雙曲線中的最值問(wèn)題(已修改)
2025-08-16 15:01 本頁(yè)面
【正文】 圓錐曲線中的最值問(wèn)題 復(fù) 習(xí) 橢圓及雙曲線第一定義； 橢圓及雙曲線第二定義； 拋物線定義 例 1 、 已知橢圓171622??yx及點(diǎn) M （ 1 ， 3 ） , F 1 、 F 2 分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)， A 為橢圓上的任意一點(diǎn)，求： ①∣ AM │ + ∣ AF 2 │的最小值及最大值； ②若點(diǎn) M 的坐標(biāo)改為 M （ 2 ， 1 ）求∣ AM │ + 34∣ AF 2 │的最小值 解：①∵ b=7＜ 3 ∴點(diǎn) M(1,3) 在橢圓外 , ∵∣ AM │ + ∣ AF2│≥∣ MF2│ ( 當(dāng)且僅當(dāng) A 、 M 、 F2三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立 ) ∴（∣ AM │ + ∣ AF2│）min= ∣ MF2│ = ? ? ? ? 13033122???? ∵∣ AF1│ + ∣ AF2│ =2a ∴∣ AM │ + ∣ AF2│ = ∣ AM │ + 2a ∣ AF1│ = 2 a + ( ∣ AM │ ∣ AF1│ ) ∴∣ AM │ ∣ AF1│≤∣ MF1│ ( 當(dāng)且僅當(dāng) A 、 M 、 F2三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立 ) ∴（∣ AM │ ∣ AF2│ ）max= ∣ MF1│ =? ? ? ? 5031322????? ∴（∣ AM │ + ∣ AF2│）max=2a+ ∣ MF1│ =8+5=13 例 2 、已知：拋物線 y 2 =2 x 及點(diǎn) M （ a ， 0 ） , 其中a 0 ， A 為拋物線上任意一點(diǎn)，求： ∣ AM │的最小值 解 : 設(shè) A （ x,y ） ∣ AM │ = ? ? 22 yax ?? = ? ? xax 22 ?? = xaaxx 22 22 ??? 設(shè) ? ?2212)( axaxxf ???? ? ?? ? ? ? aaax ??????2211 = ? ?? ? ? ? aaax ?????2211 = ? ?? ? ? ?? ?22211 ????? aaax = ? ?? ? ? ?1212???? aax ? ? ? ?? ? aaxfAMafxfaa?????????m i nm i n2m i n 0,1,01 時(shí)即當(dāng)? ? ? ?? ? 12121,1,01m i nm i nm i n??????????axfAMaafxfaa 時(shí)即當(dāng)小 結(jié) ? 求圓錐曲線的最值問(wèn)題時(shí)，可利用圓錐曲線的定義并結(jié)合幾何性質(zhì)，用幾何方法求出最值；也可用代數(shù)方法建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)或不等式性質(zhì)求出最值。 作 業(yè) 1 、知雙曲線 15422??yx及點(diǎn) M （ 6 ， 2 ） , F F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)， A 為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)， 求：①∣ AM │ + ∣ AF2│的最小值及最大值； ②∣ AM │ +32∣ AF2│的最小值 2 、已知拋物線 y2=2x 及點(diǎn) M （ 3 ， 1 ）， F 為拋物線焦點(diǎn)， A 為拋物線上任意一點(diǎn)， ι 為準(zhǔn)線， 求：∣ AM │ + ∣ AF │的最小值； 3 、若拋物線 y = 4 x2與直線 3 x y = 0 的交于 A 、 B 兩點(diǎn)， P 是拋物線弧 AB 上
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