【正文】 第 1頁 小波變換在信號(hào)處理中的應(yīng)用 一、從傅里葉變換到小波變換 二、連續(xù)小波變換 三、一維離散小波變換與重構(gòu) 四、二維離散小波變換與重構(gòu) 五、 Matlab中的小波分析工具箱 第 2頁 小波分析是近 15年來發(fā)展起來的一種新的時(shí)頻分析方法，我們可以先粗略地區(qū)分一下時(shí)域分析和頻域分析。 時(shí)域分析的基本目標(biāo)： 邊緣檢測(cè)和分割； 將短時(shí)的物理現(xiàn)象作為一個(gè)瞬態(tài)過程分析。 頻域分析的基本目標(biāo)： 區(qū)分突發(fā)信號(hào)和穩(wěn)定信號(hào)以及定量分析其能量。 一、從傅里葉變換到小波變換 第 3頁 一、從傅里葉變換到小波變換 （ 1）傅立葉變換的定義 1. 連續(xù)傅立葉變換對(duì) 離散傅立葉變換對(duì) ? ? ? ?? ? ? ?:1:2jtjtF T F j f t e d tI F T f t F j e d?????????????????? ? ? ?? ?210210: 0 , 1 , . . . , 11: 0 , 1 , . . . , 1knNjNnnnknNjNnkD F T X k F f f e k NI D F T f X k e n NN??? ????? ? ? ?? ? ???第 4頁 2. 傅立葉變換的實(shí)質(zhì) 傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是：把 f(t)這個(gè)波形分解成許多不同頻率的正弦波的疊加和。這樣我們就可以將對(duì)原函數(shù) f(t)的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)其權(quán)系數(shù)，及傅里葉變換 F(ω)的研究。從傅里葉變換中可以看出，這些標(biāo)準(zhǔn)基是由正弦波及高次諧波組成的，因此它在頻域內(nèi)是局部化的。 第 5頁 3. 傅立葉變換的局限性 由左圖我們看不出任何頻域的性質(zhì)，但從右圖中我們可以明顯看出該信號(hào)的頻率成分，也可以明顯的看出信號(hào)的頻率特性。 雖然傅里葉變換能夠?qū)⑿盘?hào)的時(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系起來，能分別從信號(hào)的時(shí)域和頻域觀察，但不能把兩者有機(jī)的結(jié)合起來。 在實(shí)際信號(hào)處理過程中，尤其是對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理中，信號(hào)在任一時(shí)刻附近的頻域特征都很重要。 第 6頁 （ 2）短時(shí)傅立葉變換 基本思想：把非穩(wěn)態(tài)信號(hào)看成一系列短時(shí)平穩(wěn)信號(hào)的疊加，這個(gè)過程是通過加時(shí)間窗來實(shí)現(xiàn)的。一般選用能量集中在低頻處的實(shí)的偶函數(shù)作為窗函數(shù)，通過平移窗函數(shù)來實(shí)現(xiàn)時(shí)間域的局部化性質(zhì)。其表達(dá)式為： ? ? ? ? ? ?*, jtRS f t g t e d t?? ? ? ????其中“＊”表示復(fù)共軛， g(t)是有緊支集的函數(shù)，f(t)是被分析的信號(hào)，在這個(gè)變換中， 起著頻限的作用， g(t)起著時(shí)限的作用。隨著時(shí)間 的變化， g(t)所確定的“時(shí)間窗”在 t軸上移動(dòng)，使f(t)“逐漸” 進(jìn)行分析。 jte ???第 7頁 g(t)往往被稱之為窗口函數(shù)， 大致反映了 f(t)在 時(shí)刻ω頻率處“信號(hào)成分”的相對(duì)含量。這樣信號(hào)在窗函數(shù)上的展開就可以表示為 在這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)，并把這一區(qū)域稱為窗口， 和 分別稱為窗口的時(shí)寬和頻寬，表示了時(shí)頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率就越高。很顯然 和 都非常小，以便有更好的時(shí)頻分析效果，但 和 相互制約的。 （ 2）短時(shí)傅立葉變換 ? ?,S ??? ? ? ?,? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?、? ??? ???第 8頁 （ 3）小波變換 小波分析優(yōu)于傅里葉變換的地方是，它在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)。 