【正文】 22. ( 5 0 )()()( 1 )( 1 ) .k k ki i i iii i ii i in n Hf f n p fnpnp n n p n pkk?????? ? ???? ? ? ? ????? ? ?定 理 若 充 分 大 ， 則 當(dāng) 為 真 時(shí) ， 統(tǒng) 計(jì) 量近 似 服 從 分 布 。 因 此 檢 驗(yàn) 拒 絕 域 為0 ()H X F x r： 當(dāng) 中 所 假 設(shè) 的 的 分 布 函 數(shù) 含 有 個(gè) 未注 1 知 參 數(shù) 時(shí) ，0?? ()i i H ip p P A?先 用 樣 本 求 出 未 知 參 數(shù) 的 最 大 似 然 估 計(jì) ， 以 估 計(jì) 值 為 參 數(shù) 值 ，求 出 的 估 計(jì) 值 ，2221~ ( 1 ) ,?kii ifn k rnp???? ? ? ??近 似于 是 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 為22 ( 1 )kr??? ? ? ?因 此 檢 驗(yàn) 拒 絕 域 為43 22212221( 1 ) ,( 1 ) ,?kii ikii ifnknpfn k r rnp?????????? ? ? ?? ? ? ? ???即 在 顯 著 性 水 平 下 拒 絕 域 為（ 沒(méi) 有 參 數(shù) 需 要 估 計(jì) ）（ 有 個(gè) 參 數(shù) 需 要 估 計(jì) ）2?()?iiinnp npA???： 擬 合 檢 驗(yàn) 使 用 時(shí) 必 須 注 意 要 足 夠 大 ，或 不 能 太 小 。 根 據(jù) 實(shí) 踐 ， 要 求 ， 否 則 應(yīng) 適 當(dāng) 合 并 ， 以 滿 足 要 求 。注 2iin p n p（ ）n 5 05或44 戰(zhàn)爭(zhēng)次數(shù) X 0 1 2 3 4 發(fā)生 X次戰(zhàn)爭(zhēng)的年數(shù) 223 142 48 15 4 例 1，從 1500到 1931年的 432年間，每年爆發(fā)戰(zhàn)爭(zhēng)的次數(shù)可以看作一個(gè)隨機(jī)變量，據(jù)統(tǒng)計(jì)，這 432年間共爆發(fā)了 299次戰(zhàn)爭(zhēng)，具體數(shù)據(jù)如下 : 通常假設(shè)每年爆發(fā)戰(zhàn)爭(zhēng)的次數(shù)服從泊松分布。那么上面的數(shù)據(jù)是否有充分的理由推翻每年爆發(fā)戰(zhàn)爭(zhēng)的次數(shù)服從泊松分布假設(shè)？ 0 ?: ~ ( ) 2 9 9 4 3 2 0 . 6 9 .H X X? ? ? ? ? ? ?解 ： ， 未 知 ，? ?44? ?? ?, 0 , 1 , 2 , 3 , .!!ijijeep i p?????? ??? ? ? ?戰(zhàn)爭(zhēng)次數(shù) x 0 1 2 3 4 實(shí)測(cè)頻數(shù) 223 142 48 15 4 概率估計(jì) 理論頻數(shù) 217 149 51 12 3 if?ip?inp?45 2 2 2 2 2212 2 3 1 4 2 4 8 1 94 3 2 1 . 7 4? 2 1 7 1 4 9 5 1 1 5kii ifnnp??? ? ? ? ? ? ? ??檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 的 觀 察 值 為戰(zhàn)爭(zhēng)次數(shù) x 0 1 2 3 4 實(shí)測(cè)頻數(shù) 223 142 48 15 4 概率估計(jì) 理論頻數(shù) 217 149 51 ?if?ip?inp1512 3220. 050 .0 5( 1 ) ( 4 1 1 ) 5 .9 9 11 .7 4 5 .9 9 1 ,kr?????? ? ? ??即 在 顯 著 性 水 平 下 臨 界 值于 是 ， 不 能 拒 絕 原 假 設(shè) 。