)部件的可靠性（即部件工作的概率）。為了整個(gè)系統(tǒng)起作用至少必需有85個(gè)部件工作。 于是： 8．某藥廠斷言，醫(yī)院檢驗(yàn)員任意抽查100個(gè)服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言。有 （2）設(shè)商店倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存a公斤該產(chǎn)品，使得P {Y ≤ a}由相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，并注意到（1），得Y～ N（1200，1225）查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知∴ a至少取1282.第五章 大數(shù)定理和中心極限定理1．[一] 據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)?zāi)撤N電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布，現(xiàn)在隨機(jī)的抽取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這16只元件壽命總和大于1920小時(shí)的概率。已知E X1=200，E X2=240，E X3=180，E X4=260，E X5=320，D (X1)=225，D (X2)=240，D (X3)=225，D (X4)=265，D (X5)=270，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)3176。）而E Z1=2EX+Y=2720+640, D (Z1)= 4D (X )+ D (Y )= 4225E Z2=EX－EY=720－640=80, D (Z2)= D (X )+ D (Y )= 1525即 Z1～N（2080，4225）， Z2～N（80，1525）P {XY }= P {X－Y 0 }= P {Z20 }=1－P {Z2 ≤0 }=P {X+Y 1400 }=1－P {X+Y ≤1400 }同理X+Y～N（1360，1525）則P {X+Y 1400 }=1－P {X+Y ≤1400 } =[二十二] 5家商店聯(lián)營(yíng)，它們每周售出的某種農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量（以kg計(jì)）分別為X1，X2，X3，X4，X5，已知X1～N（200，225），X2～N（240，240），X3～N（180，225），X4～N（260，265），X5～N（320，270），X1，X2，X3，X4，X5相互獨(dú)立。），Z2～N（有D (Y )=22 D (X1 )+ (－1)2 D (X2 )+32 D (X3 )+()2 D (X4 )=（2）根據(jù)有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，知Z1～N（有E (Y )= 2E (X1 )－E (X2 )+3 E (X3 )－E (X4 )=7利用數(shù)學(xué)方差的性質(zhì)2176。（2）設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且X～N（720，302），Y～N（640，252），求Z1=2X+Y，Z2=X－Y的分布，并求P {XY }, P {X+Y1400 }解：（1）利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2176。[二十一]（1）設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立，且有E (Xi )=i, D (Xi )=5－i, i=1,2,3,4。)故29．[二十三] 卡車裝運(yùn)水泥，設(shè)每袋水泥重量（以公斤計(jì)）服從N（50,）.解：已知X～N（50,）=AX～N（50A,）.故由題意得P {Y≥2000}≤即 解得A≥39.30.[三十二] 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700，利用契比雪夫不等式估計(jì)每毫升含白細(xì)胞數(shù)在5200～9400之間的概率p.解：由題意知μ=7300,σ=700，則由契比雪夫不等式31.[三十三]對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量V,W若E(V2 )E (W2 )存在,證明[E (VW)]2≤E (V2 )E (W 2 )這一不等式稱為柯西施瓦茲（CauchySchwarz）不等式.證明：由和關(guān)于矩的結(jié)論，知當(dāng)E (V2 ), E (W 2 )存在時(shí)E (VW)，E(V ), E(W ), D (V ), D (W ), (V2 ), E (W 2 )至少有一個(gè)為零時(shí)，不妨設(shè)E (V2 )=0，由D (V )= E (V2 )－[E (V )]2≤E (V2 )=0知D (V )=0，此時(shí)[E (V )]2 = E (V2 )=0即E (V )=0。試求Z1= αX+βY和Z2= αX－βY的相關(guān)系數(shù)（其中是不為零的常數(shù)）.解：由于X，Y相互獨(dú)立Cov(Z1, Z2)=E(Z1,Z2)－E(Z1) E(Z2)=E (αX+βY ) (αX－βY )－(αEX+βEY ) (αEX－βEY ) =α2EX 2－βEY 2－α2 (EX ) 2+β(EY ) 2=α2DX－β 2DY=(α2－β 2) σ 2DZ1=α2DX+β 2DY=(α2+β 2) σ 2, DZ2=α2DX+β 2DY=(α2+β 2) σ 2,(利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2176。解：E (W )= E (X+Y+Z)= E (X )+ E (Y )+ E (Z )=1+1－1=1 D (W )= D (X+Y+Z)=E{[ (X+Y+Z)－E (X+Y+Z)]2} = E{[ X－E (X )]+[ Y－E (Y )]+Z－E (Z )}2 = E{[ X－E (X )]2+[ Y－E (Y )]2+ [Z－E (Z )]2+2[ X－E (X )] [ Y－E (Y )] +2[ Y－E (Y )] [Z－E (Z )]+2[Z－E (Z )] [ X－E (X )]} = D (X )+D (Y )+D (Z )+2 COV(X, Y )+ 2 COV(Y, Z )+ 2 COV(Z, X ) = D (X )+D (Y )+D (Z )+2 +=1+1+1+2 26.