小波變換提出了變化的時(shí)間窗。當(dāng)需要精確的低頻信息時(shí)，采用長的時(shí)間窗，頻率分辨率高，當(dāng)需要精確的高頻信息時(shí)，采用短的時(shí)間窗，時(shí)間分辨率高。 由此可知，小波變換采用的不是時(shí)間 頻率域，而是時(shí)間－尺度域。尺度越大，采用越大的時(shí)間窗，尺度越小，采用越短的時(shí)間窗，即尺度與頻率成反比。 第 9頁 （ 3）小波變換 第 10頁 (4) 小波的時(shí)間和頻率特性 運(yùn)用小波基，可以提取信號(hào)中的 “ 指定時(shí)間 ” 和 “ 指定頻率 ”的變化。 ? 時(shí)間：提取信號(hào)中 “ 指定時(shí)間 ” （時(shí)間 A或時(shí)間 B）的變化。顧名思義，小波在某時(shí)間發(fā)生的小的波動(dòng)。 ? 頻率：提取信號(hào)中時(shí)間 A的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取信號(hào)中時(shí)間 B的比較快速變化，稱較高頻率成分。 時(shí)間 A 時(shí)間 B 第 11頁 (5) 小波的 3 個(gè)特點(diǎn) ? 小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時(shí)間。有利于分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)） ? 小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等） ? 小波變換比快速 Fourier變換還要快一個(gè)數(shù)量級(jí)。信號(hào)長度為 M時(shí)， Fourier變換（左）和小波變換（右）計(jì)算復(fù)雜性分別如下公式： 第 12頁 (6) 小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率 Fourier變換的基（上）小波變換基（中） 和時(shí)間采樣基（下） 傅里葉變換 (Fourier)基 小波基 時(shí)間采樣基 第 13頁 二、連續(xù)小波變換 )()( 2 RLt ?? ?????????? d2)(?)(t? )(???)(t?設(shè)函數(shù) ，如果滿足： 則稱 為一個(gè)基本小波和小波母函數(shù)，式中 為函數(shù) 的傅立葉變換，上式也可稱為可容性條件。 1. 連續(xù)小波變換 )()( 21, a btatba ?? ? ?? Rb? }0{?? Ra)(t? ba,ab )(, tba?令： ， 稱為基本小波或母小波 (Mother Wavelet) 依賴于 生成的連續(xù)小波。式中 為尺度因子，改變連續(xù)小波的形狀； 為位移因子，改變連續(xù)小波的位移。連續(xù)小波 在時(shí)域空間和頻域空間上都具有局部性，其作用等同于 短時(shí)傅立葉變換中的窗函數(shù)。 第 14頁 二、連續(xù)小波變換 因此函數(shù) f(t)的小波變換為： 尺度因子 小波 平移參數(shù) ? ????? ? Rbaf dta bttfafbaW )()(,),( 21, ??)(t? )(t?式中 為函數(shù) 的復(fù)共軛，由可容性條件得： 0)( ????? dtt?)( baW f ， 的逆變換為： 2, )()(1)(ad a d btbaWctf baR fR ?? ??? ，式中： ? ??? ??? ????? dC2)(?第 15頁 像傅立葉分析一樣 ， 小波分析就是把一個(gè)信號(hào)分解為將母小波經(jīng)過縮放和平移之后的一系列小波 ， 因此小波是小波變換的基函數(shù) 。 小波變換可以理解為用經(jīng)過縮放和平移的一系列小波函數(shù)代替傅立葉變換的正弦波和余弦波進(jìn)行傅立葉變換的結(jié)果 。 圖 4表示了正弦波和小波的區(qū)別 ， 由此可以看出 ， 正弦波從負(fù)無窮一直延續(xù)到正無窮 ， 正弦波是平滑而且是可預(yù)測(cè)的 ， 而小波是一類在有限區(qū)間內(nèi)快速衰減到 0的函數(shù) ， 其平均值為 0， 小波趨于不規(guī)則 、 不對(duì)稱 。 二、連續(xù)小波變換 第 16頁 二、連續(xù)小波變換 圖 4 傅立葉變換與小波變換基元 … …( a ) ( b )（ a） 正弦波曲線； (b) 小波曲線 第 17頁 二、連續(xù)小波變換 信號(hào) 不同頻率分量的組成 圖 5 信號(hào)傅立葉變換過程 傅立葉變換過程 第 18頁 18 基本小波函數(shù) ψ()的縮放和平移操作含義如下： (1) 縮放。簡單地講， 縮放就是壓縮或伸展基本小波， 縮放系數(shù)越小， 則小波越窄，如圖 6所示。