連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析(已修改)
2025-01-30 20:28 本頁面
【正文】 第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 微分方程的經(jīng)典解法 0+和 0初始值 零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng) 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 卷積積分 用算子符號(hào) p表示微分方程 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 一、微分方程的經(jīng)典解 微分方程的經(jīng)典解： r(t)(完全解 ) = rh(t)(齊次解 ) + rp(t)(特解） (1)齊次解 是齊次微分方程的解 rh(t)的函數(shù)形式由上述微分方程的特征根確定。 )()()()()()()()(1111011110teEtedtdEtedtdEtedtdEtrCtrdtdCtrdtdCtrdtdCmmmmmmnnnnnn?????????????????????0)()()()( 11110 ???????? ??? trCtrdtdCtrdtdCtrdtdC nnnnnn①特征方程的根為 n個(gè)單根 當(dāng)特征方程的根 (特征根 )為 n個(gè)單根 (不論實(shí)根、虛根、復(fù)數(shù)根 )α 1， α 2， … ， α n時(shí)，則 r (t)的通解表達(dá)式為 tntt neAeAeAtr ??? ???? ...)( 21 21 ② 特征方程的根為 n重根 當(dāng)特征方程的根 (特征根 )為 n個(gè)重根 (不論實(shí)根、虛根、復(fù)數(shù)根 ) α 1= α 2=…= α n = α 時(shí)， r (t)的通解表達(dá)式為 : 0.. .. .. 1110 ????? ?? nnnn CCCC ???特征方程為： tnntt etAteAeAtr ??? 121 ...)( ?????(2)特解 特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。 根據(jù)輸入信號(hào)的形式 設(shè) 對(duì)應(yīng)特解形式 ，用待定系數(shù)法確定。 幾種典型自由項(xiàng)函數(shù)相應(yīng)的特解 [例 ]描述某系統(tǒng)的微分方程為 r”(t) + 5r’(t) + 6r(t) = e(t)，求（ 1）當(dāng) e(t) = 2 ， t≥0 ； r(0)=2， r’(0)= 1時(shí)的全解；（ 2）當(dāng) e(t) = ， t≥0 ； r(0)= 1，r’(0)=0 時(shí)的全解。 te 2?te?解 : (1) 特征方程為 其特征根 α 1= – 2， α 2= – 3。 齊次解為 tth eAeAtr 2221)( ?? ??0652 ??? ??由表 22可知，當(dāng) e(t) = 2 時(shí)，其 特解 可設(shè)為 tttt eBeBeBe ???? ???? 26)(5將其代入微分方程得 解得 B=1 于是特解為 全解為： tp etr ??)(tp Betr??)(tttph eeAeAtrtrtr??? ????? 3221)()()(te?其中待定常數(shù) A1,A2由初始條件確定。 r(0) = A1+A2+ 1 = 2， r’(0) = – 2A1 – 3A2 – 1= – 1 解得 A1 = 3 ， A2 = – 2 最后得全解 ttt eeetr ??? ??? 32 23)(t≥0 （ 2） 齊次解同上。 當(dāng)激勵(lì) e(t)= 時(shí)，其指數(shù)與特征根之一相重。 由表知：其特解為 rp(t) = (B1t + B0) 代入微分方程可得 B1 = te 2?所以 B1= 1 但 B0不能求得。全解為 te 2?te 2? te 2?tttttttteeAeBAeBteeAeAtr2322012023221)()(???????????????將初始條件代入，得： r(0) = (A1+B0) + A2=1 ， r’(0)= – 2(A1+B0) – 3A2+1=0 解得 A1 + B0 = 2 A2= – 1 最后得微分方程的全解為 上式第一項(xiàng)的系數(shù) A1+B0= 2，不能區(qū)分 A1和 B0，因而也不能區(qū)分自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。 ttt teeetr 2322)( ??? ???二、關(guān)于 0 和 0+ 初始值 0－ 狀態(tài)和 0＋ 狀態(tài) ? 0－ 狀態(tài)稱為零輸入時(shí)的初始狀態(tài)。 即初始值是由系統(tǒng)的儲(chǔ)能產(chǎn)生的； ? 0＋ 狀態(tài)稱為加入輸入后的初始狀態(tài)。 即初始值不僅有系統(tǒng)的儲(chǔ)能，還受激勵(lì)的影響。 從 0－ 狀態(tài)到 0＋ 狀態(tài)的躍變 ? 當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)的初始值從 0－ 狀態(tài)到 0＋ 狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含 ?(t)及其各階導(dǎo)數(shù)。 ? 如果包含有 ?(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，說明相應(yīng)的 0－ 狀態(tài)到 0＋ 狀態(tài)發(fā)生了跳變 。 0＋ 狀態(tài)的確定 ? 已知 0－ 狀態(tài)求 0＋ 狀態(tài)的值，可用沖激函數(shù)匹配法。 ? 求 0＋ 狀態(tài)的值還可以用拉普拉斯變換中的初值定理求出。 各種響應(yīng)用初始值確定積分常數(shù) (初始值用的都是 0+的值 ) 在經(jīng)典法求全響應(yīng)的積分常數(shù)時(shí)，用的是 0＋狀態(tài)初始值。 在求系統(tǒng)零輸入響應(yīng)時(shí)，用的是 0－ 狀態(tài)初始值。 在求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，用的是 0＋ 狀態(tài)初始值，這時(shí)的零狀態(tài)是指 0－ 狀態(tài)為零。 沖激函數(shù)匹配法 目的： 用來求解初始值，求（ 0＋）和（ 0－）時(shí)刻值 的關(guān)系。 應(yīng)用條件： 如果微分方程右邊包含 δ （ t）及其各階導(dǎo) 數(shù)，那么（ 0＋）時(shí)刻的值不一定等于（ 0－） 時(shí)刻的值。 原理： 利用 t＝ 0時(shí)刻方程兩邊的 δ （ t）及各階導(dǎo)數(shù) 應(yīng)該平衡的原理來求解（ 0＋） )(. ..)()()(. ..)()( )(39。210)(39。10 tbtbtbubtratratra mmnn ??? ??????????...)(...)()()()()(39。). . .()()(01)2(1)1()1(01)1(1)()(uCtCtCtCtruAtCtCtCtCtrmmmmnmmmmn???????????????????????????① mn，則 0)(. . .)()(. . .)()1(?????????trtruCtrmnmmn（ 1）假設(shè) ② m≥ n，則 uCtCtr nnmm ????? ?? 1)( ...)()(...?（ 2） 將 r(t)及其各階導(dǎo)數(shù)帶入原方程，求出 C0….C m 。 （ 3）對(duì) r(t)及各階導(dǎo)數(shù)求（ 0－， 0＋）的積分 . [例 ]： 描述某系統(tǒng)的微分方程為 r”(t) + 3r’(t) + 2r(t) = 2e’(t) + 6e(t) ，已知 r(0)=2， r’(0 )= 0，e(t)=u(t)，求 r(0+)和 r’(0+) 。 解： 將輸入 e(t)=u(t)代入上述微分方程得 r”(t) + 3r’(t) + 2r(t) = 2δ(t) + 6u(t) 列式得： 0)()()()(39。39。39。????tratrbtatr ?代入原方程得 a=2， b=0 由上可見，當(dāng)微分方程等號(hào) 右端含有沖激函數(shù) （及其各階導(dǎo)數(shù)）時(shí)，響應(yīng) r(t)及其各階導(dǎo)數(shù)中，有些在 t=0處將發(fā)生躍變。但如果右端不含時(shí)，則不會(huì)躍變。
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