條件概率及事件的獨(dú)立性(已修改)
2025-05-11 12:03 本頁面
【正文】 第一章 第三節(jié) 條件概率及事件 的相互獨(dú)立性 一、條件概率和乘法公式 二、全概率公式和 Bayes公式 三 、事件的相互獨(dú)立性 167。 條件概率和乘法公式 在實(shí)際問題中，除了要知道事件 A 發(fā)生的概率 P(A) 外，有時(shí)還要考慮“在事件 B 發(fā)生的條件下，事件 A 發(fā) 生的概率”，這個(gè)概率記作 P(A|B)。 件 B 已經(jīng)發(fā)生”， 由于增加了條件“事 所以一般說來， P(A|B) 和 P(A) 不同。 稱 P(A|B) 為在事件 B 發(fā)生的條件下，事件 A 發(fā)生的 條件概率。 設(shè)袋中 有 3個(gè)白球， 2個(gè)紅球， 現(xiàn)從袋中任意 抽取 兩次， 每次取一 個(gè) ， 取后不放回。 （ 2）已知第一次取到紅球， 求第二次也取到紅球的概率 。 （ 3）求第二次取到紅球的概率； （ 4）求兩次均取到紅球的概率； 解、 設(shè) A—— 第一次取到紅球 ,B—— 第二次取到紅球 2(1 ) ( ) 5PA ?252 1 1( 4 ) ( )10P A B P???（ 1）求第一次取到紅球的概率 。 252 1 3 2 2( 3 ) ( )5PB P? ? ???1( 2 ) ( | ) 4P B A ?例 設(shè) ,AB是的兩個(gè) 隨機(jī) 事件 ，且 則 稱 ()()()P A BP A BPB?為 在 事件 B發(fā)生的條件下事件 A發(fā)生的 條件概率 。 ( ) 0 ,PB ?定義 性質(zhì) 0 ( ) 1P A B??( ) ( ) 1P A B P A B??例 2 一盒中混有 100只新 、舊乒乓球， 各有紅、白兩色， 分類如下表。 從盒中隨機(jī)取出一球， 若取得的是一只紅球， 試求該紅球是新球的概率。 紅 白 新 40 30 舊 20 10 B從盒中隨機(jī)取到一只新球 . 解 ： 設(shè) A從盒中隨機(jī)取到一只紅球 . 60An ? 40ABn ?2( | )3ABAnP B An??乘法公式 設(shè) , , ( ) 0 ,A B P A? ? ?則 ( ) ( ) ( )P A B P A P B A?就稱為 事件 ,AB的概率 乘法公式 。 以上公式 還可推廣到三個(gè)事件的情形： ( ) ( ) ( ) ( ) .P A B C P A P B A P C A B?一般地，有下列公式： 1 2 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) .n n nP A A A P A P A A P A A A ??例 3 盒中有 3個(gè)紅球， 2個(gè)白球， 每次從袋中任取一只， 觀察其顏色后放回， 并再放入一只與所取之球顏色相同 的球， 若從盒中連續(xù)取球 4次 , 試求第 2次取得白球、第 4次取得紅球的概率。 解： 設(shè) Ai為第 i次取球時(shí)取到白球，則 3 4 3 4 31 2 1 2 1 1 2 1 2( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | )P A A
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