46 例 2 孟德?tīng)栠z傳理論斷言，當(dāng)兩個(gè)品種的豆雜交時(shí)，圓的和黃的、起皺的和黃的、圓的和綠的、起皺的和綠的豆的頻數(shù)將以比例 9： 3： 3： 1發(fā)生。在檢驗(yàn)這個(gè)理論時(shí)，孟德?tīng)柗謩e得到頻數(shù) 31 10 10 3這些數(shù)據(jù)提供充分證據(jù)拒絕該理論嗎？ 0 1 2 3 41,2349 3 3 1: ( 1 ) , ( 2) , ( 3 ) , ( 4) .16 16 16 16XH p P X p P X p P X p P X???? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?若 豆 子 是 圓 的 和 黃 的， 若 豆 子 是 起 皺 的 和 黃 的解 ： 定 義， 若 豆 子 是 圓 的 和 綠 的， 若 豆 子 是 起 皺 的 和 綠 的豆子狀態(tài) x 1 2 3 4 實(shí)測(cè)頻數(shù) 315 101 108 32 概率 9/16 3/16 3/16 1/16 理論頻數(shù) ifipinp2220 . 0 5 010 .4 7 ( 3 ) 7 .8 1 5 , .kii if nHnp???? ? ? ? ?? 接 受47 141 148 132 138 154 142 150 146 155 158 150 140 147 148 144 150 149 145 149 158 143 141 144 144 126 140 144 142 141 140 145 135 147 146 141 136 140 146 142 137 148 154 137 139 143 140 131 143 141 149 148 135 148 152 143 144 141 143 147 146 150 132 142 142 143 153 149 146 149 138 142 149 142 137 134 144 146 147 140 142 140 137 152 145 例 3 下面列出了 84個(gè)伊特拉斯坎 (Etruscan)人男子 的頭顱的最大寬度 (mm)，試檢驗(yàn)這些數(shù)據(jù)是否來(lái) 自正態(tài)總體（取 α=） 48 解 為粗略了解數(shù)據(jù)的分布情況，先畫(huà)出直方圖。 步驟如下： 、最大值為 12 158，取區(qū)間[, ],它能覆蓋 [126, 158]； [, ]等分為 7個(gè)小區(qū)間 ,小區(qū)間的長(zhǎng)度 Δ =()/7=5, Δ 稱為組距，小區(qū)間的端點(diǎn)稱為組限，建立下表： 組 限 頻數(shù) fi 頻 率 fi /n 累 計(jì)頻 率 1 4 10 33 24 9 3 1 49 fi /nΔ 為高的小矩形 如下圖，即為直方圖。 注： 直方圖的小區(qū)間可以不等長(zhǎng)，但小區(qū)間的長(zhǎng)度不能太大，否則平均化作用突出，淹沒(méi)了密度的細(xì)節(jié)部分；也不能太小，否則受隨機(jī)化影響太大，產(chǎn)生極不規(guī)則的形狀。 50 從本例的直方圖看，有一個(gè)峰，中間高，兩頭低，較對(duì)稱，樣本象來(lái)自正態(tài)總體。于是檢驗(yàn) 22( )201: ( ) , 2xH X f x e x????? ? ? ? ?的 概 率 密 度 為22022( 1 4 3 . 8 )26? ?1 4 3 .8 , 6 .0 ,1?( ) ,26xHXf x e x????????? ? ? ? ? ??2中 μ ,σ 未 知 ， 先 求 出 其 最 大 似 然 估 計(jì) 分 別 為此 時(shí) 的 概 率 密 度 的 估 計(jì) 為51 x≤ x≤ x≤ x≤ x≤ x≤ x∞ 1 4 10 33 24 9 3 Σ= iA if ?ip ?inp ?2iif np2A3A4A5A6A7A1A ?????????????????? 2 8 7 . 6 7 8 4 3 . 6 7? ??220. 1 0. 1( 1 ) ( 2) ?? ? ? ?