屆一輪復習課件立體幾何6-空間空間向量及其運算(已修改)
2025-05-11 05:53 本頁面
【正文】 主頁 主頁 1 ． 了解空間向量的概念．了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示． 2. 掌握空間向量的線性運算及其坐標表示． 3. 掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量的數量積判斷向量的共線與垂直． 一、 空間直角坐標系的建立及相關概念 ： 以單位正方體 ABCD— A39。B39。C39。D39。的頂點 O為原點 ,分別以射線 OA， OC， OD39。 的 方向為正方向 ,以線段 OA,OC, OD39。的長 為單位長度 ,建立三條數軸 :x軸 ,y軸 , z軸 ,這時我們建立了一個 空間直角 坐標系 O－ xyz . A B C 39。A 39。B39。C39。DO z y x 點 O叫做 坐標原點 ， x軸、 y軸、 z軸叫做 坐標軸 ，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別稱為 xoy平面、 yoz平面 、和 zox平面 ． 在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向 x軸的正方向， 讓食指指向 y軸的正方向，如果中指能指向 z軸的正方向，則稱坐標系為右手直角坐標系。 x y z 空間直角坐標系的畫法： y軸、 x軸與 z軸均成 1350, 而 z軸垂直于 y軸． z軸的單位長度相同， x軸上的單位長度為 y軸 (或 z軸 )的單位長度的一半． y z x 1350 1350 Ⅱ Ⅶ zx 面 Ⅴ Ⅵ Ⅰ xy 面 yz 面 Ⅲ Ⅳ Ⅷ zxy? O 空間直角坐標系共有 八個卦限 空間直角坐標系的劃分： 空間點的坐標： 設點 P、 Q和 R在 x軸、 y軸和 z軸上的坐標分別是 x,y和z,這樣空間一點 M的坐標可以用有序實數組 (x， y， z)來表示 , (x， y， z)叫做點 M 在此 空間直角坐標系中的坐標 ，記作 M(x， y， z)． 其中 x叫做點 M的 橫坐標 ， y叫做點 M的 縱坐標 ， z叫做點 M的 豎坐標 ． y z x R Q P (1)坐標平面內的點 : xoy平面上的點豎坐標為 0 yoz平面上的點橫坐標為 0 xoz平面上的點縱坐標為 0 (2)坐標軸上的點 : x軸上的點縱坐標和豎坐標都為 0 y軸上的點橫坐標和豎坐標都為 0 z軸上的點橫坐標和縱坐標都為 0 ? O x y z 1 1 1 ? A ? D ? C ? B ? E ? F 二、 空間向量 ： 1. 空間向量的有關概念及表示法 定義 表示法 向量 向量的模 零向量 單位向量 相等向量 相反向量 平行向量 (共線向量 ) 具有大小和方向的量 a, AB向量的大小 | |, | |a AB長度為零的向量 0記 作模為 1 的向量 常用 e 表示 長度相等且方向相同的向量 ab?記 作長度相等且方向相反的向量 ab??記 作方向 相同 或 相反 的非零向量 ab記 作 ∥與任一向量共線 . 0平面向量 空間向量 概念 加法 減法 數乘 運算 運 算 律 具有大小和方向的量 具有大小和方向的量 加法 :三角形法則或 平行四邊形法則 減法 :三角形法則 數乘 :ka, k為正數 ,負數 ,零 ab?abab ab?ab?aba( 0 )ka k ?( 0 )ka k ?加法交換律 a b b a? ? ?加法結合律 ( ) ( )a b c a b c? ? ? ? ?數乘分配律 ()k a b k a k b? ? ?加法交換律 a b b a? ? ?加法結合律 ( ) ( )a b c a b c? ? ? ? ?數乘分配律 ()k a b k a k b? ? ?2. 空間向量的有關定理及推論 共線向量 共面向量 定義 向量所在直線互相平行或重合 平行于同一平面的向量 ,叫做共面向量 . 定理 推論 運用 / / R ,a b a b??? ? ? ?( 0)b ?A, P, B三點 共線 A P A B???O P O A A B?? ? ?O P m O A n O B? ? ?( 1 )mn??判斷三點共線 ,或兩直線平行 ,p a b p xa y b? ? ?共 面( , )ab 不 共 線P, A, B, C四點 共面 A P x A B y A C? ? ?O P O A x A B y A C? ? ? ?O P x O A y O B z O C? ? ? ?( 1 )x y z? ? ?(A, B, C三點不共線 ) 判斷四點共面 ,或直線平行于平面 三、 空間向量的運算 ： ： ??? c o s|||| baba ????： ????? A O BbOBaOA 則, ??共起點與 ba ??： 90 ab? ? ? ? ?： ?c o s|| b?.方向上的投影在叫做 ab ??： 數量積 等于 的長度 與 在 ab? a ||a ba的方向上的投影 的乘積 . | | c o sb ?： ( 1 )( 2 ) ( ) ( ) ( )( 3 ) ( )a b b aa b a b a ba b c a c b c? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? : ( , )ab設 是 兩 個 非 零 向 量( 1 ) 0 。a b a b
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