【正文】 167。 6小波變換的應(yīng)用簡(jiǎn)介 小波在信號(hào)消噪中的應(yīng)用 小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè) 小波變換在圖像處理中的應(yīng)用 小波變換在電力系統(tǒng)諧波檢測(cè)中的應(yīng)用 小波在信號(hào)消噪中的應(yīng)用 降噪實(shí)例 降噪原理 閾值的確定 硬閾值和軟閾值去噪 降噪原理 在小波分析中，應(yīng)用最廣泛的無疑是信號(hào)處理和圖像處 理，而在這兩個(gè)領(lǐng)域中，應(yīng)用最多的就是信號(hào) (圖像 )的降噪 和壓縮。由于在正交小波中，正交基的選取璧傳統(tǒng)方法更接 近實(shí)際信號(hào)本身，所以通過小波變換可以更容易地奮力出噪 聲或其他我們不需要的信息，因此在這類應(yīng)用中小波分析有 著傳統(tǒng)方法無可比擬的優(yōu)勢(shì)。 降噪和壓縮這兩種應(yīng)用有一個(gè)共同點(diǎn)在于他們都是盡量 把無用的信息從原始信號(hào)中剔除，所以 Matlab提供了一條通 用的命令 wdencmp，同時(shí)處理降噪和壓縮。 降噪準(zhǔn)則 ?光滑性：在大部分情況下，降噪后的信號(hào)應(yīng)該至少 和原信號(hào)具有同等的光滑性； ?相似性：降噪后的信號(hào)和原信號(hào)的方差估計(jì)應(yīng)該是 最壞情況下的方差最??； (Minmax Estimator) 降噪過程 小波分析用于降噪的過程，可細(xì)分為如下幾段： (1)分解過程：選定一種小波，對(duì)信號(hào)進(jìn)行 N層小波 (小波包 )分解； (2)作用閾值過程：對(duì)分解得到的各層系數(shù)選擇一個(gè) 閾值，并對(duì)細(xì)節(jié)系數(shù)作用軟閾值處理； (3)重建過程：對(duì)處理后的系數(shù)通過小波 (小波包 )重 建恢復(fù)原始信號(hào)。 降噪原理 基本降噪模型 假設(shè)一個(gè)信號(hào)被噪聲污染后為 ()sn ，那么 基本的噪聲 模型 就可以表示為： ( ) ( ) ( ) ( 1 )s n f n e n???其中 ()en 為噪聲， ? 為噪聲強(qiáng)度。在最簡(jiǎn)單的情況下可以 假設(shè) ()en 為高斯白噪聲，且 1??小波變換的目的就是通過抑制 ( ) ( )e n f n以 恢 復(fù) 。降噪原理 種方法的效率很高。這種可以分解為稀疏小波系數(shù)的函數(shù) 的一個(gè)簡(jiǎn)單例子就是有少數(shù)間斷點(diǎn)的光滑函數(shù)。 的分解系數(shù)比較稀疏 (非零項(xiàng)很少 )的情況下，這 ()fn在閾值的確定 從原始信號(hào)確定各級(jí)閾值 在小波分析用于降噪的過程中，和信號(hào)的步驟就是在 系數(shù)上作用閾值。因?yàn)殚撝档倪x取直接影響降噪的質(zhì)量， 所以人們提出了各種理論和經(jīng)驗(yàn)的模型。但沒有一種模型 時(shí)通用的，他們都有自己的使用范圍。 ?中的 來表示，從 ()sn 中提取 ? 的方法有很多種，在假定 噪聲為白噪聲的情況下 (噪聲數(shù)學(xué)期望為 0)，一般是用原信號(hào)的小波分解的各層系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差來衡量。 小波變換中，對(duì)各層系數(shù)降噪所需的閾值一般是根據(jù) 原信號(hào)的信號(hào)噪聲比來取得，從理論模型里這個(gè)量用式 (1) 在得到信號(hào)的噪聲強(qiáng)度以后，我們就可以根據(jù)噪聲強(qiáng)度 ?來確定各層的閾值，對(duì)噪聲強(qiáng)度為 ? 的白噪聲，閾值的確定 主要有以下幾個(gè)數(shù)學(xué)模型： 2 l o g ( )th r n ??? 其中 n為信號(hào)的長(zhǎng)度，在 ddencmp命令中，若使用其降噪 功能，求得的閾值就是用這個(gè)規(guī)則確定的。 ? 缺省的閾值確定模型 ，閾值由如下的公式給出 閾值的確定 ? BirgeMassart策略所確定的閾值 ，閾值通過如下的 規(guī)則求得： (1)給定一個(gè)指定的分解層數(shù) j，對(duì) j+1以及更高層所有系數(shù)保留； ( 2 )in M j i ?? ? ?式中 M和 ? 為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)。 降噪 情況下取 3??(2)對(duì)第 i層 (1≤i≤j)，保留絕對(duì)值最大的 ni個(gè)系數(shù)， ni由下式確定： 缺省情況下取 (1)ML? ，也就是第一層分解后系數(shù)的長(zhǎng)度。 一般情況下， M 滿足 (1 ) 2 (1 )L M L??? 的取值因用途不同而不同， 閾值的確定 ? ? 壓縮情況下一般取 22( ) 2 ( l o g ( / ) )kktc r i t t c t n t???? ? ? ??令 t*為使得函數(shù) | * |ithr c? 