故在水平 H0,認(rèn)為數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)總體。 52 （二）偏度、峰度檢驗(yàn) 偏度、峰度檢驗(yàn)法是用于檢驗(yàn)正態(tài)總體的一種方法。 ? ?331 32()()( ( ) )()XE X E XX E XEDXDX????? ???? ????????????偏 度定 義 ： 隨 機(jī) 變 量 的 ：，? ? 442 2()()( ( ) )()E X E XX E XEDXDX????? ????????????????峰 ：度 ，2 12~ ( , ) , 0 , ? ? ? ???當(dāng) 時(shí)200 1 2: ~ ( , ): 0 , 3 .H X NH????? ??于 是 ， 將 檢 驗(yàn) 的 問(wèn) 題 轉(zhuǎn) 化 為檢 驗(yàn)53 11,()2 , 3 , 4 ,nnkiikX X XXXB k kn?????設(shè) 是 總 體 的 樣 本 ，（ ） 是 樣 本 階 中 心 矩3 4123 2 2221 2 1 2.,B BGGBBGG ????定 義 ： ： ， ：則 分 別樣 本 偏 度 樣 本 峰是度的 矩 估 計(jì) 。212 2~ ( , )6( 2)~ 0 , ,( 1 ) ( 3 )6 24 ( 2) ( 3 )~ 3 , .1 ( 1 ) ( 3 ) ( 5 )X N nnGNnnn n nGNn n n n???? ????????? ?????? ? ? ???若 總 體 ， 則 可 證 當(dāng) 充 分 大 時(shí) ， 近 似 有0 1 1 2 2, 3 .H G c G c? ? ? ?假 設(shè) 的 檢 驗(yàn) 的 拒 絕 域 形 式 為 ： 或54 0 :HX檢 驗(yàn) 假 設(shè) 為 正 態(tài) 總 體 .? ?? ?101122 2,6 ( 2 )~ 0 , 1 ,( 1 ) ( 3 )6 2 4 ( 2 ) ( 3 )3 ~ 0 , 1 .1 ( 1 ) ( 3 ) ( 5 )nX X X H nnU G Nnnn n nU G Nn n n n????? ? ? ???? ? ?????? ? ? ?????設(shè) 是 總 體 的 樣 本 ， 當(dāng) 為 真 時(shí) ， 對(duì) 于 充 分 大 的 ，近 似 有1 1 2 2U k U k??檢 驗(yàn) 的 拒 絕 域 為 ： 或 。1 4 2 4U z U z?????于 是 對(duì) 給 定 顯 著 性 水 平 ， 檢 驗(yàn) 的 拒 絕 域 為 ：或 。? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?0000 0 1 4 2 41 4 2 4 22HHHP H H P U z U zP U z P U z???????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?此 時(shí) ， 為 真 拒 絕55 例 4 試用偏度、峰度檢驗(yàn)法檢驗(yàn)例 3中的數(shù)據(jù)是否來(lái)自正態(tài)總體（取 α=） 0 :H解 ： 檢 驗(yàn) 假 設(shè) 數(shù) 據(jù) 來(lái) 自 正 態(tài) 總 體 .122 26( 2) , 84 , ,( 1 ) ( 3 )6 24 ( 2) ( 3 )3 , .1 ( 1 ) ( 3 ) ( 5 )nnnnn n nn n n n?????? ? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ?這 里2 3 4123 5 .2 2 4 6 , 2 8 .5 , 3 8 4 0 .0 .1 3 6 3 , 3 .0 9 4 8 .B B Bgg? ? ? ?? ? ?樣 本 偏 度 、 樣 本 峰 度 的 觀 察 值 為 ：4 0 .02 51 1 1 2 2 2 2 , , .zzu g u g?? ? ???? ? ? ? ?查 表