【正文】 第 3章 控制系統(tǒng)的時域分析法 31 典型的輸入信號 32 控制系統(tǒng)的時域性能指標 33 一階系統(tǒng)響應 34 二階系統(tǒng)響應 35 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性和勞斯判據(jù) 36 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 對于線性系統(tǒng)，常用的分析方法有三種： ? 時域分析方法； ? 根軌跡法； ? 頻率特性法 。 引言 時域分析方法，是一種直接分析方法，具有直觀準確的優(yōu)點，尤其適用于低階系統(tǒng)。 時域分析 ： 是根據(jù)微分方程，利用拉氏變換直接求出系統(tǒng)的時間響應，然后按照響應曲線來分析系統(tǒng)的性能。 Input (Typical) Control System (Differential Equation) Laplace Transform Output Response Stability Theorem Accuracy Ess Transient Response Specification 31 典型的輸入信號 ? 系統(tǒng)的數(shù)學模型由本身的結(jié)構和參數(shù)決定； ? 系統(tǒng)的輸出由系統(tǒng)的數(shù)學模型、系統(tǒng)的初始狀態(tài)和系統(tǒng)的輸入信號形式?jīng)Q定； ? 典型的輸入信號有：階躍信號，斜坡信號，加速度信號，脈沖信號，正弦信號； ? 典型輸入信號的特點：數(shù)學表達簡單，便于分析和處理，易于實驗室獲得。 一、階躍信號 A為常量， A=1的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)。 表達式： 0()00Atrtt??? ???拉氏變換： 1( ) [ 1 ( ) ]R s L ts??二、斜坡函數(shù) 21][)( StLsR ??拉氏變換 ： A為常量， A=1的階躍函數(shù)稱為單位斜坡函數(shù)。 表達式： 0()00A t trtt??? ???A為常量， A=1的階躍函數(shù)稱為單位等加速度函數(shù)。 三、等加速度信號 表達式： 21 0() 200At trtt???? ?? ??拉氏變換： 2311( ) [ ]2R s L t s??? ?)(t? 為常量， =0的階躍函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)，記為 。 四、脈沖信號 000()D ttrt ???? ????? ???及 t表達式： 理想脈沖： 0()00( ) 1tttt????????? ?????拉氏變換： ? ?( ) ( ) 1L t R s? ??五、正弦信號 tAtr ?s in)( ?表達式： 分析一個實際系統(tǒng)時采用哪種信號，要根據(jù)系統(tǒng)的實際輸入信號而定。 正弦信號主要用來求取頻率響應。 32 控制系統(tǒng)的時域性能指標 111 110 1 11( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nnnnnnmmmmmmd d dy t a y t a y t a y tdt dt dtd d db r t b r t b r t b r tdt dt dt??????? ? ? ?? ? ? ? ?)(tr()yt對于線性定常系統(tǒng)，輸入為： 輸出為： 用微分方程描述如下： 由微分方程可以得到傳遞函數(shù)： 10111......()......mmmnnnb s b s bGss a s a??? ? ??? ? ?11( ) ( ) ( )nlikik ikABY s G s R ss s s s??? ? ????? 為 的極點。 為 的極點。 is )(sGks )(sR系統(tǒng)的輸出： 時間響應： 動態(tài)過程 — 從初始態(tài)到接近穩(wěn)態(tài)的響應。 穩(wěn)態(tài)過程 — t趨于無窮大時的輸出狀態(tài)。 如果 和 是互異的， 那么系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為： is ks11() iknls t s tikiky t A e B e??????其中第一項為系統(tǒng)零狀態(tài)響應的暫態(tài)分量，第二項為系統(tǒng)零狀態(tài)響應的穩(wěn)態(tài)分量。系統(tǒng)的時域性能指標可以從零狀態(tài)響應中求取。 超調(diào) 誤差帶 穩(wěn)態(tài)誤差 Ess Td Tr Tp Ts 0 t H(t) 1 上升時間 峰值時間 調(diào)整時間 階躍響應輸出 單位階躍響應性能指標： 1? 延遲時間 Td： 指 h(t)上升到穩(wěn)態(tài)的 50%所 需的時間。 2? 