專題四第二講：空間點、直線、平面的位置關系(已修改)
2025-05-08 13:18 本頁面
【正文】 【 考點整合 】 1 . 點、線、面的位置關系 ( 1) 公理 1 ∵ A ∈ α ， B ∈ α ， ∴ AB ? α . ( 2) 公理 2 ∵ A ， B ， C 三點不共線， ∴ A ， B ， C 確定一個平面 . ( 3) 公理 3 ∵ P ∈ α ，且 P ∈ β ， ∴ α ∩ β ＝ l，且 P ∈ l . 三個推論： ① 過兩條相交直線有且只有一個平面 . ② 過兩條平行直線有且只有一個平面 . ③ 過一條直線和直線外一點有且只有一個平面 . 第二講 空間點、直線、平面的位置關系 考點與考題 第二講 本講欄目開關 考點與考題 小題沖關 題型與方法 ( 4) 公理 4 ∵ a ∥ c ， b ∥ c ， ∴ a ∥ b . ( 5) 等角定理 ∵ OA ∥ O1A1， OB ∥ O1B1， ∴∠ AOB ＝ ∠ A1O1B1或 ∠ AOB ＋ ∠ A1O1B1＝ 180176。 . 2 . 直線、平面平行的判定及其性質 ( 1) 線面平行的判定定理 ∵ a ? α ， b ? α ， a ∥ b ， ∴ a ∥ α . ( 2) 線面平行的性 質定理 ∵ a ∥ α ， a ? β ， α ∩ β ＝ b ， ∴ a ∥ b . ( 3) 面面平行的判定定理 ∵ a ? β ， b ? β ， a ∩ b ＝ P ， a ∥ α ，b ∥ α ， ∴ α ∥ β . ( 4) 面面平行的性質定理 ∵ α ∥ β ， α ∩ γ ＝ a ， β ∩ γ ＝ b ，∴ a ∥ b . 考點與考題 第二講 本講欄目開關 考點與考題 小題沖關 題型與方法 3 . 直線、平面垂直的判定及其性質 ( 1) 線面垂直的判定定理 ∵ m ? α ， n ? α ， m ∩ n ＝ P ， l⊥ m ， l⊥ n ， ∴ l⊥ α . ( 2) 線面垂直的性質定理 ∵ a ⊥ α ， b ⊥ α ， ∴ a ∥ b . ( 3) 面面垂直的判定定理 ∵ a ? β ， a ⊥ α ， ∴ α ⊥ β . ( 4) 面面垂直的性質定理 ∵ α ⊥ β ， α ∩ β ＝ l， a ? α ， a ⊥ l， ∴ a ⊥ β . 考點與考題 第二講 本講欄目開關 考點與考題 小題沖關 題型與方法 4 . 異面直線所成的角 ( 1) 定義 . ( 2) 范圍： θ ∈ (0 ，π2] . ( 3) 求法：先通過作平行線找到兩異面直線所成的角，然后解含有這個角的三角形 . 若求得的角為鈍角，則這個角的補角才為所求 . 考點與考題 第二講 本講欄目開關 考點與考題 小題沖關 題型與方法 5 . 直線與平面所成的角 ( 1) 定義 . ( 2) 范圍： θ ∈ [0 ，π2] . ( 3) 求法：先找到 ( 或作出 ) 過斜線上一點垂直于平面的直線，斜足與垂足的連線就是斜線在平面內的射影，該斜線與射影的夾角就是所求的線面角，解這個角所在的直角三角形可得 . 考點與考題 第二講 本講欄目開關 考點與考題 小題沖關 題型與方法 6 . 二面角 ( 1) 定義 . ( 2) 范圍： θ ∈ [0 ， π] . ( 3) 找二面角平面角的方法 ① 定義法 . ② 垂面法 .③ 垂線法 .④ 特殊圖形法 . 垂線法是最重要的方法，具體步驟如下： ① 弄清該二面角及它的棱 . ② 考慮找一條過一個平面內的一點垂直于另一個平面的直線 ( 往往先找垂面再找垂線 ) . ③ 過這條垂線的兩個端點中的一個作二面角棱的垂線，連接垂足與另一個端點，所得到的角 ( 或其補角 ) 就是該二面角的平面角 . ④ 解這個角所在的直角三角形，可得到二面角的大小 . 考點與考題 第二講 本講欄目開關 考點與考題 小題沖關 題型與方法 【 對點真題 】 1 . ( 2022 四川 ) 下列命題正確的是 ( ) A . 若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行 B . 若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行 C . 若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行 D . 若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行 考點與考題 第二講 本講欄目開關 考點與考題 小題沖關 題型與方法 解析 A 錯誤，如圓錐的任意兩條母線與底面所成的角相等，但兩條母線相交； 答案 C 考點與考題 第二講 B 錯誤， △ ABC 的三個頂點中， A 、 B 在 α 的同側，而點 C 在α 的另一側，且 AB 平行于 α ，此時可有 A 、 B 、 C 三點到平面α 距離相等，但兩平面相交； D 錯誤，如教室中兩個相鄰墻面都與地面垂直，但這兩個面相交，故選 C. 本講欄目開關 考點與考題 小題沖關 題型與方法 2 . ( 201 1 浙江 ) 若直線 l 不平行于平面 α ，且 l? α ，則 ( ) A . α 內的所有直線與 l 異面 B . α 內不存在與 l 平行的直線
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