【正文】 第三章 不等式第一教時(shí)教材：不等式、不等式的綜合性質(zhì)目的：首先讓學(xué)生掌握不等式的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，了解并會(huì)證明不等式的基本性質(zhì)ⅠⅡ。過程：一、引入新課1．世界上所有的事物不等是絕對(duì)的，相等是相對(duì)的。2．過去我們已經(jīng)接觸過許多不等式 從而提出課題二、幾個(gè)與不等式有關(guān)的名稱 （例略）1．“同向不等式與異向不等式” 2．“絕對(duì)不等式與矛盾不等式”三、不等式的一個(gè)等價(jià)關(guān)系（充要條件）1．從實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)談起 2．應(yīng)用：例一 比較與的大小解：（取差） ∴例二 已知185。0, 比較與的大小解：（取差） ∵ ∴ 從而小結(jié)：步驟：作差—變形—判斷—結(jié)論例三 比較大小1．和解：∵ ∵∴2．和 解：（取差） ∵∴當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)=；當(dāng)時(shí) 3．設(shè)且，比較與的大小解： ∴ 當(dāng)時(shí)≤；當(dāng)時(shí)≥四、不等式的性質(zhì)1．性質(zhì)1：如果，那么；如果，那么（對(duì)稱性）證：∵ ∴由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù) 2．性質(zhì)2：如果， 那么（傳遞性）證：∵， ∴，∵兩個(gè)正數(shù)的和仍是正數(shù) ∴ ∴由對(duì)稱性、性質(zhì)2可以表示為如果且那么五、小結(jié)：1．不等式的概念 2．一個(gè)充要條件 3．性質(zhì)2六、作業(yè)：P5練習(xí) P8 1—3補(bǔ)充題：1．若，比較與的大小解： =……= ∴≥2．比較2sinq與sin2q的大小(0q2p)略解：2sinqsin2q=2sinq(1cosq)當(dāng)q206。(0,p)時(shí)2sinq(1cosq)≥0 2sinq≥sin2q當(dāng)q206。(p,2p)時(shí)2sinq(1cosq)0 2sinqsin2q3．設(shè)且比較與的大小解：當(dāng)時(shí) ∴當(dāng)時(shí) ∴∴總有第二教時(shí)教材：不等式基本性質(zhì)（續(xù)完）目的：繼續(xù)學(xué)習(xí)不等式的基本性質(zhì)，并能用前面的性質(zhì)進(jìn)行論證，從而讓學(xué)生清楚事物內(nèi)部是具有固有規(guī)律的。過程：一、復(fù)習(xí)：不等式的基本概念，充要條件，基本性質(zhì)2二、1．性質(zhì)3：如果，那么 （加法單調(diào)性）反之亦然證：∵ ∴從而可得移項(xiàng)法則：推論：如果且，那么 （相加法則）證：推論：如果且，那么 （相減法則）證：∵ ∴ 或證： 上式0 ………2．性質(zhì)4：如果且, 那么；如果且那么 （乘法單調(diào)性）證： ∵ ∴根據(jù)同號(hào)相乘得正，異號(hào)相乘得負(fù)，得：時(shí)即：時(shí)即：推論1 如果且，那么（相乘法則）證：推論1’（補(bǔ)充）如果且，那么（相除法則）證：∵ ∴推論2 如果, 那么 3．性質(zhì)5：如果，那么 證：（反證法）假設(shè)則：若這都與矛盾 ∴三、小結(jié)：五個(gè)性質(zhì)及其推論口答P8 練習(xí)2 4四、作業(yè) P8 練習(xí)3 6五、供選用的例題（或作業(yè)）1．已知，，求證：證：2．若，求不等式同時(shí)成立的條件解：3．設(shè)， 求證證：∵ ∴又∵ ∴0 ∴∵ ∴∴4． 比較與的大小解： 當(dāng)時(shí)∵即 ∴ ∴當(dāng)時(shí)∵即 ∴ ∴5．若 求證：解： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴6．若 求證：證：∵ p1 ∴又∵ ∴∴ ∴原式成立第三教時(shí)教材：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)目的：要求學(xué)生掌握算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的意義，并掌握“平均不等式”及其推導(dǎo)過程。過程：一、 定理：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”） 證明： 1．指出定理適用范圍：2．強(qiáng)調(diào)取“=”的條件二、定理：如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）證明：∵ ∴ 即： 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 注意：1．這個(gè)定理適用的范圍： 2．語言表述：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。三、推廣： 定理：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）證明：∵∵ ∴上式≥0 從而指出：這里 ∵就不能保證 推論：如果，那么 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”） 證明： 四、關(guān)于“平均數(shù)”的概念1．如果 則：叫做這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)叫做這n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)2．點(diǎn)題：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)3．基本不等式： ≥ 這個(gè)結(jié)論最終可用數(shù)學(xué)歸納法，二項(xiàng)式定理證明（這里從略）語言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。4．的幾何解釋：ABD’DCab以為直徑作圓，在直徑AB上取一點(diǎn)C， 過C作弦DD’^AB 則 從而而半徑五、例一 已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：證：∵ 以上三式相加：∴六、小結(jié)：算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的概念基本不等式（即平均不等式）七、作業(yè)：P1112 練習(xí)2 P12 13補(bǔ)充：1．已知，分別求的范圍 (8,11) (3,6) (2,4)2．試比較 與（作差）3．求證：證： 三式相加化簡即得第四教時(shí)教材：極值定理目的：要求學(xué)生在掌握平均不等式的基礎(chǔ)上進(jìn)而掌握極值定理，并學(xué)會(huì)初步應(yīng)用。過程：二、 復(fù)習(xí)：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定義，平均不等式三、 若，設(shè) 求證： 加權(quán)平均；算術(shù)平均；幾何平均；調(diào)和平均證：∵∴即：（俗稱冪平均不等式）由平均不等式即：綜上所述：例一、若 求證證：由冪平均不等式： 四、 極值定理 已知都是正數(shù)，求證：1176。 如果積是定值，那么當(dāng)時(shí)和有最小值2176。 如果和是定值，那么當(dāng)時(shí)積有最大值證：∵ ∴ 1176。當(dāng) (定值)時(shí)， ∴ ∵上式當(dāng)時(shí)取“=” ∴當(dāng)時(shí)有2176。當(dāng) (定值)時(shí)， ∴ ∵上式當(dāng)時(shí)取“=” ∴當(dāng)時(shí)有注意強(qiáng)調(diào)：1176。最值的含義（“≥”取最小值，“≤”取最大值） 2176。用極值定理求最值的三個(gè)必要條件：一“正”、二“定”、三“相等”五、 例題1．證明下列各題：⑴ 證：∵∴ 于是⑵若上題改成，結(jié)果將如何？解：∵ 于是從而⑶若 則解：若則顯然有若異號(hào)或一個(gè)為0則 ∴2．①求函數(shù)的最大值②求函數(shù)的最大值解：①∵ ∴ ∴當(dāng)即時(shí) 即時(shí)②∵ ∴ ∴ ∴當(dāng)時(shí) 3．若，則為何值時(shí)有最小值，最小值為幾？解：∵ ∴ ∴= 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)六、 小結(jié)：1．四大平均值之間的關(guān)系及其證明 2．極值定理及三要素七、 作業(yè)：P12 練習(xí)4 6補(bǔ)充：下列函數(shù)中取何值