[二十八] 設(shè)隨機(jī)變量（X1，X2）具有概率密度。EY = (－1)(－1) +(－1)1+1(－1)+11=0∴ X，Y是不相關(guān)的27．已知三個(gè)隨機(jī)變量X，Y，Z中，E (X )= E (Y )=1, E (Z )=－1，D (X )=D (Y )=D (Z )=1, ρXY=0 ρXZ=，ρYZ=－。)（2）首先證于是（3） 23．[二十五] 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布為：XY－101－1001驗(yàn)證：X和Y不相關(guān)，但X和Y不是相互獨(dú)立的。) (利用方差的性質(zhì)2176。解：又D (X )= E (X 2 )－E 2 (X )=2θ2－θ2=θ221．設(shè)X1, X2 ,…, Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量且有,i=1,2,…, ，.（1）驗(yàn)證（2）驗(yàn)證.（3）驗(yàn)證E (S 2 )證明：（1）(利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2176。解：（1） D (X* )= E [X*－E (X )* ]]2= E (X*2 )= = （2） 16.[十六] 設(shè)X為隨機(jī)變量，C是常數(shù)，證明D (X )E {(X－C )2 }，對(duì)于C≠E (X )，（由于D (X ) = E {[X－E (X )]2 }，上式表明E {(X－C )2 }當(dāng)C=E (X )時(shí)取到最小值。設(shè) i=1, 2 …… n則試開到能開門所須試開次數(shù)為Xii0P∵ E (Xi)= i=1, 2……n∴ 15. （1）設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E (X)，方差為D (X)0，引入新的隨機(jī)變量（X*稱為標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量）：驗(yàn)證E (X* )=0，D (X* )=1（2）已知隨機(jī)變量X的概率密度。（1）寫出X的分布律，（2）不寫出X的分布律。設(shè)抽取鑰匙是相互獨(dú)立的，等可能性的。解：設(shè)X為圓盤的直徑，則其概率密度為用Y表示圓盤的面積，則12.[十三] 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2的概率密度分別為求（1）E (X1+X2)，E (2X1－3)；（2）又設(shè)X1，X2相互獨(dú)立，求E (X1X2)解：（1） = （2） = （3）13.[十四] 將n只球（1～n號(hào)）隨機(jī)地放進(jìn)n只盒子（1～n號(hào)）中去，一只盒子裝一只球。解：一臺(tái)設(shè)備在一年內(nèi)損壞的概率為故設(shè)Y表示出售一臺(tái)設(shè)備的凈贏利則 故 11.[十一] 某車間生產(chǎn)的圓盤直徑在區(qū)間（a, b）服從均勻分布。若工廠出售一臺(tái)設(shè)備可贏利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元。(3) 設(shè)Z= (X－Y )2，求E (Z)。解：（1） （2） 8.[八] 設(shè)（X，Y）的分布律為XY123－10100(1) 求E (X)，E (Y )?！? 事件 {X=1}={一只球裝入一號(hào)盒，兩只球裝入非一號(hào)盒}+{兩只球裝入一號(hào)盒，一只球裝入非一號(hào)盒}+{三只球均裝入一號(hào)盒}（右邊三個(gè)事件兩兩互斥）∴ ∵事件“X=2”=“一只球裝入二號(hào)盒，兩只球裝入三號(hào)或四號(hào)盒”+“兩只球裝二號(hào)盒，一只球裝入三或四號(hào)盒”+“三只球裝入二號(hào)盒”∴ 同理： 故 5.[五] 設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間間段里，其電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間X（以分計(jì)）是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量。）解：設(shè)表示一次抽檢的10件產(chǎn)品的次品數(shù)為ξP=P（調(diào)整設(shè)備）=P (ξ1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]1－=.因此X表示一天調(diào)整設(shè)備的次數(shù)時(shí)X～B(4, ). P (X=0)= =.P (X=1)==, P (X=2)= =.P (X=3)==, P (X=4)= =E (X)=np=4=3.[三] 有3只球，4只盒子，盒子的編號(hào)為1，2，3，4，將球逐個(gè)獨(dú)立地，隨機(jī)地放入4只盒子中去。每次隨機(jī)地抽取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如果發(fā)現(xiàn)其中的次品數(shù)多于1，就去調(diào)整設(shè)備，以X表示一天中調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，試求E (X)。解：設(shè)X1，X2，X3，X4為4只電子管的壽命，它們相互獨(dú)立，同分布，其概率密度為：設(shè)N=min{X1，X2，X3，X 4} P {N180}=P {X1180, X2180, X3180, X4180} =P {X180}4={1－p[X180]}4= ()4=27.[二十八] 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為XY01234501230（1）求P {X=2|Y=2}，P {Y=3| X=0}（2）求V=max (X, Y )的分布律（3）求U = min (X, Y )的分布律解：（1）由條件概率公式P {X=2|Y=2}= = =同理 P {Y=3|X=0}=（2）變量V=max{X, Y }顯然V是一隨機(jī)變量，其取值為 V：0 1 2 3 4 5P {V=0}=P {X=0 Y=0}=0P {V=1}=P {X=1，Y=0}+ P {X=1，Y=1}+ P {X=0，Y=1} =++=P {V=2}=P {X=2，Y=0}+ P {X=2，Y=1}+ P {X=2，Y