輪換對(duì)稱式的最值問題教案版(已修改)
2025-04-29 12:43 本頁面
【正文】 輪換對(duì)稱式的最值問題學(xué)生姓名授課日期教師姓名授課時(shí)長知識(shí)定位在不等式和求最值的問題中，輪換對(duì)稱式是十分常見的。自招、競賽中出現(xiàn)的不等式證明或代數(shù)式求最值問題以輪換對(duì)稱式為主，而這一類有關(guān)輪換對(duì)稱式的問題也以其簡潔優(yōu)美的數(shù)學(xué)形式和較為靈活多變的解決方法成為自招競賽中的一大難點(diǎn)。本章節(jié)列舉了處理幾類輪換對(duì)稱式問題和幾種常見處理方法，希望同學(xué)們?cè)诳紙?chǎng)上見到這類問題時(shí)能夠有思路有針對(duì)性地著手處理，而不是盲目地嘗試變形求解（證）。知識(shí)梳理1. 不等式對(duì)稱和輪換對(duì)稱式的定義在一個(gè)不等式中,若把其中任何兩個(gè)字母對(duì)調(diào)位置后,這個(gè)不等式不變(如①,其中), 我們便稱此不等式是關(guān)于對(duì)稱的。如果把不等式中的字母按一定順序依次輪換（如換成，換成，...，換成）后不等式不變（如②），我們便稱此類不等式是關(guān)于輪換對(duì)稱的。2. 對(duì)稱式與輪換對(duì)稱不等式的性質(zhì)由定義易知，對(duì)稱的不等式一定是輪換對(duì)稱的（如①），而輪換對(duì)稱的不等式卻不一定是對(duì)稱的（如②就不是對(duì)稱的）。關(guān)于對(duì)稱的不等式，由于互換后原不等式不變，因此要想怎么排列他們的大小順序，只要調(diào)換其位即可，故我們可任意排列的大小順序（如在①中可設(shè)），而關(guān)于是輪換對(duì)稱的不等式則不能任意排列其字母的大小順序，而只能做較弱的排列，如，...，即某一個(gè)是其中的最大或最?。ㄈ纰谥锌稍O(shè)，），因?yàn)槲覀兛偪梢酝ㄟ^輪換把某個(gè)字母調(diào)整到最小或最大的位置。3. 取得最值的判定暑期講義輪換對(duì)稱式一講中我們提到，輪換對(duì)稱式取到最值時(shí)往往各地位輪換對(duì)稱的變量取值相等。在這種情況下我們可以簡化問題為先判斷最值和取到最值的條件，在轉(zhuǎn)化為不等式證明問題（此時(shí)取等的條件也作為一個(gè)解決不等式證明的重要提示）。當(dāng)然，并不是所有輪換對(duì)稱
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