【正文】 第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 微分方程的經典解法 0+和 0初始值 零輸入響應與零狀態(tài)響應 沖激響應和階躍響應 卷積積分 用算子符號 p表示微分方程 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應 一、微分方程的經典解 微分方程的經典解： r(t)(完全解 ) = rh(t)(齊次解 ) + rp(t)(特解） (1)齊次解 是齊次微分方程的解 rh(t)的函數形式由上述微分方程的特征根確定。 )()()()()()()()(1111011110teEtedtdEtedtdEtedtdEtrCtrdtdCtrdtdCtrdtdCmmmmmmnnnnnn?????????????????????0)()()()( 11110 ???????? ??? trCtrdtdCtrdtdCtrdtdC nnnnnn①特征方程的根為 n個單根 當特征方程的根 (特征根 )為 n個單根 (不論實根、虛根、復數根 )α 1， α 2， … ， α n時，則 r (t)的通解表達式為 tntt neAeAeAtr ??? ???? ...)( 21 21 ② 特征方程的根為 n重根 當特征方程的根 (特征根 )為 n個重根 (不論實根、虛根、復數根 ) α 1= α 2=…= α n = α 時， r (t)的通解表達式為 : 0.. .. .. 1110 ????? ?? nnnn CCCC ???特征方程為： tnntt etAteAeAtr ??? 121 ...)( ?????(2)特解 特解的函數形式與激勵函數的形式有關。 根據輸入信號的形式 設 對應特解形式 ，用待定系數法確定。 幾種典型自由項函數相應的特解 [例 ]描述某系統(tǒng)的微分方程為 r”(t) + 5r’(t) + 6r(t) = e(t)，求（ 1）當 e(t) = 2 ， t≥0 ； r(0)=2， r’(0)= 1時的全解；（ 2）當 e(t) = ， t≥0 ； r(0)= 1，r’(0)=0 時的全解。 te 2?te?解 : (1) 特征方程為 其特征根 α 1= – 2， α 2= – 3。 齊次解為 tth eAeAtr 2221)( ?? ??0652 ??? ??由表 22可知，當 e(t) = 2 時，其 特解 可設為 tttt eBeBeBe ???? ???? 26)(5將其代入微分方程得 解得 B=1 于是特解為 全解為： tp etr ??)(tp Betr??)(tttph eeAeAtrtrtr??? ????? 3221)()()(te?其中待定常數 A1,A2由初始條件確定。 r(0) = A1+A2+ 1 = 2， r’(0) = – 2A1 – 3A2 – 1= – 1 解得 A1 = 3 ， A2 = – 2 最后得全解 ttt eeetr ??? ??? 32 23)(t≥0 （ 2） 齊次解同上。 當激勵 e(t)= 時，其指數與特征根之一相重。 由表知：其特解為 rp(t) = (B1t + B0) 代入微分方程可得 B1 = te 2?所以 B1= 1 但 B0不能求得。全解為 te 2?te 2? te 2?tttttttteeAeBAeBteeAeAtr2322012023221)()(???????????????將初始條件代入，得： r(0) = (A1+B0) + A2=1 ， r’(0)= – 2(A1+B0) – 3A2+1=0 解得 A1 + B0 = 2 A2= – 1 最后得微分方程的全解為 上式第一項的系數 A1+B0= 2，不能區(qū)分 A1和 B0，因而也不能區(qū)分自由響應和強迫響應。 ttt teeetr 2322)( ??? ???二、關于 0 和 0+ 初始值 0－ 狀態(tài)和 0＋ 狀態(tài) ? 0－ 狀態(tài)稱為零輸入時的初始狀態(tài)。 即初始值是由系統(tǒng)的儲能產生的； ? 0＋ 狀態(tài)稱為加入輸入后的初始狀態(tài)。 即初始值不僅有系統(tǒng)的儲能，還受激勵的影響。 從 0－ 狀態(tài)到 0＋ 狀態(tài)的躍變 ? 當系統(tǒng)已經用微分方程表示時，系統(tǒng)的初始值從 0－ 狀態(tài)到 0＋ 狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端自由項是否包含 ?(t)及其各階導數。 ? 如果包含有 ?(t)及其各階導數，說明相應的 0－ 狀態(tài)到 0＋ 狀態(tài)發(fā)生了跳變 。 0＋ 狀態(tài)的確定 ? 已知 0－ 狀態(tài)求 0＋ 狀態(tài)的值，可用沖激函數匹配法。 ? 求 0＋ 狀態(tài)的值還可以用拉普拉斯變換中的初值定理求出。 各種響應用初始值確定積分常數 (初始值用的都是 0+的值 ) 在經典法求全響應的積分常數時，用的是 0＋狀態(tài)初始值。 在求系統(tǒng)零輸入響應時，用的是 0－ 狀態(tài)初始值。 在求系統(tǒng)零狀態(tài)響應時，用的是 0＋ 狀態(tài)初始值，這時的零狀態(tài)是指 0－ 狀態(tài)為零。 沖激函數匹配法 目的： 用來求解初始值，求（ 0＋）和（ 0－）時刻值 的關系。 應用條件： 如果微分方程右邊包含 δ （ t）及其各階導 數，那么（ 0＋）時刻的值不一定等于（ 0－） 時刻的值。 原理： 利用 t＝ 0時刻方程兩邊的 δ （ t）及各階導數 應該平衡的原理來求解（ 0＋） )(. ..)()()(. ..)()( )(39。210)(39。10 tbtbtbubtratratra mmnn ??? ??????????...)(...)()()()()(39。). . .()()(01)2(1)1()1(01)1(1)()(uCtCtCtCtruAtCtCtCtCtrmmmmnmmmmn???????????????????????????① mn，則 0)(. . .)()(. . .)()1(?????????trtruCtrmnmmn（ 1）假設 ② m≥ n，則 uCtCtr nnmm ????? ?? 1)( ...)()(...?（ 2） 將 r(t)及其各階導數帶入原方程，求出 C0….C m 。 （ 3）對 r(t)及各階導數求（ 0－， 0＋）的積分 . [例 ]： 描述某系統(tǒng)的微分方程為 r”(t) + 3r’(t) + 2r(t) = 2e’(t) + 6e(t) ，已知 r(0)=2， r’(0 )= 0，e(t)=u(t)，求 r(0+)和 r’(0+) 。 解： 將輸入 e(t)=u(t)代入上述微分方程得 r”(t) + 3r’(t) + 2r(t) = 2δ(t) + 6u(t) 列式得： 0)()()()(39。39。39。????tratrbtatr ?代入原方程得 a=2， b=0 由上可見，當微分方程等號 右端含有沖激函數 （及其各階導數）時，響應 r(t)及其各階導數中，有些在 t=0處將發(fā)生躍變。但如果右端不含時，則不會躍變。