上升時間 Tr： 指 h(t)第一次上升到穩(wěn)態(tài)值 的所需的時間。 3? 峰值時間 Tp： h(t)第一次達到峰值所需的 時間。 上述三個指標表征系統(tǒng)初始階段的快慢。 4? 超調(diào)量 ： h(t)的最大值與穩(wěn)態(tài)值之差與 穩(wěn)態(tài)值之比： %1 0 0)()()(% ?????hhth p?σ℅ 5? 調(diào)節(jié)時間 Ts： 指 h(t)和 h(?)之間的偏差 達到允許范圍（ 2%5%）時的暫態(tài)過程時 間。它反映了系統(tǒng)的快速性。 6? 振蕩次數(shù) N： 調(diào)節(jié)時間內(nèi)，輸出偏離穩(wěn)態(tài) 的次數(shù)。 7? 穩(wěn)態(tài)誤差 ess： 單位反饋時，實際值（穩(wěn) 態(tài)）與期望值（ 1（ t））之差。它反映 系統(tǒng)的精度。 一階系統(tǒng)的時域響應 11)(?? TssG一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)： 典型系統(tǒng)： 電爐、液位 R(s) Y(s) 一階系統(tǒng)框圖： 1Ts一、單位階躍響應： 1()11()( 1 ) 1( ) 1 etTRssTYss Ts s Tsyt??? ? ????? 在單位階躍作用下，一階系統(tǒng)的輸出量隨時間變化曲線為一條指數(shù)曲線。 響應曲線具有非振蕩特征： t=T, y(t)=。 t=2T, y(t)=。 t=3T, y(t)=。 t=4T, y(t)=。 t? ?yt10 . 6 3 2T 2 T 3 T 4 T0? ? etTyt??0.8650.9500.982斜 率1T? 一階系統(tǒng)的單位階躍響應如果以初始速度等速上升至穩(wěn)態(tài)值 1所需的時間應恰好為 T。 T e T dt t dy t T t 1 1 ) ( 0 ? ? ? ? 一階系統(tǒng)的階躍響應沒有超調(diào)量，故其時域性能指標主要以 Ts來衡量， Ts的長短反映了系統(tǒng)過程的快慢。 由以上可知： t=3T （對 5%的誤差） t=4T （對 2%的誤差） 因此， T越小，系統(tǒng)過渡過程時間就越短。 二、一 階系統(tǒng)的單位斜坡響應 21)(ssR ?ttr ?)(() t Ty t t T T e ?? ? ?2221 1 1()11TTYsT s s s s T s? ? ? ? ???)0( ?t誤差 ( ) ( ) ( ) ( 1 )t Te t r t y t T e ?? ? ? ?輸出響應 Tteetss ????)(lim 穩(wěn)態(tài)誤差趨于 T， T越小，動態(tài)性能越快，穩(wěn)態(tài)誤差越小，但不能消除。 0 0()10tTt td y tedt?? ?? ? ?初始速度： 穩(wěn)態(tài)誤差： 0TTT2T2T3T3T4T4tT? ?yt??rtt?? ?yt 單位斜坡響應 ? 一階系統(tǒng)單位斜坡響應的穩(wěn)態(tài)分量，是一個與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但在時間上遲后時間常數(shù) T的斜坡函數(shù)。 ? 該曲線的特點是：在 t=0處曲線的斜率等于零； ? 穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡輸入之間在位置上存在偏差 T。 三、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應 0 T T2T21T3 t? ?yt? ? t T1eTyt ?T1輸入： )()( ttr ?? 1)( ?sR1()1Ys Ts? ?1() tTy t eT??輸出： ? 由上面分析可知，一階系統(tǒng)僅有一個特征參量 T—— 時間常數(shù)，調(diào)整時間為（ 34T） ? 當 t=0時單位階躍響應的變化率和單位脈沖響應的初始值均為 1/T，單位斜坡響應的穩(wěn)態(tài)誤差為 T。 ? T越小，系統(tǒng)的動、靜態(tài)性能越好。 ? 一個輸入信號導數(shù)的時域響應等于該信號時域響應的導數(shù)； ? 一個輸入信號積分的時域響應等于該信號時域響應的積分； 22d 1 ( ) d ( )()ddt t tttt? ? ?21 2dd( ) ( ) ( )dt dt ty t y t y t?? ? ?線性定常系統(tǒng) 二階系統(tǒng)的時域響應 ? 用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。 ? 二階系統(tǒng)不僅在工程中比較常見，而且許多高階系統(tǒng)也可以轉(zhuǎn)化為二階系統(tǒng)來研究，因此研究二階系統(tǒng)具有很重要的意義。 ? ?Rs ? ?Ys? ?22nnss????典型二階系統(tǒng)的結(jié)構圖 2222