從原始信號(hào)確定閾值的函數(shù)有 ddencmp， wbmpen， wdcbm和 wdcbm2，其中自動(dòng)降噪的命令 wdencmp在用 于信號(hào)的時(shí)候采用的是默認(rèn)的閾值。 ? 小波包變換中的 penalty閾值 ，閾值由下式給出： ktc。 其 中取得最小值的 為小波包分解系數(shù)排 序后第 k 大 的系數(shù)。 為系數(shù)的總數(shù)，那么閾值 n式中的 ? 為信號(hào)的噪聲強(qiáng)度， ? 為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)， ? 必須為 大于 1的實(shí)數(shù)，隨著 ? 的增大，降噪后信號(hào)的小波 系數(shù) 系數(shù)會(huì)變稀疏，重建后的信號(hào)也會(huì)變的更加光滑。 ? 的 典型值為 2。 閾值的確定 例 1： 利用 sym6小波對(duì)信號(hào) noisbump做 5層分解。并使用用 penalty閾值降噪方法、 BirgeMassart閾值降噪方法以及缺省閾值降噪方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪。其結(jié)果見圖 61。 使用 penalty策略確定降噪的閾值 thr1 = 使用 BirgeMassart策略確定降噪的閾值 thr2 = nkeep = 1 2 3 5 11 使用缺省閾值確定閾值并用硬閾值對(duì)系數(shù)進(jìn)行處理 thr = sorh = s keepapp = 1 閾值的確定 幾種閾值降噪方法在降噪中的使用 0 200 400 600 800 1000 1200 2 0020原始信號(hào)0 200 400 600 800 1000 1200 2 0020用 p e n a l t y 閾值降噪后的信號(hào)0 200 400 600 800 1000 1200 2 0020用 B i r g e M a s s a r t 閾值降噪后的信號(hào)0 200 400 600 800 1000 1200 2 0020使用缺省閾值降噪后的信號(hào)圖 61 閾值的確定 基于樣本估計(jì)的閾值選擇 通過例 1可以看到，除了 BirgeMassart策略確定的閾 值外，其余方法的到的降噪信號(hào)太過于光滑，失去了原信 號(hào)本身的一些信息，這在以前講述的降噪準(zhǔn)則中，不符合 相似性原則，保留相似性的方法有很多，在數(shù)學(xué)上有一個(gè) 常用的標(biāo)準(zhǔn)就是在最壞情況下方差最小的約束下的樣本估 計(jì)。 除了前面講的通過舍去部分系數(shù)以外，還有一種方法 就是信號(hào)作無偏似然估計(jì)，然后根據(jù)最壞情況下降噪信號(hào) 與原信號(hào)方差最小的原則確定一個(gè)統(tǒng)一的閾值，然后截去 超過這個(gè)閾值的系數(shù)。 閾值的確定 ? 最小極大方差閾值 (minimaxi)：使得選取的閾值產(chǎn)生最小的極大方 差。 通過統(tǒng) 計(jì)學(xué)上估計(jì)其的構(gòu)造方法得到。因?yàn)榻翟牒蟮男盘?hào)可 以看成與未知回歸函數(shù)的估計(jì)式相似，所以這種方法通過求得未知 回歸函數(shù)與原信號(hào)在最壞情況下的最小值來獲得閾值。 lo g ( ( ) )len g th s 得到閾值； 系數(shù) ? 長(zhǎng)度對(duì)數(shù)閾值 (sqtwolong)：從得到最小極大方差的閾值 t乘以一個(gè) ? 啟發(fā)式 sure閾值 (heursure)：前兩種方式的綜合形式，因?yàn)榛?sure 產(chǎn)生的閾值在高信號(hào)噪聲比的情況下抑制噪聲的效果不明顯，這種 方法利用啟發(fā)函數(shù)自動(dòng)在前兩種閾值選擇中選取一個(gè)； 閾值的確定 ? 基于 stein無偏似然估計(jì) (sure)的軟閾值估計(jì) (rigsure)。對(duì)于給定的 閾值 t，得到它的似然估計(jì)，然后將似然函數(shù)最小化，得到所需要 的閾值； 各種閾值的選取 閾值的確定 例 2： 產(chǎn)生一個(gè)長(zhǎng)度為 1000的隨機(jī)信號(hào) y， y的 SURE閾值為 thr = ； y的對(duì)數(shù)長(zhǎng)度閾值為 thr = y的啟發(fā)式 SURE閾值為 thr = y的 minimaxi閾值為 thr = 硬閾值和軟閾值去噪 硬閾值和軟閾值 在求得閾值以后，有兩種在信號(hào)上作用閾值的方法， 一種是令絕對(duì)值小于閾值的信號(hào)點(diǎn)的值為零，成為硬閾 值，這種方法的缺點(diǎn)是在某些點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生間斷。另一種軟 閾值方法是在硬閾值的基礎(chǔ)上將邊界處向不連續(xù)點(diǎn)收縮 到零。這樣可以可以有效的避免間斷，使得重建信號(hào)比 較光滑。 例 3： 對(duì)于定義在 [1,1]上的直線，定義閾值為 ，分別作用硬閾值和軟閾值，結(jié)果如圖 6